भिन्नात्मक समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम। सबसे सरल तर्कसंगत समीकरण

सीधे शब्दों में कहें तो ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें हर में कम से कम एक चर होता है।

उदाहरण के लिए:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

उदाहरण नहींभिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण कैसे हल किये जाते हैं?

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के बारे में याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि आपको उनमें लिखना होगा। और जड़ें ढूंढने के बाद, उनकी स्वीकार्यता की जांच अवश्य करें। अन्यथा, बाहरी जड़ें सामने आ सकती हैं और पूरा निर्णय गलत माना जाएगा।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

लिखें और ODZ को "हल करें"।

समीकरण के प्रत्येक पद को उभयनिष्ठ हर से गुणा करें और परिणामी भिन्नों को रद्द करें। हर गायब हो जायेंगे.

कोष्ठक खोले बिना समीकरण लिखें।

परिणामी समीकरण को हल करें.

ODZ से पाई गई जड़ों की जाँच करें।

अपने उत्तर में उन जड़ों को लिखें जो चरण 7 में परीक्षण में उत्तीर्ण हुईं।

एल्गोरिथम को याद न रखें, 3-5 हल किए गए समीकरण और यह अपने आप याद हो जाएगा।

उदाहरण . तय करना भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

समाधान:

उत्तर: \(3\).

उदाहरण . भिन्नात्मक परिमेय समीकरण \(=0\) के मूल ज्ञात कीजिए

समाधान:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		हम लिखते हैं और ODZ को "हल" करते हैं। हम सूत्र के अनुसार \(x^2+7x+10\) का विस्तार करते हैं: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). सौभाग्य से, हमें पहले ही \(x_1\) और \(x_2\) मिल चुके हैं।
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		जाहिर है, भिन्नों का उभयनिष्ठ हर \((x+2)(x+5)\) है। हम पूरे समीकरण को इससे गुणा करते हैं।
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		भिन्नों को कम करना
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		कोष्ठक खोलना
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		हम समान शर्तें प्रस्तुत करते हैं
\(2x^2+9x-5=0\)		समीकरण की जड़ें ढूँढना
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		एक मूल ODZ में फिट नहीं बैठता, इसलिए हम उत्तर में केवल दूसरा मूल लिखते हैं।

उत्तर: \(\frac(1)(2)\).

विषय पर प्रस्तुति और पाठ: "तर्कसंगत समीकरण। एल्गोरिदम और तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के उदाहरण"

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अपरिमेय समीकरणों का परिचय

दोस्तों, हमने सीखा कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। लेकिन गणित केवल उन्हीं तक सीमित नहीं है. आज हम सीखेंगे कि तर्कसंगत समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। तर्कसंगत समीकरणों की अवधारणा कई मायनों में अवधारणा के समान है भिन्नात्मक संख्याएं. केवल संख्याओं के अतिरिक्त, अब हमारे पास कुछ वेरिएबल $x$ पेश किए गए हैं। और इस प्रकार हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है जिसमें जोड़, घटाव, गुणा, भाग और पूर्णांक घात तक बढ़ाने की संक्रियाएँ मौजूद होती हैं।

चलो $r(x)$ हो तर्कसंगत अभिव्यक्ति. ऐसी अभिव्यक्ति चर $x$ में एक साधारण बहुपद या बहुपदों का अनुपात हो सकती है (तर्कसंगत संख्याओं के लिए एक विभाजन ऑपरेशन पेश किया जाता है)।
समीकरण $r(x)=0$ कहा जाता है तर्कसंगत समीकरण.
$p(x)=q(x)$ के रूप का कोई भी समीकरण, जहां $p(x)$ और $q(x)$ तर्कसंगत अभिव्यक्ति हैं, भी होगा तर्कसंगत समीकरण.

आइए तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के उदाहरण देखें।

उदाहरण 1।
समीकरण को हल करें: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

समाधान।
आइए सभी भावों को आगे बढ़ाएं बाईं तरफ: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
यदि समीकरण के बाईं ओर को साधारण संख्याओं द्वारा दर्शाया जाता है, तो हम दो भिन्नों को एक सामान्य हर में बदल देंगे।
आइए ऐसा करें: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
हमें समीकरण मिला: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

एक भिन्न शून्य के बराबर होती है यदि और केवल यदि भिन्न का अंश शून्य हो और हर गैर-शून्य हो। फिर हम अंश को अलग से शून्य के बराबर करते हैं और अंश के मूल ज्ञात करते हैं।
$3(x^2+2x-3)=0$ या $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
आइए अब भिन्न के हर की जाँच करें: $(x-3)*x≠0$।
दो संख्याओं का गुणनफल शून्य के बराबर होता है जब इनमें से कम से कम एक संख्या शून्य के बराबर हो। फिर: $x≠0$ या $x-3≠0$।
$x≠0$ या $x≠3$.
अंश और हर में प्राप्त मूल मेल नहीं खाते। इसलिए हम उत्तर में अंश के दोनों मूल लिख देते हैं।
उत्तर: $x=1$ या $x=-3$.

