स्वच्छ और क्रॉस बेंड परिभाषा। सामग्री की ताकत पर विशिष्ट समस्याओं का समाधान करना

सीधा झुकना. समतल अनुप्रस्थ झुकना बीम के लिए आंतरिक बल कारकों के आरेखों का निर्माण करना समीकरणों का उपयोग करके क्यू और एम के आरेखों का निर्माण करना विशेषता वर्गों (बिंदुओं) का उपयोग करके क्यू और एम के आरेखों का निर्माण करना बीम के सीधे झुकने के लिए ताकत की गणना झुकने के दौरान प्रमुख तनाव। बीम की ताकत की पूरी जांच। झुकने के दौरान बीम में विस्थापन का निर्धारण। बीम के विरूपण की अवधारणा और उनकी कठोरता के लिए शर्तें एक बीम के घुमावदार अक्ष के विभेदक समीकरण प्रत्यक्ष एकीकरण की विधि प्रत्यक्ष एकीकरण की विधि द्वारा बीम में विस्थापन का निर्धारण करने के उदाहरण एकीकरण स्थिरांक का भौतिक अर्थ प्रारंभिक मापदंडों की विधि (घुमावदार के सार्वभौमिक समीकरण) एक किरण की धुरी). प्रारंभिक पैरामीटर विधि का उपयोग करके बीम में विस्थापन का निर्धारण करने के उदाहरण। मोहर की विधि का उपयोग करके विस्थापन का निर्धारण। नियम ए.के. वीरेशचागिन। ए.के. के नियम के अनुसार मोहर अभिन्न की गणना। वीरेशचागिना मोहर अभिन्न ग्रंथ सूची प्रत्यक्ष झुकने का उपयोग करके विस्थापन का निर्धारण करने के उदाहरण। सपाट अनुप्रस्थ मोड़. 1.1. बीम के लिए आंतरिक बल कारकों के आरेखों का निर्माण प्रत्यक्ष झुकना एक प्रकार की विकृति है जिसमें रॉड के क्रॉस सेक्शन में दो आंतरिक बल कारक उत्पन्न होते हैं: एक झुकने वाला क्षण और एक अनुप्रस्थ बल। किसी विशेष मामले में, कतरनी बल शून्य हो सकता है, तो झुकने को शुद्ध कहा जाता है। सपाट अनुप्रस्थ झुकने में, सभी बल छड़ की जड़ता के मुख्य विमानों में से एक में और उसके अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत स्थित होते हैं, और क्षण एक ही विमान में स्थित होते हैं (चित्र 1.1, ए, बी)। चावल। 1.1 बीम के एक मनमाने क्रॉस सेक्शन में अनुप्रस्थ बल संख्यात्मक रूप से विचाराधीन अनुभाग के एक तरफ कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के बीम अक्ष के सामान्य पर प्रक्षेपण के बीजगणितीय योग के बराबर है। बीम के एम-एन अनुभाग में अनुप्रस्थ बल (चित्र 1.2, ए) को सकारात्मक माना जाता है यदि अनुभाग के बाईं ओर बाहरी बलों का परिणाम ऊपर की ओर निर्देशित होता है, और दाईं ओर - नीचे की ओर, और नकारात्मक - विपरीत स्थिति में (चित्र 1.2, बी)। चावल। 1.2 किसी दिए गए अनुभाग में अनुप्रस्थ बल की गणना करते समय, अनुभाग के बाईं ओर स्थित बाहरी बलों को प्लस चिह्न के साथ लिया जाता है यदि वे ऊपर की ओर निर्देशित होते हैं, और यदि वे नीचे की ओर निर्देशित होते हैं तो ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है। बीम के दाहिनी ओर के लिए - इसके विपरीत। 5 बीम के एक मनमाने क्रॉस सेक्शन में झुकने का क्षण संख्यात्मक रूप से विचाराधीन अनुभाग के एक तरफ कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के अनुभाग के केंद्रीय अक्ष z के बारे में क्षणों के बीजगणितीय योग के बराबर है। बीम के खंड एम-एन में झुकने का क्षण (चित्र 1.3, ए) को सकारात्मक माना जाता है यदि खंड के बाईं ओर बाहरी बलों का परिणामी क्षण दक्षिणावर्त और दाईं ओर - वामावर्त, और नकारात्मक - विपरीत दिशा में निर्देशित होता है। मामला (चित्र) 1.3, बी). चावल। 1.3 किसी दिए गए अनुभाग में झुकने के क्षण की गणना करते समय, अनुभाग के बाईं ओर स्थित बाहरी बलों के क्षणों को सकारात्मक माना जाता है यदि उन्हें दक्षिणावर्त निर्देशित किया जाता है। बीम के दाहिनी ओर के लिए - इसके विपरीत। बीम के विरूपण की प्रकृति द्वारा झुकने के क्षण का संकेत निर्धारित करना सुविधाजनक है। झुकने का क्षण सकारात्मक माना जाता है यदि, विचाराधीन अनुभाग में, बीम का कट-ऑफ हिस्सा उत्तल रूप से नीचे की ओर झुकता है, यानी, निचले फाइबर खिंचे हुए होते हैं। विपरीत स्थिति में, अनुभाग में झुकने का क्षण नकारात्मक है। झुकने के क्षण M, अपरूपण बल Q और भार तीव्रता q के बीच अंतर संबंध हैं। 1. अनुभाग के भुज के अनुदिश अपरूपण बल का पहला व्युत्पन्न वितरित भार की तीव्रता के बराबर है, अर्थात। . (1.1) 2. खंड के भुज के अनुदिश झुकने वाले क्षण का पहला व्युत्पन्न अनुप्रस्थ बल के बराबर है, अर्थात। (1.2) 3. खंड के भुज के संबंध में दूसरा व्युत्पन्न वितरित भार की तीव्रता के बराबर है, यानी। (1.3) हम ऊपर की ओर निर्देशित वितरित भार को सकारात्मक मानते हैं। एम, क्यू, क्यू के बीच अंतर संबंधों से कई महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलते हैं: 1. यदि बीम अनुभाग पर: ए) अनुप्रस्थ बल सकारात्मक है, तो झुकने का क्षण बढ़ जाता है; बी) अनुप्रस्थ बल नकारात्मक है, तो झुकने का क्षण कम हो जाता है; ग) कतरनी बल शून्य है, तो झुकने के क्षण का एक स्थिर मूल्य (शुद्ध झुकना) होता है; 6 डी) अनुप्रस्थ बल शून्य से होकर गुजरता है, चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है, अधिकतम एम एम, विपरीत स्थिति में एम एममिन। 2. यदि बीम अनुभाग पर कोई वितरित भार नहीं है, तो अनुप्रस्थ बल स्थिर है, और झुकने का क्षण एक रैखिक कानून के अनुसार बदलता है। 3. यदि बीम के एक खंड पर समान रूप से वितरित भार है, तो अनुप्रस्थ बल एक रैखिक कानून के अनुसार बदलता है, और झुकने का क्षण - एक वर्ग परवलय के कानून के अनुसार, भार की दिशा में उत्तल होता है ( तने हुए तंतुओं की ओर से आरेख एम के निर्माण के मामले में)। 4. एक संकेंद्रित बल के तहत अनुभाग में, आरेख Q में एक छलांग है (बल के परिमाण के अनुसार), आरेख M में बल की दिशा में एक मोड़ है। 5. जिस अनुभाग में एक संकेंद्रित क्षण लागू किया जाता है, आरेख एम में इस क्षण के मूल्य के बराबर छलांग होती है। यह Q आरेख में प्रतिबिंबित नहीं होता है. जब बीम को जटिल लोडिंग के साथ लोड किया जाता है, तो अनुप्रस्थ बल Q और झुकने वाले क्षण M के आरेख खींचे जाते हैं। आरेख Q(M) बीम की लंबाई के साथ अनुप्रस्थ बल (झुकने के क्षण) में परिवर्तन के नियम को दर्शाने वाला एक ग्राफ है। आरेख एम और क्यू के विश्लेषण के आधार पर, बीम के खतरनाक खंड निर्धारित किए जाते हैं। क्यू आरेख के सकारात्मक निर्देशांक ऊपर की ओर रखे गए हैं, और नकारात्मक निर्देशांक बीम के अनुदैर्ध्य अक्ष के समानांतर खींची गई आधार रेखा से नीचे रखे गए हैं। एम आरेख के सकारात्मक निर्देशांक नीचे रखे गए हैं, और नकारात्मक निर्देशांक ऊपर की ओर रखे गए हैं, यानी, एम आरेख का निर्माण फैले हुए तंतुओं के किनारे से किया गया है। बीम के लिए क्यू और एम आरेख का निर्माण समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के साथ शुरू होना चाहिए। एक क्लैंप्ड सिरे और दूसरे मुक्त सिरे वाले बीम के लिए, एंबेडमेंट में प्रतिक्रियाओं का निर्धारण किए बिना, आरेख क्यू और एम का निर्माण मुक्त सिरे से शुरू किया जा सकता है। 1.2. बीम समीकरणों का उपयोग करते हुए क्यू और एम आरेखों के निर्माण को खंडों में विभाजित किया गया है, जिसके भीतर झुकने के क्षण और कतरनी बल के कार्य स्थिर रहते हैं (कोई असंतोष नहीं है)। अनुभागों की सीमाएँ संकेंद्रित बलों के अनुप्रयोग के बिंदु, बलों के जोड़े और वितरित भार की तीव्रता में परिवर्तन के स्थान हैं। प्रत्येक अनुभाग में, निर्देशांक की उत्पत्ति से दूरी x पर एक मनमाना अनुभाग लिया जाता है, और इस अनुभाग के लिए Q और M के लिए समीकरण तैयार किए जाते हैं, इन समीकरणों का उपयोग करके, Q और M के आरेख बनाए जाते हैं किसी दिए गए बीम के लिए बल Q और झुकने वाले क्षण M (चित्र 1.4,ए)। समाधान: 1. समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण. हम संतुलन समीकरण बनाते हैं: जिससे हमें समर्थन की प्रतिक्रियाएँ सही ढंग से निर्धारित होती हैं। बीम में चार खंड हैं चित्र। 