यदि अचानक अंश की जड़ों में से एक हर की जड़ के साथ मेल खाता है, तो इसे बाहर रखा जाना चाहिए। ऐसी जड़ों को बाह्य कहा जाता है!

तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. समीकरण में शामिल सभी भावों को समान चिह्न के बाईं ओर ले जाएँ।
2. समीकरण के इस भाग को बीजीय भिन्न में बदलें: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. परिणामी अंश को शून्य के बराबर करें, अर्थात समीकरण $p(x)=0$ को हल करें।
4. हर को शून्य के बराबर करें और परिणामी समीकरण को हल करें। यदि हर की जड़ें अंश की जड़ों के साथ मेल खाती हैं, तो उन्हें उत्तर से बाहर रखा जाना चाहिए।

उदाहरण 2.
समीकरण को हल करें: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

समाधान।
आइए एल्गोरिथम के बिंदुओं के अनुसार हल करें।
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. अंश को शून्य के बराबर करें: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. हर को शून्य के बराबर करें:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ और $x=-1$.
मूलों में से एक $x=1$ अंश के मूल से मेल खाता है, तो हम इसे उत्तर में नहीं लिखते हैं।
उत्तर: $x=-1$.

चर परिवर्तन विधि का उपयोग करके तर्कसंगत समीकरणों को हल करना सुविधाजनक है। आइए इसे प्रदर्शित करें।

उदाहरण 3.
समीकरण हल करें: $x^4+12x^2-64=0$.

समाधान।
आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें: $t=x^2$।
तब हमारा समीकरण इस प्रकार बनेगा:
$t^2+12t-64=0$ - सामान्य द्विघात समीकरण.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
आइए विपरीत प्रतिस्थापन का परिचय दें: $x^2=4$ या $x^2=-16$।
पहले समीकरण की जड़ें संख्याओं की एक जोड़ी हैं $x=±2$। दूसरी बात यह है कि इसकी कोई जड़ नहीं है.
उत्तर: $x=±2$.

उदाहरण 4.
समीकरण हल करें: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
समाधान।
आइए एक नया वेरिएबल प्रस्तुत करें: $t=x^2+x+1$।
तब समीकरण यह रूप लेगा: $t=\frac(15)(t+2)$.
आगे हम एल्गोरिथम के अनुसार आगे बढ़ेंगे।
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - जड़ें मेल नहीं खातीं।
आइए एक विपरीत प्रतिस्थापन का परिचय दें।
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
आइए प्रत्येक समीकरण को अलग से हल करें:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - नहीं जड़ों
और दूसरा समीकरण: $x^2+x-2=0$.
इस समीकरण की जड़ें संख्याएं $x=-2$ और $x=1$ होंगी।
उत्तर: $x=-2$ और $x=1$.

उदाहरण 5.
समीकरण हल करें: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

समाधान।
आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें: $t=x+\frac(1)(x)$.
तब:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ या $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
हमें समीकरण मिला: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
इस समीकरण की जड़ें जोड़ी हैं:
$t=-3$ और $t=2$.
आइए विपरीत प्रतिस्थापन का परिचय दें:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
हम अलग से निर्णय लेंगे.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
आइए दूसरा समीकरण हल करें:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
इस समीकरण का मूल संख्या $x=1$ है।
उत्तर: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