1.4 लोड: सीए, एडी, डीबी, बीई। 2. आरेख का निर्माण प्र. खंड सीए. सेक्शन सीए 1 में, हम बीम के बाएं छोर से x1 की दूरी पर एक मनमाना सेक्शन 1-1 बनाते हैं। हम Q को अनुभाग 1-1 के बाईं ओर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के बीजगणितीय योग के रूप में परिभाषित करते हैं: ऋण चिह्न इसलिए लिया जाता है क्योंकि अनुभाग के बाईं ओर कार्य करने वाला बल नीचे की ओर निर्देशित होता है। Q के लिए व्यंजक वेरिएबल x1 पर निर्भर नहीं करता है। इस खंड में आरेख Q को भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा के रूप में दर्शाया जाएगा। अनुभाग एडी. अनुभाग पर हम बीम के बाएं छोर से x2 की दूरी पर एक मनमाना अनुभाग 2-2 बनाते हैं। हम Q2 को अनुभाग 2-2 के बाईं ओर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के बीजगणितीय योग के रूप में परिभाषित करते हैं: 8 Q का मान अनुभाग में स्थिर है (वेरिएबल x2 पर निर्भर नहीं करता है)। अनुभाग पर क्यू प्लॉट एब्सिस्सा अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है। प्लॉट डी.बी. साइट पर हम बीम के दाहिने छोर से दूरी x3 पर एक मनमाना खंड 3-3 बनाते हैं। हम Q3 को धारा 3-3 के दाईं ओर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के बीजगणितीय योग के रूप में परिभाषित करते हैं: परिणामी अभिव्यक्ति एक झुकी हुई सीधी रेखा का समीकरण है। अनुभाग बी.ई. साइट पर हम बीम के दाहिने छोर से दूरी x4 पर एक खंड 4-4 बनाते हैं। हम क्यू को धारा 4-4 के दाईं ओर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के बीजगणितीय योग के रूप में परिभाषित करते हैं: 4 यहां प्लस चिह्न लिया गया है क्योंकि धारा 4-4 के दाईं ओर परिणामी भार नीचे की ओर निर्देशित है। प्राप्त मूल्यों के आधार पर, हम Q आरेख बनाते हैं (चित्र 1.4, बी)। 3. आरेख एम का निर्माण. प्लॉट एम1. हम खंड 1-1 में झुकने के क्षण को खंड 1-1 के बाईं ओर कार्य करने वाले बलों के क्षणों के बीजगणितीय योग के रूप में परिभाषित करते हैं। – एक सीधी रेखा का समीकरण. धारा ए 3 हम धारा 2-2 में झुकने के क्षण को धारा 2-2 के बाईं ओर कार्य करने वाले बलों के क्षणों के बीजगणितीय योग के रूप में निर्धारित करते हैं। – एक सीधी रेखा का समीकरण. धारा डीबी 4 हम धारा 3-3 में झुकने के क्षण को धारा 3-3 के दाईं ओर कार्य करने वाले बलों के क्षणों के बीजगणितीय योग के रूप में निर्धारित करते हैं। – द्विघात परवलय का समीकरण. 9 हमें अनुभाग के अंत में और निर्देशांक xk वाले बिंदु पर तीन मान मिलते हैं, जहां अनुभाग बीई 1 हम अनुभाग 4-4 में झुकने के क्षण को अनुभाग के दाईं ओर कार्य करने वाले बलों के क्षणों के बीजगणितीय योग के रूप में निर्धारित करते हैं। 4-4. - एक द्विघात परवलय के समीकरण में, हमें M4 के तीन मान मिलते हैं: प्राप्त मानों का उपयोग करके, हम M का एक आरेख बनाते हैं (चित्र 1.4, c)। खंड सीए और एडी में, क्यू आरेख एब्सिस्सा अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं द्वारा सीमित है, और खंड डीबी और बीई में - झुकी हुई सीधी रेखाओं द्वारा सीमित है। क्यू आरेख पर अनुभाग सी, ए और बी में संबंधित बलों के परिमाण में उछाल होता है, जो क्यू प्लॉट की शुद्धता की जांच के रूप में कार्य करता है जहां क्यू  0, क्षण बाएं से दाएं बढ़ते हैं। उन क्षेत्रों में जहां Q  0 है, क्षण कम हो जाते हैं। संकेंद्रित बलों के अंतर्गत बलों की कार्रवाई की दिशा में मोड़ होते हैं। संकेंद्रित क्षण के अंतर्गत क्षण के परिमाण में उछाल आता है। यह आरेख एम के निर्माण की शुद्धता को इंगित करता है। उदाहरण 1.2 वितरित भार से लदे दो समर्थनों पर एक बीम के लिए आरेख क्यू और एम का निर्माण करें, जिसकी तीव्रता एक रैखिक कानून के अनुसार भिन्न होती है (चित्र 1.5, ए)। समाधान समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण. वितरित भार का परिणाम त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जो भार का एक आरेख है और इस त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर लगाया जाता है। हम बिंदु A और B के सापेक्ष सभी बलों के क्षणों का योग संकलित करते हैं: आरेख Q का निर्माण करते हैं। आइए बाएं समर्थन से दूरी x पर एक मनमाना खंड बनाएं। अनुभाग के अनुरूप लोड आरेख का कोटि त्रिभुजों की समानता से निर्धारित होता है भार के उस भाग का परिणाम जो अनुभाग के बाईं ओर स्थित है अनुभाग में अनुप्रस्थ बल बराबर है अनुप्रस्थ बल कानून के अनुसार बदलता है एक वर्गाकार परवलय के अनुप्रस्थ बल के समीकरण को शून्य के बराबर करने पर, हम उस अनुभाग का भुज पाते हैं जिसमें आरेख Q शून्य से होकर गुजरता है: Q प्लॉट चित्र में दिखाया गया है। 1.5, बी. एक मनमाने खंड में झुकने का क्षण बराबर होता है। झुकने का क्षण एक घन परवलय के नियम के अनुसार भिन्न होता है: झुकने के क्षण का उस खंड में अधिकतम मान होता है जहां 0, यानी आरेख एम पर चित्र में दिखाया गया है। 1.5, सी. 1.3. विशिष्ट खंडों (बिंदुओं) से क्यू और एम के आरेखों का निर्माण करना एम, क्यू, क्यू और उनसे उत्पन्न निष्कर्षों के बीच अंतर निर्भरता का उपयोग करते हुए, विशिष्ट खंडों (समीकरणों को बनाए बिना) से क्यू और एम के आरेखों का निर्माण करना उचित है। इस पद्धति का उपयोग करके, Q और M के मानों की गणना विशिष्ट अनुभागों में की जाती है। विशिष्ट अनुभाग अनुभागों के सीमा अनुभाग हैं, साथ ही ऐसे अनुभाग जहां किसी दिए गए आंतरिक बल कारक का अत्यधिक मूल्य होता है। विशिष्ट वर्गों के बीच की सीमा के भीतर, आरेख की रूपरेखा 12 एम, क्यू, क्यू और उनसे उत्पन्न निष्कर्षों के बीच अंतर निर्भरता के आधार पर स्थापित की जाती है। उदाहरण 1.3 चित्र में दिखाए गए बीम के लिए आरेख Q और M का निर्माण करें। 1.6, ए. चावल। 1.6. समाधान: हम बीम के मुक्त छोर से क्यू और एम आरेख का निर्माण शुरू करते हैं, जबकि एंबेडमेंट में प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने की आवश्यकता नहीं होती है। बीम में तीन लोडिंग सेक्शन हैं: एबी, बीसी, सीडी। सेक्शन एबी और बीसी में कोई वितरित भार नहीं है। अपरूपण बल स्थिर हैं। Q आरेख x-अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं तक सीमित है। झुकने के क्षण रैखिक रूप से भिन्न होते हैं। आरेख एम भुज अक्ष की ओर झुकी सीधी रेखाओं द्वारा सीमित है। सेक्शन सीडी पर समान रूप से वितरित भार है। अनुप्रस्थ बल एक रैखिक कानून के अनुसार भिन्न होते हैं, और झुकने वाले क्षण - वितरित भार की दिशा में उत्तलता के साथ एक वर्ग परवलय के कानून के अनुसार भिन्न होते हैं। खंड एबी और बीसी की सीमा पर, अनुप्रस्थ बल अचानक बदल जाता है। अनुभाग बीसी और सीडी की सीमा पर, झुकने का क्षण अचानक बदल जाता है। 1. आरेख Q का निर्माण। हम अनुभागों के सीमा खंडों में अनुप्रस्थ बलों Q के मूल्यों की गणना करते हैं: गणना परिणामों के आधार पर, हम बीम के लिए आरेख Q का निर्माण करते हैं (चित्र 1, बी)। आरेख Q से यह पता चलता है कि खंड CD पर अनुप्रस्थ बल इस खंड की शुरुआत से दूरी qa a q पर स्थित खंड में शून्य के बराबर है। इस खंड में, झुकने के क्षण का अधिकतम मूल्य होता है। 2. आरेख एम का निर्माण। हम अनुभागों के सीमा खंडों में झुकने वाले क्षणों के मूल्यों की गणना करते हैं: अनुभाग में अधिकतम क्षण पर गणना परिणामों के आधार पर, हम आरेख एम (छवि 5.6, सी) का निर्माण करते हैं। उदाहरण 1.4 एक बीम (चित्र 1.7, बी) के लिए झुकने वाले क्षणों के दिए गए आरेख (चित्र 1.7, ए) का उपयोग करके, अभिनय भार निर्धारित करें और आरेख क्यू बनाएं। वृत्त एक वर्गाकार परवलय के शीर्ष को इंगित करता है। समाधान: आइए बीम पर लगने वाले भार का निर्धारण करें। सेक्शन AC को समान रूप से वितरित भार के साथ लोड किया गया है, क्योंकि इस सेक्शन में आरेख M एक वर्गाकार परवलय है। संदर्भ खंड बी में, एक संकेंद्रित क्षण को किरण पर लागू किया जाता है, जो दक्षिणावर्त कार्य करता है, क्योंकि आरेख एम में हम क्षण के परिमाण से ऊपर की ओर छलांग लगाते हैं। एनई अनुभाग में, बीम लोड नहीं किया गया है, क्योंकि इस अनुभाग में एम आरेख एक झुकी हुई सीधी रेखा द्वारा सीमित है। समर्थन बी की प्रतिक्रिया इस शर्त से निर्धारित होती है कि खंड सी में झुकने का क्षण शून्य के बराबर है, यानी वितरित भार की तीव्रता निर्धारित करने के लिए, हम खंड ए में झुकने के क्षण के लिए एक अभिव्यक्ति बनाते हैं जो कि क्षणों के योग के रूप में होती है। दाईं ओर बल लगाएं और इसे शून्य के बराबर करें अब हम समर्थन ए की प्रतिक्रिया निर्धारित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम बाईं ओर के बलों के क्षणों के योग के रूप में अनुभाग में झुकने वाले क्षणों के लिए एक अभिव्यक्ति की रचना करेंगे। भार के साथ बीम का डिज़ाइन आरेख चित्र में दिखाया गया है। 1.7, सी. बीम के बाएं छोर से शुरू करते हुए, हम अनुभागों के सीमा खंडों में अनुप्रस्थ बलों के मूल्यों की गणना करते हैं: आरेख Q चित्र में दिखाया गया है। 1.7, डी. प्रत्येक अनुभाग में एम, क्यू के लिए कार्यात्मक निर्भरताएँ बनाकर विचाराधीन समस्या का समाधान किया जा सकता है। आइए बीम के बाएं छोर पर निर्देशांक की उत्पत्ति चुनें। एसी अनुभाग में, आरेख एम को एक वर्गाकार परवलय द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिसके समीकरण का रूप स्थिरांक ए, बी, सी होता है, इस स्थिति से पाए जाते हैं कि परवलय ज्ञात निर्देशांक के साथ तीन बिंदुओं से होकर गुजरता है: बिंदुओं के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना परवलय के समीकरण में, हम प्राप्त करते हैं: झुकने वाले क्षण के लिए अभिव्यक्ति फ़ंक्शन M1 को विभेदित करेगी, हम अनुप्रस्थ बल के लिए निर्भरता प्राप्त करते हैं, फ़ंक्शन Q को विभेदित करने के बाद, हम वितरित भार की तीव्रता के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं। खंड एनई में, झुकने वाले क्षण की अभिव्यक्ति एक रैखिक फ़ंक्शन के रूप में प्रस्तुत की जाती है। स्थिरांक ए और बी को निर्धारित करने के लिए, हम शर्तों का उपयोग करते हैं कि यह सीधी रेखा दो बिंदुओं से होकर गुजरती है, जिनके निर्देशांक ज्ञात हैं दो समीकरण प्राप्त करें: ,b जिससे हमें 20 मिलता है। अनुभाग NE में झुकने वाले क्षण के लिए समीकरण M2 के दोहरे विभेदन के बाद होगा, हम M और Q के पाए गए मानों का उपयोग करके आरेख का निर्माण करेंगे बीम के लिए झुकने वाले क्षण और अपरूपण बल। वितरित भार के अलावा, केंद्रित बल तीन खंडों में बीम पर लागू होते हैं, जहां आरेख क्यू पर छलांग होती है और उस खंड में केंद्रित क्षण होते हैं जहां आरेख एम पर झटका होता है। उदाहरण 1.5 एक बीम के लिए (चित्र 1.8, ए), काज सी की तर्कसंगत स्थिति निर्धारित करें, जिस पर स्पैन में सबसे बड़ा झुकने का क्षण एंबेडमेंट में झुकने के क्षण (पूर्ण मूल्य में) के बराबर है। क्यू और एम के आरेख बनाएं। समाधान समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण। इस तथ्य के बावजूद कि समर्थन लिंक की कुल संख्या चार है, बीम सांख्यिकीय रूप से निर्धारित है। काज सी में झुकने का क्षण शून्य है, जो हमें एक अतिरिक्त समीकरण बनाने की अनुमति देता है: इस काज के एक तरफ कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के काज के बारे में क्षणों का योग शून्य के बराबर है। आइए हम काज सी के दाईं ओर सभी बलों के क्षणों का योग संकलित करें। बीम के लिए आरेख क्यू एक झुकी हुई सीधी रेखा द्वारा सीमित है, क्योंकि क्यू = स्थिरांक। हम बीम के सीमा खंडों में अनुप्रस्थ बलों के मान निर्धारित करते हैं: खंड का भुज xK, जहां Q = 0, उस समीकरण से निर्धारित होता है जिससे बीम के लिए आरेख M एक वर्ग परवलय द्वारा सीमित होता है। खंडों में झुकने वाले क्षणों के लिए अभिव्यक्तियाँ, जहां Q = 0, और एंबेडमेंट में क्रमशः निम्नानुसार लिखी गई हैं: क्षणों की समानता की स्थिति से हम प्राप्त करते हैं द्विघात समीकरणवांछित पैरामीटर x के सापेक्ष: वास्तविक मान x2x 1.029 मीटर। हम बीम के विशिष्ट वर्गों में अनुप्रस्थ बलों और झुकने वाले क्षणों के संख्यात्मक मान निर्धारित करते हैं। चित्र 1.8, बी क्यू आरेख दिखाता है . 1.8, सी - आरेख एम। विचाराधीन समस्या को हिंगेड बीम को उसके घटक तत्वों में विभाजित करके हल किया जा सकता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 1.8, डी. शुरुआत में, समर्थन वीसी और वीबी की प्रतिक्रियाएं निर्धारित की जाती हैं। निलंबित बीम एसवी के लिए उस पर लागू भार की कार्रवाई से क्यू और एम के आरेख का निर्माण किया जाता है। फिर वे मुख्य बीम एसी की ओर बढ़ते हैं, इसे एक अतिरिक्त बल वीसी के साथ लोड करते हैं, जो बीम एसी पर बीम सीबी का दबाव बल है। उसके बाद बीम AC के लिए डायग्राम Q और M बनाए जाते हैं। 1.4. बीम के सीधे झुकने के लिए ताकत की गणना सामान्य और कतरनी तनाव के आधार पर ताकत की गणना। जब कोई किरण अपने क्रॉस सेक्शन में सीधे झुकती है, तो सामान्य और स्पर्शरेखीय तनाव उत्पन्न होता है (चित्र 1.9)। 18 चित्र. 1.9 सामान्य तनाव झुकने के क्षण से जुड़े होते हैं, स्पर्शरेखा तनाव कतरनी बल से जुड़े होते हैं। प्रत्यक्ष के साथ शुद्ध मोड़अपरूपण प्रतिबल शून्य हैं। बीम के क्रॉस सेक्शन में एक मनमाना बिंदु पर सामान्य तनाव सूत्र (1.4) द्वारा निर्धारित किया जाता है जहां एम किसी दिए गए अनुभाग में झुकने का क्षण है; Iz - तटस्थ अक्ष z के सापेक्ष अनुभाग की जड़ता का क्षण; y उस बिंदु से दूरी है जहां सामान्य वोल्टेज तटस्थ z अक्ष पर निर्धारित होता है। खंड की ऊंचाई के साथ सामान्य तनाव एक रैखिक कानून के अनुसार बदलते हैं और तटस्थ अक्ष से सबसे दूर के बिंदुओं पर अपने उच्चतम मूल्य तक पहुंचते हैं यदि खंड तटस्थ अक्ष के बारे में सममित है (चित्र 1.11), तो चित्र। 1.11 उच्चतम तन्यता और संपीड़न तनाव समान हैं और सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं,  झुकने के दौरान खंड के प्रतिरोध का अक्षीय क्षण है। चौड़ाई b और ऊंचाई h वाले आयताकार खंड के लिए: (1.7) व्यास d वाले गोलाकार खंड के लिए: (1.8) कुंडलाकार खंड के लिए   - आंतरिक और क्रमशः बाहरी व्यास छल्ले. प्लास्टिक सामग्री से बने बीम के लिए, सबसे तर्कसंगत 20 खंड के सममित आकार (आई-बीम, बॉक्स-आकार, कुंडलाकार) हैं। भंगुर सामग्रियों से बने बीम के लिए जो तनाव और संपीड़न का समान रूप से विरोध नहीं करते हैं, तटस्थ जेड-अक्ष (टी-बीम, यू-आकार, असममित आई-बीम) के संबंध में असममित खंड तर्कसंगत हैं। सममित क्रॉस-सेक्शनल आकृतियों के साथ प्लास्टिक सामग्री से बने निरंतर क्रॉस-सेक्शन के बीम के लिए, ताकत की स्थिति इस प्रकार लिखी गई है: (1.10) जहां एमएमएक्स मापांक में अधिकतम झुकने वाला क्षण है; - सामग्री के लिए अनुमेय तनाव। असममित क्रॉस-अनुभागीय आकृतियों के साथ प्लास्टिक सामग्री से बने निरंतर क्रॉस-सेक्शन के बीम के लिए, ताकत की स्थिति निम्नलिखित रूप में लिखी गई है: (1.11) तटस्थ अक्ष के संबंध में असममित अनुभागों के साथ भंगुर सामग्री से बने बीम के लिए, यदि आरेख एम असंदिग्ध है (चित्र 1.12), आपको दो ताकत की स्थिति लिखने की आवश्यकता है - तटस्थ अक्ष से क्रमशः खतरनाक खंड के विस्तारित और संपीड़ित क्षेत्रों के सबसे दूर के बिंदुओं तक की दूरी; पी - क्रमशः तनाव और संपीड़न के लिए अनुमेय तनाव। चित्र.1.12. 21 यदि झुकने वाले क्षणों के आरेख में विभिन्न संकेतों के खंड हैं (चित्र 1.13), तो खंड 1-1 की जांच करने के अलावा, जहां एममैक्स कार्य करता है, खंड 2-2 के लिए उच्चतम तन्य तनाव की गणना करना आवश्यक है (उच्चतम के साथ) विपरीत चिह्न का क्षण)। चावल। 