समीकरण हल करें:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

\(\बुलेट\) एक तर्कसंगत समीकरण एक समीकरण है जिसे \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] के रूप में दर्शाया जाता है, जहां \(P(x), \Q(x)\ ) - बहुपद (विभिन्न घातों में "X" का योग, विभिन्न संख्याओं से गुणा किया गया)।
समीकरण के बाईं ओर का व्यंजक कहलाता है तर्कसंगत अभिव्यक्ति.
ओडीजेड (क्षेत्र स्वीकार्य मूल्य) एक तर्कसंगत समीकरण के सभी मान \(x\) हैं जिसके लिए हर गायब नहीं होता है, यानी, \(Q(x)\ne 0\) ।
\(\बुलेट\) उदाहरण के लिए, समीकरण \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]तर्कसंगत समीकरण हैं.
पहले समीकरण में, ODZ सभी \(x\) इस प्रकार हैं कि \(x\ne 3\) (लिखें) \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); दूसरे समीकरण में - ये सभी \(x\) इस प्रकार हैं कि \(x\ne -1; x\ne 1\) (लिखें \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); और तीसरे समीकरण में ODZ पर कोई प्रतिबंध नहीं है, यानी, ODZ सभी \(x\) है (वे लिखते हैं \(x\in\mathbb(R)\))। \(\बुलेट\) प्रमेय:
1) दो कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि उनमें से एक शून्य के बराबर है, और दूसरा अर्थ नहीं खोता है, इसलिए, समीकरण \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) सिस्टम के समतुल्य है \[\begin(केस) \left[ \begin(इकट्ठा)\begin(संरेखित) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(संरेखित) \end(इकट्ठा) \right.\\ \ text(ODZ समीकरण)\end(मामले)\] 2) एक भिन्न शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि अंश शून्य के बराबर है और हर शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए, समीकरण \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) समीकरणों की एक प्रणाली के बराबर है \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\बुलेट\) आइए कुछ उदाहरण देखें।

1) समीकरण \(x+1=\dfrac 2x\) को हल करें। आइए इस समीकरण का ODZ ज्ञात करें - यह \(x\ne 0\) है (क्योंकि \(x\) हर में है)।
इसका मतलब यह है कि ODZ को इस प्रकार लिखा जा सकता है: .
आइए सभी पदों को एक भाग में ले जाएँ और उन्हें एक सामान्य हर में लाएँ: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( मामले) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(मामले)\]सिस्टम के पहले समीकरण का समाधान \(x=-2, x=1\) होगा। हम देखते हैं कि दोनों मूल शून्येतर हैं। इसलिए, उत्तर है: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) समीकरण हल करें \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). आइए इस समीकरण का ODZ ज्ञात करें। हम देखते हैं कि \(x\) का एकमात्र मान जिसके लिए बाईं ओर का कोई मतलब नहीं है वह \(x=0\) है। तो, ODZ को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
इस प्रकार, यह समीकरण प्रणाली के समतुल्य है:

\[\begin(केस) \left[ \begin(इकट्ठा)\begin(एलाइन्ड) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(एलाइन्ड) \end(इकट्ठा) \राइट। \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(इकट्ठा)\begin(संरेखित) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(संरेखित) \end(एकत्रित) \दाएं।\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(इकट्ठा)\begin(संरेखित) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(संरेखित) \end(इकट्ठा) \दाएं।\\ x\ne 0 \end(मामले) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(इकट्ठा) \begin(संरेखित) &x=2\\ &x=1 \end(संरेखित) \end(एकत्रित) \दाएं।\]दरअसल, इस तथ्य के बावजूद कि \(x=0\) दूसरे कारक का मूल है, यदि आप मूल समीकरण में \(x=0\) को प्रतिस्थापित करते हैं, तो इसका कोई मतलब नहीं होगा, क्योंकि अभिव्यक्ति \(\dfrac 40\) परिभाषित नहीं है।
इस प्रकार, इस समीकरण का समाधान \(x\in \(1;2\)\) है।

3) समीकरण हल करें \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]हमारे समीकरण \(4x^2-1\ne 0\) में, जिसमें से \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , यानी, \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
आइए सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ और उन्हें एक सामान्य हर में लाएँ:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\लेफ्टराइटएरो \क्वाड \शुरू(केस) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(केस) \क्वाड \लेफ्टराइटएरो \क्वाड \बीन(केस) (2x-1 ( संरेखित) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end( संरेखित)\end(इकट्ठा) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ बायां दायां तीर \quad x=-3\)

उत्तर: \(x\in \(-3\)\).

टिप्पणी। यदि उत्तर में संख्याओं का एक सीमित सेट होता है, तो उन्हें घुंघराले ब्रेसिज़ में अर्धविराम से अलग करके लिखा जा सकता है, जैसा कि पिछले उदाहरणों में दिखाया गया है।

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में तर्कसंगत समीकरणों को हल करने की आवश्यकता वाली समस्याएं हर साल सामने आती हैं, इसलिए प्रमाणन परीक्षा उत्तीर्ण करने की तैयारी करते समय, स्नातकों को निश्चित रूप से इस विषय पर सिद्धांत को दोहराना चाहिए। बुनियादी और दोनों लेने वाले स्नातक प्रोफ़ाइल स्तरपरीक्षा। सिद्धांत में महारत हासिल करने और "तर्कसंगत समीकरण" विषय पर व्यावहारिक अभ्यास से निपटने के बाद, छात्र किसी भी संख्या में कार्यों के साथ समस्याओं को हल करने में सक्षम होंगे और एकीकृत राज्य परीक्षा में प्रतिस्पर्धी अंक प्राप्त करने पर भरोसा करेंगे।