1.13 सामान्य तनावों का उपयोग करके मुख्य गणना के साथ-साथ, कई मामलों में स्पर्शरेखीय तनावों का उपयोग करके बीम की ताकत की जांच करना आवश्यक है। बीम में स्पर्शरेखा तनाव की गणना डी.आई. ज़ुरावस्की (1.13) के सूत्र का उपयोग करके की जाती है जहां क्यू विचाराधीन बीम के क्रॉस सेक्शन में अनुप्रस्थ बल है; Szотс - किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से खींची गई सीधी रेखा के एक तरफ स्थित अनुभाग भाग के क्षेत्र के तटस्थ अक्ष के सापेक्ष स्थिर क्षण और z अक्ष के समानांतर; बी - विचाराधीन बिंदु के स्तर पर अनुभाग की चौड़ाई; Iz तटस्थ z अक्ष के सापेक्ष संपूर्ण खंड की जड़ता का क्षण है। कई मामलों में, अधिकतम कतरनी तनाव बीम की तटस्थ परत (आयत, आई-बीम, सर्कल) के स्तर पर होता है। ऐसे मामलों में, स्पर्शरेखीय तनावों के लिए ताकत की स्थिति को फॉर्म में लिखा जाता है, (1.14) जहां क्यूमैक्स निरपेक्ष मूल्य में सबसे बड़ा अनुप्रस्थ बल है; - सामग्री के लिए अनुमेय कतरनी तनाव। बीम के एक आयताकार खंड के लिए, ताकत की स्थिति का रूप (1.15) है ए बीम का क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र है। एक गोलाकार खंड के लिए, ताकत की स्थिति को फॉर्म (1.16) में प्रस्तुत किया गया है, आई-सेक्शन के लिए, ताकत की स्थिति इस प्रकार लिखी गई है: (1. 17) जहां Szo,тmсax तटस्थ अक्ष के सापेक्ष आधे खंड का स्थिर क्षण है; डी - आई-बीम की दीवार की मोटाई। आमतौर पर, बीम के क्रॉस-सेक्शनल आयाम सामान्य तनाव के तहत ताकत की स्थिति से निर्धारित होते हैं। कतरनी तनाव द्वारा बीम की ताकत की जांच करना छोटे बीम और किसी भी लंबाई के बीम के लिए अनिवार्य है यदि समर्थन के पास बड़े परिमाण की केंद्रित ताकतें हैं, साथ ही लकड़ी, रिवेट और वेल्डेड बीम के लिए भी। उदाहरण 1.6 यदि एमपीए है, तो सामान्य और कतरनी तनाव का उपयोग करके बॉक्स-सेक्शन बीम (छवि 1.14) की ताकत की जांच करें। बीम के खतरनाक भाग में चित्र बनाएं। चावल। 1.14 समाधान 23 1. विशिष्ट अनुभागों का उपयोग करके क्यू और एम के आरेख बनाना। बीम के बाईं ओर ध्यान देने पर, हमें अनुप्रस्थ बलों का आरेख चित्र में दिखाया गया है। 1.14, सी. झुकने वाले क्षणों का आरेख चित्र में दिखाया गया है। 5.14, जी. 2. क्रॉस सेक्शन की ज्यामितीय विशेषताएं 3. सेक्शन सी में उच्चतम सामान्य तनाव, जहां एममैक्स कार्य करता है (मॉड्यूलो): एमपीए। बीम में अधिकतम सामान्य तनाव लगभग अनुमेय तनाव के बराबर है। 4. खंड सी (या ए) में उच्चतम स्पर्शरेखा तनाव, जहां अधिकतम क्यू कार्य करता है (मॉड्यूलो): यहां तटस्थ अक्ष के सापेक्ष आधे खंड क्षेत्र का स्थिर क्षण है; b2 सेमी - तटस्थ अक्ष के स्तर पर अनुभाग की चौड़ाई। 5. खंड सी में एक बिंदु (दीवार में) पर स्पर्शरेखीय तनाव: चित्र। 1.15 यहाँ Szomc 834.5 108 सेमी3 बिंदु K1 से गुजरने वाली रेखा के ऊपर स्थित अनुभाग के क्षेत्र का स्थिर क्षण है; b2 सेमी - बिंदु K1 के स्तर पर दीवार की मोटाई। बीम के अनुभाग सी के लिए आरेख  और  चित्र में दिखाए गए हैं। 1.15. उदाहरण 1.7 चित्र में दिखाए गए बीम के लिए। 1.16, ए, आवश्यक: 1. विशिष्ट खंडों (बिंदुओं) के साथ अनुप्रस्थ बलों और झुकने वाले क्षणों के आरेख बनाएं। 2. सामान्य तनाव के तहत ताकत की स्थिति से एक वृत्त, आयत और आई-बीम के रूप में क्रॉस सेक्शन के आयाम निर्धारित करें, क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रों की तुलना करें। 3. स्पर्शरेखीय तनाव के अनुसार बीम अनुभागों के चयनित आयामों की जाँच करें। दिया गया: समाधान: 1. बीम समर्थन की प्रतिक्रियाएं निर्धारित करें। जांचें: 2. आरेख क्यू और एम का निर्माण। बीम 25 के विशिष्ट वर्गों में अनुप्रस्थ बलों का मान। 1.16 अनुभाग सीए और एडी में, भार तीव्रता q = स्थिरांक। परिणामस्वरूप, इन क्षेत्रों में क्यू आरेख अक्ष की ओर झुकी सीधी रेखाओं तक सीमित है। खंड DB में, वितरित भार की तीव्रता q = 0 है, इसलिए, इस खंड में, आरेख Q, x अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा तक सीमित है। बीम के लिए Q आरेख चित्र में दिखाया गया है। 1.16, बी. बीम के विशिष्ट खंडों में झुकने वाले क्षणों का मान: दूसरे खंड में, हम उस खंड का भुज x2 निर्धारित करते हैं जिसमें Q = 0: दूसरे खंड में अधिकतम क्षण बीम के लिए आरेख एम चित्र में दिखाया गया है। 1.16, सी. 2. हम सामान्य तनावों के आधार पर एक ताकत की स्थिति बनाते हैं जिससे हम परिपत्र क्रॉस-सेक्शन के बीम के आवश्यक व्यास डी द्वारा निर्धारित अभिव्यक्ति से अनुभाग के प्रतिरोध के आवश्यक अक्षीय क्षण को निर्धारित करते हैं। परिपत्र क्रॉस-सेक्शन का क्षेत्र के लिए आयताकार क्रॉस-सेक्शन का एक बीम अनुभाग की आवश्यक ऊंचाई आयताकार क्रॉस-सेक्शन का क्षेत्र आवश्यक संख्या निर्धारित करें मैं दमक . GOST 8239-89 की तालिकाओं का उपयोग करते हुए, हम प्रतिरोध 597 सेमी3 के अक्षीय क्षण का निकटतम उच्च मान पाते हैं, जो विशेषताओं के साथ आई-बीम संख्या 33 से मेल खाता है: ए जेड 9840 सेमी4। सहनशीलता जांच: (अनुमेय 5% के 1% से कम भार) निकटतम आई-बीम संख्या 30 (डब्ल्यू 2 सेमी3) महत्वपूर्ण अधिभार (5% से अधिक) की ओर ले जाता है। हम अंततः आई-बीम नंबर 33 को स्वीकार करते हैं। हम गोल और आयताकार खंडों के क्षेत्रों की तुलना आई-बीम के सबसे छोटे क्षेत्र ए से करते हैं: विचार किए गए तीन खंडों में से, सबसे किफायती आई-बीम खंड है। 3. हम आई-बीम के खतरनाक खंड 27 में उच्चतम सामान्य तनाव की गणना करते हैं (चित्र 1.17, ए): आई-बीम खंड के निकला हुआ किनारा के पास की दीवार में सामान्य तनाव खतरनाक खंड में सामान्य तनाव का आरेख किरण को चित्र में दिखाया गया है। 1.17, बी. 5. बीम के चयनित अनुभागों के लिए उच्चतम कतरनी तनाव निर्धारित करें। ए) बीम का आयताकार खंड: बी) बीम का गोल खंड: सी) आई-बीम खंड: खतरनाक खंड ए (दाएं) (बिंदु 2 पर) में आई-बीम के निकला हुआ किनारा के पास दीवार में स्पर्शरेखा तनाव: आई-बीम के खतरनाक वर्गों में स्पर्शरेखा तनाव का आरेख चित्र में दिखाया गया है। 1.17, सी. बीम में अधिकतम स्पर्शरेखा तनाव अनुमेय तनाव से अधिक नहीं है उदाहरण 1.8 बीम पर अनुमेय भार निर्धारित करें (चित्र 1.18, ए), यदि 60 एमपीए, क्रॉस-अनुभागीय आयाम दिए गए हैं (चित्र 1.19, ए)। स्वीकार्य भार पर बीम के खतरनाक खंड में सामान्य तनाव का एक आरेख बनाएं। चित्र 1.18 1. बीम समर्थन की प्रतिक्रियाओं का निर्धारण। सिस्टम की समरूपता के कारण 2. विशिष्ट अनुभागों का उपयोग करके आरेख Q और M का निर्माण। बीम के विशिष्ट खंडों में अनुप्रस्थ बल: बीम के लिए आरेख Q चित्र में दिखाया गया है। 5.18, बी. बीम के विशिष्ट खंडों में झुकने के क्षण बीम के दूसरे भाग के लिए, निर्देशांक एम समरूपता के अक्ष के साथ हैं। बीम के लिए आरेख एम चित्र में दिखाया गया है। 1.18, बी. 3. अनुभाग की ज्यामितीय विशेषताएँ (चित्र 1.19)। हम आकृति को दो सरल तत्वों में विभाजित करते हैं: आई-बीम - 1 और आयत - 2। चित्र। 1.19 आई-बीम संख्या 20 के लिए वर्गीकरण के अनुसार, हमारे पास एक आयत के लिए है: z1 अक्ष के सापेक्ष अनुभागीय क्षेत्र का स्थिर क्षण, z1 अक्ष से अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक की दूरी, अनुभाग के सापेक्ष जड़ता का क्षण समानांतर अक्षों में संक्रमण के सूत्रों के अनुसार पूरे खंड के मुख्य केंद्रीय अक्ष z तक 4. खतरनाक खंड I (चित्र 1.18) में खतरनाक बिंदु "ए" (छवि 1.19) के लिए सामान्य तनाव के लिए ताकत की स्थिति: प्रतिस्थापित करने के बाद संख्यात्मक डेटा 5. एक खतरनाक खंड में स्वीकार्य भार के साथ, बिंदु "ए" और "बी" पर सामान्य तनाव बराबर होगा: खतरनाक खंड 1-1 के लिए सामान्य तनाव का आरेख चित्र में दिखाया गया है। 1.19, बी.

झुकनाविकृति कहलाती है जिसमें छड़ की धुरी और उसके सभी तंतु, यानी छड़ की धुरी के समानांतर अनुदैर्ध्य रेखाएं, बाहरी बलों की कार्रवाई के तहत मुड़ जाती हैं। झुकने का सबसे सरल मामला तब होता है जब बाहरी बल छड़ के केंद्रीय अक्ष से गुजरने वाले विमान में स्थित होते हैं और इस अक्ष पर प्रक्षेपण उत्पन्न नहीं करते हैं। इस प्रकार के झुकने को अनुप्रस्थ झुकने कहा जाता है। इसमें सपाट मोड़ और तिरछे मोड़ हैं।

सपाट मोड़- ऐसा मामला जब छड़ की घुमावदार धुरी उसी तल में स्थित होती है जिसमें बाहरी बल कार्य करते हैं।

तिरछा (जटिल) मोड़- झुकने का मामला जब छड़ की मुड़ी हुई धुरी बाहरी बलों की कार्रवाई के विमान में नहीं होती है।

आमतौर पर इसे झुकने वाली छड़ कहा जाता है खुशी से उछलना।

समन्वय प्रणाली y0x के साथ एक अनुभाग में बीम के समतल अनुप्रस्थ झुकने के दौरान, दो आंतरिक बल उत्पन्न हो सकते हैं - अनुप्रस्थ बल Q y और झुकने का क्षण M x; निम्नलिखित में हम उनके लिए संकेतन का परिचय देते हैं क्यूऔर एम।यदि किसी बीम के खंड या अनुभाग में कोई अनुप्रस्थ बल नहीं है (क्यू = 0), और झुकने का क्षण शून्य नहीं है या एम स्थिरांक है, तो ऐसे मोड़ को आमतौर पर कहा जाता है साफ.