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साइट पर प्रत्येक अभ्यास के लिए, हमारे विशेषज्ञों ने एक समाधान एल्गोरिदम लिखा है और सही उत्तर दर्शाया है। छात्र अपने कौशल स्तर के आधार पर कठिनाई की विभिन्न डिग्री की समस्याओं को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं। संबंधित अनुभाग में कार्यों की सूची लगातार पूरक और अद्यतन की जाती है।

आप सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन कर सकते हैं और "तर्कसंगत समीकरण" विषय पर समस्याओं को हल करने में अपने कौशल को सुधार सकते हैं, जो कि एकीकृत राज्य परीक्षा परीक्षणों में शामिल हैं, ऑनलाइन। यदि आवश्यक हो, तो प्रस्तुत किए गए किसी भी कार्य को "पसंदीदा" अनुभाग में जोड़ा जा सकता है। पुनः दोहरा रहा हूँ बुनियादी सिद्धांत"तर्कसंगत समीकरण" विषय पर, एक हाई स्कूल का छात्र भविष्य में बीजगणित पाठ में शिक्षक के साथ इसके समाधान की प्रगति पर चर्चा करने के लिए समस्या पर वापस लौट सकेगा।

संपूर्ण अभिव्यक्ति है गणितीय अभिव्यक्ति, जोड़, घटाव और गुणा के संचालन का उपयोग करके संख्याओं और वर्णमाला चर से बना है। पूर्णांकों में ऐसे भाव भी शामिल होते हैं जिनमें शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाजन शामिल होता है।

भिन्नात्मक तर्कसंगत अभिव्यक्ति की अवधारणा

भिन्नात्मक अभिव्यक्ति एक गणितीय अभिव्यक्ति है, जिसमें संख्याओं और अक्षर चर के साथ किए गए जोड़, घटाव और गुणा के संचालन के साथ-साथ शून्य के बराबर संख्या से विभाजन के अलावा, अक्षर चर के साथ अभिव्यक्तियों में विभाजन भी शामिल होता है।

तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ पूर्ण और भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं। तर्कसंगत समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें बाएँ और दाएँ पक्ष तर्कसंगत अभिव्यक्ति होते हैं। यदि किसी परिमेय समीकरण में बाएँ और दाएँ पक्ष पूर्णांक व्यंजक हैं, तो ऐसे परिमेय समीकरण को पूर्णांक कहा जाता है।

यदि किसी परिमेय समीकरण में बाएँ या दाएँ पक्ष भिन्नात्मक व्यंजक हों, तो ऐसे परिमेय समीकरण को भिन्नात्मक कहा जाता है।

भिन्नात्मक तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के उदाहरण

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने की योजना

1. समीकरण में शामिल सभी भिन्नों का उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए।

2. समीकरण के दोनों पक्षों को एक उभयनिष्ठ हर से गुणा करें।

3. परिणामी संपूर्ण समीकरण को हल करें।

4. मूलों की जाँच करें और उन मूलों को हटा दें जो सामान्य विभाजक को लुप्त कर देते हैं।

चूँकि हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल कर रहे हैं, भिन्नों के हर में चर होंगे। इसका मतलब यह है कि वे एक सामान्य विभाजक होंगे। और एल्गोरिथम के दूसरे बिंदु में हम एक सामान्य हर से गुणा करते हैं, तो बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। जिस पर उभयनिष्ठ हर शून्य के बराबर होगा अर्थात इससे गुणा करना निरर्थक होगा। अत: अंत में प्राप्त जड़ों की जांच करना आवश्यक है।

आइए एक उदाहरण देखें:

भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण को हल करें: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

हम कायम रहेंगे सामान्य योजना: आइए सबसे पहले सभी भिन्नों का उभयनिष्ठ हर ज्ञात करें। हमें x*(x-5) मिलता है।

प्रत्येक भिन्न को एक उभयनिष्ठ हर से गुणा करें और परिणामी संपूर्ण समीकरण लिखें।

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

आइए परिणामी समीकरण को सरल बनाएं। हम पाते हैं:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

हमें एक सरल घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। हम इसे किसी भी ज्ञात विधि से हल करते हैं, हमें मूल x=-2 और x=5 मिलते हैं।

अब हम प्राप्त समाधानों की जाँच करते हैं:

उभयनिष्ठ हर में संख्याएँ -2 और 5 रखें। x=-2 पर, उभयनिष्ठ हर x*(x-5) लुप्त नहीं होता है, -2*(-2-5)=14. इसका मतलब यह है कि संख्या -2 मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का मूल होगा।

x=5 पर उभयनिष्ठ हर x*(x-5) शून्य हो जाता है। इसलिए, यह संख्या मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का मूल नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होगा।

इस समीकरण को सरल बनाने के लिए सबसे कम सामान्य विभाजक का उपयोग किया जाता है।इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आप किसी दिए गए समीकरण को समीकरण के प्रत्येक पक्ष पर एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के साथ नहीं लिख सकते (और गुणन की क्रिसक्रॉस विधि का उपयोग करें)। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आपको 3 या अधिक भिन्नों वाला एक तर्कसंगत समीकरण दिया जाता है (दो भिन्नों के मामले में, क्रिस-क्रॉस गुणन का उपयोग करना बेहतर होता है)।

भिन्नों का न्यूनतम समापवर्तक (या लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात कीजिए। NOZ वह सबसे छोटी संख्या है जो प्रत्येक हर से समान रूप से विभाज्य होती है।

• कभी-कभी एनपीडी एक स्पष्ट संख्या होती है। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण दिया गया है: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, तो यह स्पष्ट है कि संख्या 3, 2 और 6 का सबसे छोटा सामान्य गुणज 6 है।
• यदि एनसीडी स्पष्ट नहीं है, तो सबसे बड़े हर के गुणज लिखें और उनमें से एक ऐसा खोजें जो अन्य हर का गुणज हो। अक्सर एनओडी को केवल दो हरों को गुणा करके पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 दिया गया है, तो NOS = 8*9 = 72.
• यदि एक या अधिक हर में एक चर होता है, तो प्रक्रिया कुछ अधिक जटिल हो जाती है (लेकिन असंभव नहीं)। इस मामले में, एनओसी एक अभिव्यक्ति है (एक चर युक्त) जो प्रत्येक हर से विभाजित होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) में, क्योंकि यह अभिव्यक्ति प्रत्येक हर से विभाजित है: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

प्रत्येक भिन्न के अंश और हर दोनों को प्रत्येक भिन्न के संगत हर द्वारा एनओसी को विभाजित करने के परिणाम के बराबर संख्या से गुणा करें। चूँकि आप अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा कर रहे हैं, आप प्रभावी रूप से भिन्न को 1 से गुणा कर रहे हैं (उदाहरण के लिए, 2/2 = 1 या 3/3 = 1)।

• तो हमारे उदाहरण में, 2x/6 प्राप्त करने के लिए x/3 को 2/2 से गुणा करें, और 3/6 प्राप्त करने के लिए 1/2 को 3/3 से गुणा करें (अंश 3x +1/6 को गुणा करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि यह हर 6 है)।
• जब चर हर में हो तो इसी तरह आगे बढ़ें। हमारे दूसरे उदाहरण में, NOZ = 3x(x-1), इसलिए 5(3x)/(3x)(x-1) प्राप्त करने के लिए 5/(x-1) को (3x)/(3x) से गुणा करें; 1/x को 3(x-1)/3(x-1) से गुणा करने पर आपको 3(x-1)/3x(x-1) मिलता है; 2/(3x) को (x-1)/(x-1) से गुणा करने पर आपको 2(x-1)/3x(x-1) प्राप्त होता है।

एक्स खोजें।अब जब आपने भिन्नों को एक सामान्य हर में बदल दिया है, तो आप हर से छुटकारा पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, समीकरण के प्रत्येक पक्ष को उभयनिष्ठ हर से गुणा करें। फिर परिणामी समीकरण को हल करें, अर्थात "x" खोजें। ऐसा करने के लिए, समीकरण के एक तरफ के चर को अलग करें।

• हमारे उदाहरण में: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. आप इसके साथ 2 भिन्न जोड़ सकते हैं एक ही भाजक, इसलिए समीकरण को इस प्रकार लिखें: (2x+3)/6=(3x+1)/6. समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से गुणा करें और हर से छुटकारा पाएं: 2x+3 = 3x +1. हल करें और x = 2 प्राप्त करें।
• हमारे दूसरे उदाहरण में (हर में एक चर के साथ), समीकरण इस तरह दिखता है (एक सामान्य हर में कमी के बाद): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). समीकरण के दोनों पक्षों को N3 से गुणा करने पर, आप हर से छुटकारा पा लेते हैं और प्राप्त करते हैं: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), या 15x = 3x - 3 + 2x -2, या 15x = x - 5 हल करें और प्राप्त करें: x = -5/14.