पार्श्विक प्रभावबीम के किसी भी खंड में संख्यात्मक रूप से खींचे गए खंड के एक तरफ (दोनों में से) स्थित सभी बलों (समर्थन प्रतिक्रियाओं सहित) के अक्ष पर अनुमानों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

बेंडिंग मोमेंटएक बीम खंड में संख्यात्मक रूप से इस खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के सापेक्ष खींचे गए खंड के एक तरफ (किसी भी) पर स्थित सभी बलों (समर्थन प्रतिक्रियाओं सहित) के क्षणों के बीजगणितीय योग के बराबर है, अधिक सटीक रूप से, अक्ष के सापेक्ष खींचे गए खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के माध्यम से ड्राइंग विमान के लंबवत गुजरना।

बल प्रहै परिणामीआंतरिक के क्रॉस-सेक्शन पर वितरित अपरूपण तनाव, ए पल एम– क्षणों का योगअनुभाग X आंतरिक के केंद्रीय अक्ष के चारों ओर साधारण तनाव।

आंतरिक शक्तियों के बीच एक अंतर संबंध है

जिसका उपयोग Q और M आरेखों के निर्माण और जाँच में किया जाता है।

चूँकि बीम के कुछ तंतु खिंचे हुए होते हैं, और कुछ संकुचित होते हैं, और तनाव से संपीड़न तक संक्रमण सुचारू रूप से होता है, बिना छलांग के, बीम के मध्य भाग में एक परत होती है जिसके तंतु केवल झुकते हैं, लेकिन अनुभव भी नहीं करते हैं तनाव या संपीड़न. इस परत को कहा जाता है तटस्थ परत. वह रेखा जिसके साथ तटस्थ परत बीम के क्रॉस सेक्शन को काटती है, कहलाती है तटस्थ रेखावें या तटस्थ अक्षअनुभाग. बीम की धुरी पर तटस्थ रेखाएँ खींची जाती हैं।

धुरी के लंबवत बीम की पार्श्व सतह पर खींची गई रेखाएँ झुकने पर सपाट रहती हैं। ये प्रयोगात्मक डेटा समतल खंडों की परिकल्पना पर सूत्रों के निष्कर्षों को आधार बनाना संभव बनाते हैं। इस परिकल्पना के अनुसार, बीम के खंड झुकने से पहले अपनी धुरी पर सपाट और लंबवत होते हैं, सपाट रहते हैं और मुड़ने पर बीम की घुमावदार धुरी के लंबवत हो जाते हैं। झुकने पर बीम का क्रॉस सेक्शन विकृत हो जाता है। अनुप्रस्थ विरूपण के कारण, बीम के संपीड़ित क्षेत्र में क्रॉस-अनुभागीय आयाम बढ़ जाते हैं, और तन्य क्षेत्र में वे संकुचित हो जाते हैं।

सूत्र प्राप्त करने के लिए मान्यताएँ। सामान्य वोल्टेज

1) समतल खंडों की परिकल्पना पूरी हुई।

2) अनुदैर्ध्य फाइबर एक दूसरे पर दबाव नहीं डालते हैं और इसलिए, सामान्य तनाव के प्रभाव में, रैखिक तनाव या संपीड़न संचालित होता है।

3) तंतुओं की विकृति क्रॉस-अनुभागीय चौड़ाई के साथ उनकी स्थिति पर निर्भर नहीं करती है। नतीजतन, सामान्य तनाव, अनुभाग की ऊंचाई के साथ बदलते हुए, चौड़ाई के साथ समान रहते हैं।

4) बीम में समरूपता का कम से कम एक तल होता है, और सभी बाहरी बल इसी तल में होते हैं।

5) बीम की सामग्री हुक के नियम का पालन करती है, और तनाव और संपीड़न में लोच का मापांक समान होता है।

6) बीम के आयामों के बीच संबंध ऐसा है कि यह बिना मुड़े या मुड़े समतल झुकने की स्थिति में काम करता है।

केवल बीम के शुद्ध मोड़ के मामले में साधारण तनाव, सूत्र द्वारा निर्धारित:

जहां y एक मनमाना खंड बिंदु का निर्देशांक है, जिसे तटस्थ रेखा - मुख्य केंद्रीय अक्ष x से मापा जाता है।

अनुभाग की ऊंचाई के साथ सामान्य झुकने वाले तनाव वितरित किए जाते हैं रैखिक कानून. सबसे बाहरी तंतुओं पर, सामान्य तनाव अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँचते हैं, और खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर वे शून्य के बराबर होते हैं।

तटस्थ रेखा के सापेक्ष सममित वर्गों के लिए सामान्य तनाव आरेख की प्रकृति

उन वर्गों के लिए सामान्य तनाव आरेख की प्रकृति जिनमें तटस्थ रेखा के संबंध में समरूपता नहीं है

खतरनाक बिंदु तटस्थ रेखा से सबसे दूर के बिंदु हैं।

आइए कुछ अनुभाग चुनें

अनुभाग के किसी भी बिंदु के लिए, आइए इसे एक बिंदु कहें को, सामान्य तनाव के लिए बीम ताकत की स्थिति का रूप है:

, जहां एन.ओ. - यह तटस्थ अक्ष

यह अक्षीय खंड मापांकतटस्थ अक्ष के सापेक्ष. इसका आयाम सेमी 3, मी 3 है। प्रतिरोध का क्षण तनाव के परिमाण पर क्रॉस सेक्शन के आकार और आयामों के प्रभाव को दर्शाता है।

सामान्य तनाव शक्ति की स्थिति:

सामान्य तनाव तटस्थ अक्ष के सापेक्ष अनुभाग के प्रतिरोध के अक्षीय क्षण के अधिकतम झुकने के क्षण के अनुपात के बराबर है।

यदि सामग्री समान रूप से तनाव और संपीड़न का विरोध नहीं करती है, तो दो ताकत स्थितियों का उपयोग किया जाना चाहिए: अनुमेय तन्य तनाव के साथ तन्य क्षेत्र के लिए; अनुमेय संपीड़न तनाव वाले संपीड़न क्षेत्र के लिए।

अनुप्रस्थ झुकने के दौरान, इसके क्रॉस-सेक्शन में प्लेटफ़ॉर्म पर बीम कार्य करते हैं सामान्य, इसलिए स्पर्शरेखावोल्टेज।

झुकना



झुकने के बारे में बुनियादी अवधारणाएँ

झुकने की विकृति बाहरी भार लागू होने पर बीम लाइन (इसकी धुरी) द्वारा सीधेपन या मूल आकार के नुकसान की विशेषता है। इस मामले में, कतरनी विरूपण के विपरीत, बीम रेखा अपना आकार आसानी से बदलती है।
यह देखना आसान है कि झुकने का प्रतिरोध न केवल बीम (बीम, रॉड, आदि) के क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र से प्रभावित होता है, बल्कि इससे भी प्रभावित होता है ज्यामितीय आकारयह अनुभाग।

चूँकि किसी पिंड (बीम, लकड़ी, आदि) का झुकना किसी भी अक्ष के सापेक्ष किया जाता है, झुकने का प्रतिरोध इस अक्ष के सापेक्ष शरीर के अनुभाग की जड़ता के अक्षीय क्षण के मूल्य से प्रभावित होता है।
तुलना के लिए, मरोड़ विरूपण के दौरान, शरीर का खंड ध्रुव (बिंदु) के सापेक्ष मोड़ के अधीन होता है, इसलिए, मरोड़ का प्रतिरोध इस खंड की जड़ता के ध्रुवीय क्षण से प्रभावित होता है।

कई संरचनात्मक तत्व मुड़ सकते हैं - धुरी, शाफ्ट, बीम, गियर दांत, लीवर, छड़ें, आदि।

सामग्रियों की मजबूती के आधार पर कई प्रकार के मोड़ों पर विचार किया जाता है:
- बीम पर लागू बाहरी भार की प्रकृति के आधार पर, हैं शुद्ध मोड़और अनुप्रस्थ झुकना;
- बीम के अक्ष के सापेक्ष झुकने वाले भार की क्रिया के तल के स्थान पर निर्भर करता है - सीधा मोड़और तिरछा मोड़.

शुद्ध और अनुप्रस्थ बीम झुकना

शुद्ध झुकना एक प्रकार की विकृति है जिसमें बीम के किसी भी क्रॉस सेक्शन में केवल झुकने का क्षण होता है ( चावल। 2).
उदाहरण के लिए, शुद्ध झुकने वाली विकृति तब घटित होगी जब परिमाण में समान और चिह्न में विपरीत बलों के दो जोड़े अक्ष से गुजरने वाले विमान में एक सीधी किरण पर लागू होते हैं। फिर बीम के प्रत्येक खंड में केवल झुकने वाले क्षण कार्य करेंगे।

यदि बीम पर अनुप्रस्थ बल लगाने के परिणामस्वरूप झुकना होता है ( चावल। 3), तो ऐसे मोड़ को अनुप्रस्थ कहा जाता है। इस मामले में, बीम के प्रत्येक अनुभाग में, एक अनुप्रस्थ बल और एक झुकने वाला क्षण दोनों कार्य करते हैं (उस अनुभाग को छोड़कर जिस पर बाहरी भार लगाया जाता है)।

यदि बीम में समरूपता की कम से कम एक धुरी है, और भार की कार्रवाई का विमान इसके साथ मेल खाता है, तो प्रत्यक्ष झुकना होता है, लेकिन यदि यह स्थिति पूरी नहीं होती है, तो तिरछा झुकना होता है।

झुकने की विकृति का अध्ययन करते समय, हम मानसिक रूप से कल्पना करेंगे कि बीम (लकड़ी) में अक्ष के समानांतर असंख्य अनुदैर्ध्य फाइबर होते हैं।
सीधे मोड़ की विकृति को देखने के लिए, हम एक रबर बार के साथ एक प्रयोग करेंगे, जिस पर अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ रेखाओं का एक ग्रिड लगाया जाता है।
ऐसी किरण उजागर करके सीधा मोड़, कोई यह नोटिस कर सकता है कि ( चावल। 1):

विरूपण के दौरान अनुप्रस्थ रेखाएँ सीधी रहेंगी, लेकिन एक दूसरे से कोण पर मुड़ेंगी;
- बीम के खंड अवतल पक्ष पर अनुप्रस्थ दिशा में विस्तारित होंगे और उत्तल पक्ष पर संकीर्ण होंगे;
- अनुदैर्ध्य सीधी रेखाएँ मुड़ेंगी।

इस अनुभव से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि:

शुद्ध झुकने के लिए, समतल खंडों की परिकल्पना मान्य है;
- उत्तल पक्ष पर पड़े तंतु खिंचे हुए होते हैं, अवतल पक्ष पर वे संकुचित होते हैं, और उनके बीच की सीमा पर तंतुओं की एक तटस्थ परत होती है जो केवल अपनी लंबाई बदले बिना झुकती है।

यह मानते हुए कि तंतुओं पर कोई दबाव नहीं होने की परिकल्पना वैध है, यह तर्क दिया जा सकता है कि बीम के क्रॉस सेक्शन में शुद्ध झुकने के साथ, केवल सामान्य तन्यता और संपीड़ित तनाव उत्पन्न होते हैं, जो क्रॉस सेक्शन पर असमान रूप से वितरित होते हैं।
अनुप्रस्थ-अनुभागीय तल के साथ तटस्थ परत की प्रतिच्छेदन रेखा कहलाती है तटस्थ अक्ष. यह स्पष्ट है कि तटस्थ अक्ष पर सामान्य तनाव शून्य है।

झुकने का क्षण और कतरनी बल

जैसा कि सैद्धांतिक यांत्रिकी से ज्ञात होता है, बीम की समर्थन प्रतिक्रियाएं संपूर्ण बीम के लिए स्थैतिक संतुलन समीकरणों को बनाने और हल करने से निर्धारित होती हैं। सामग्रियों के प्रतिरोध की समस्याओं को हल करते समय, और बीम में आंतरिक बल कारकों का निर्धारण करते समय, हमने बीम पर कार्य करने वाले बाहरी भार के साथ-साथ कनेक्शन की प्रतिक्रियाओं को भी ध्यान में रखा।
आंतरिक बल कारकों को निर्धारित करने के लिए, हम अनुभाग विधि का उपयोग करेंगे, और हम बीम को केवल एक रेखा के साथ चित्रित करेंगे - वह अक्ष जिस पर सक्रिय और प्रतिक्रियाशील बल लागू होते हैं (भार और प्रतिक्रिया प्रतिक्रियाएं)।

आइए दो मामलों पर विचार करें:

1. एक बीम पर समान और विपरीत चिह्न के दो जोड़े बल लगाए जाते हैं।
धारा 1-1 के बाएँ या दाएँ स्थित बीम के भाग के संतुलन पर विचार करना (अंक 2), हम देखते हैं कि सभी क्रॉस सेक्शन में केवल एक झुकने वाला क्षण एम और बाहरी क्षण के बराबर होता है। तो यह शुद्ध रूप से झुकने का मामला है।

झुकने का क्षण बीम के क्रॉस सेक्शन में कार्य करने वाले आंतरिक सामान्य बलों के तटस्थ अक्ष के बारे में परिणामी क्षण है।

आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि झुकने का क्षण क्या है अलग दिशाबाएँ के लिए और सही भागकिरणें। यह इंगित करता है कि झुकने के क्षण का संकेत निर्धारित करते समय स्थैतिक संकेत नियम अनुपयुक्त है।

2. अक्ष के लंबवत सक्रिय और प्रतिक्रियाशील बल (भार और प्रतिक्रिया प्रतिक्रियाएं) बीम पर लागू होते हैं (चावल। 3). बाईं और दाईं ओर स्थित बीम के हिस्सों के संतुलन को ध्यान में रखते हुए, हम देखते हैं कि झुकने का क्षण एम को क्रॉस सेक्शन में कार्य करना चाहिए और और कतरनी बल Q.
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि विचाराधीन मामले में, क्रॉस सेक्शन के बिंदुओं पर न केवल झुकने के क्षण के अनुरूप सामान्य तनाव होते हैं, बल्कि अनुप्रस्थ बल के अनुरूप स्पर्शरेखा तनाव भी होते हैं।

अनुप्रस्थ बल बीम के क्रॉस सेक्शन में आंतरिक स्पर्शरेखा बलों का परिणाम है।

आइए हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि अनुप्रस्थ बल की किरण के बाएँ और दाएँ भागों के लिए विपरीत दिशा होती है, जो अनुप्रस्थ बल के चिह्न का निर्धारण करते समय स्थैतिक चिह्न नियम की अनुपयुक्तता को इंगित करता है।

झुकना, जिसमें झुकने का क्षण और कतरनी बल बीम के क्रॉस सेक्शन में कार्य करता है, अनुप्रस्थ कहलाता है।



बलों की एक समतल प्रणाली की कार्रवाई के तहत संतुलन में एक किरण के लिए, किसी भी बिंदु के सापेक्ष सभी सक्रिय और प्रतिक्रियाशील बलों के क्षणों का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर है; इसलिए, अनुभाग के बाईं ओर बीम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के क्षणों का योग संख्यात्मक रूप से अनुभाग के दाईं ओर बीम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के क्षणों के योग के बराबर है।
इस प्रकार, बीम अनुभाग में झुकने का क्षण संख्यात्मक रूप से अनुभाग के दाएं या बाएं बीम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के सापेक्ष क्षणों के बीजगणितीय योग के बराबर है।.

अक्ष के लंबवत बलों की एक समतल प्रणाली (यानी, समानांतर बलों की एक प्रणाली) की कार्रवाई के तहत संतुलन में एक बीम के लिए, सभी बाहरी बलों का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर है; इसलिए, अनुभाग के बाईं ओर बीम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों का योग संख्यात्मक रूप से अनुभाग के दाईं ओर बीम पर कार्य करने वाले बलों के बीजगणितीय योग के बराबर है।
इस प्रकार, बीम अनुभाग में अनुप्रस्थ बल संख्यात्मक रूप से अनुभाग के दाईं या बाईं ओर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के बीजगणितीय योग के बराबर है.

चूंकि झुकने के क्षण और कतरनी बल के संकेतों को स्थापित करने के लिए स्थैतिक संकेतों के नियम अस्वीकार्य हैं, इसलिए हम उनके लिए अन्य संकेत नियम स्थापित करेंगे, अर्थात्: यदि कोई बाहरी भार बीम को उसकी उत्तलता के साथ नीचे की ओर झुकाता है, तो झुकने का क्षण अनुभाग को सकारात्मक माना जाता है, और इसके विपरीत, यदि बाहरी भार बीम को उत्तल के साथ ऊपर की ओर मोड़ता है, तो अनुभाग में झुकने का क्षण नकारात्मक माना जाता है ( चित्र 4,ए).

यदि खंड के बाईं ओर स्थित बाहरी बलों का योग परिणामी को ऊपर की ओर निर्देशित करता है, तो खंड में अनुप्रस्थ बल को सकारात्मक माना जाता है यदि परिणामी को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है, तो खंड में अनुप्रस्थ बल को नकारात्मक माना जाता है; अनुभाग के दाईं ओर स्थित बीम के भाग के लिए, कतरनी बल के संकेत विपरीत होंगे ( चावल। 4,बी). इन नियमों का उपयोग करते हुए, आपको मानसिक रूप से बीम के अनुभाग को कठोरता से जकड़े हुए, और कनेक्शन को त्याग दिए गए और प्रतिक्रियाओं द्वारा प्रतिस्थापित किए जाने की कल्पना करनी चाहिए।

आइए हम एक बार फिर ध्यान दें कि बांड की प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए, स्थैतिक के संकेतों के नियमों का उपयोग किया जाता है, और झुकने के क्षण और अनुप्रस्थ बल के संकेतों को निर्धारित करने के लिए, सामग्रियों के प्रतिरोध के संकेतों के नियमों का उपयोग किया जाता है।
झुकने वाले क्षणों के संकेतों के नियम को कभी-कभी "बारिश का नियम" कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि नीचे की ओर उत्तलता के मामले में, एक फ़नल बनता है जिसमें वर्षा जल बरकरार रहता है (संकेत सकारात्मक है), और इसके विपरीत - यदि नीचे की ओर है भार के प्रभाव से किरण एक चाप में ऊपर की ओर झुक जाती है, उस पर पानी देर से नहीं गिरता है (झुकने के क्षणों का संकेत नकारात्मक है)।

"झुकना" अनुभाग से सामग्री:

बीम की धुरी के लंबवत कार्य करने वाले और इस धुरी से गुजरने वाले विमान में स्थित बल विरूपण का कारण बनते हैं जिन्हें कहा जाता है अनुप्रस्थ झुकना. यदि उल्लिखित बलों की कार्रवाई का विमान – मुख्य तल, फिर एक सीधा (सपाट) अनुप्रस्थ मोड़ होता है। अन्यथा, मोड़ को तिरछा अनुप्रस्थ कहा जाता है। एक बीम जो मुख्य रूप से झुकने के अधीन है, कहलाती है खुशी से उछलना 1 .

अनिवार्य रूप से, अनुप्रस्थ झुकना शुद्ध झुकने और कतरनी का एक संयोजन है। ऊंचाई के साथ कैंची के असमान वितरण के कारण क्रॉस सेक्शन की वक्रता के संबंध में, सामान्य तनाव सूत्र का उपयोग करने की संभावना के बारे में सवाल उठता है। एक्स, समतल खंडों की परिकल्पना के आधार पर शुद्ध झुकने के लिए व्युत्पन्न।

1 एक एकल-स्पैन बीम, जिसके सिरों पर क्रमशः एक बेलनाकार स्थिर समर्थन और बीम अक्ष की दिशा में एक बेलनाकार चल समर्थन होता है, कहलाता है सरल. एक बीम जिसका एक सिरा क्लैंप्ड और दूसरा मुक्त होता है, कहलाता है सांत्वना देना. एक साधारण बीम जिसमें एक या दो भाग किसी सहारे पर लटकते हैं, कहलाते हैं सांत्वना देना.

यदि, इसके अलावा, अनुभागों को उन स्थानों से दूर ले जाया जाता है जहां भार लगाया जाता है (बीम के अनुभाग की ऊंचाई के आधे से कम दूरी पर नहीं), तो यह माना जा सकता है, जैसा कि शुद्ध झुकने के मामले में, ताकि रेशे एक दूसरे पर दबाव न डालें। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक फाइबर एकअक्षीय तनाव या संपीड़न का अनुभव करता है।

वितरित भार की कार्रवाई के तहत, दो आसन्न वर्गों में अनुप्रस्थ बल बराबर मात्रा में भिन्न होंगे क्यूडीएक्स. इसलिए, अनुभागों की वक्रता भी थोड़ी भिन्न होगी। इसके अलावा, फाइबर एक दूसरे पर दबाव डालेंगे। मुद्दे के गहन अध्ययन से पता चलता है कि यदि बीम की लंबाई एलइसकी ऊंचाई की तुलना में काफी बड़ा है एच (एल/ एच> 5), फिर वितरित भार के साथ भी, इन कारकों का क्रॉस सेक्शन में सामान्य तनाव पर कोई महत्वपूर्ण प्रभाव नहीं पड़ता है और इसलिए व्यावहारिक गणनाध्यान में नहीं रखा जा सकता.

ए बी सी

चावल। 10.5 चित्र. 10.6

संकेंद्रित भार के तहत और उनके निकट के वर्गों में, σ का वितरण एक्सरेखीय नियम से भटक जाता है. यह विचलन, जो प्रकृति में स्थानीय है और उच्चतम तनाव (सबसे बाहरी तंतुओं में) में वृद्धि के साथ नहीं है, आमतौर पर व्यवहार में ध्यान में नहीं रखा जाता है।

इस प्रकार, अनुप्रस्थ झुकने के साथ (विमान में xy) सामान्य तनाव की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

σ एक्स= – [एम ज़ेड(एक्स)/इज़]य.

यदि हम भार से मुक्त बीम के एक खंड पर दो आसन्न खंड खींचते हैं, तो दोनों खंडों में अनुप्रस्थ बल समान होगा, और इसलिए खंडों की वक्रता समान होगी। इस मामले में, फाइबर का कोई भी टुकड़ा अब(चित्र 10.5) एक नई स्थिति में चला जाएगा ए"बी", अतिरिक्त बढ़ाव से गुज़रे बिना, और इसलिए, सामान्य तनाव के मूल्य को बदले बिना।

आइए हम बीम के अनुदैर्ध्य खंड में अभिनय करने वाले उनके युग्मित तनावों के माध्यम से क्रॉस सेक्शन में स्पर्शरेखा तनाव का निर्धारण करें।

लकड़ी से लंबाई का एक तत्व चुनें डीएक्स(चित्र 10.7 ए)। आइए कुछ दूरी पर एक क्षैतिज खंड बनाएं परतटस्थ अक्ष से जेड, तत्व को दो भागों में विभाजित करें (चित्र 10.7) और ऊपरी भाग के संतुलन पर विचार करें, जिसका आधार है

चौड़ाई बी. स्पर्शरेखा तनावों के युग्मन के नियम के अनुसार, अनुदैर्ध्य खंड में कार्य करने वाले तनाव क्रॉस सेक्शन में कार्य करने वाले तनाव के बराबर होते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, इस धारणा के तहत कि कतरनी साइट पर तनाव डालती है बीसमान रूप से वितरित, शर्त ΣХ = 0 का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

एन * - (एन * +डीएन *)+

जहां: एन * "कट ऑफ" क्षेत्र ए * के भीतर तत्व डीएक्स के बाएं क्रॉस सेक्शन में सामान्य बलों σ का परिणाम है (चित्र 10.7 डी):

जहां: एस = - क्रॉस सेक्शन के "कट ऑफ" भाग का स्थिर क्षण (चित्र 10.7 सी में छायांकित क्षेत्र)। इसलिए, हम लिख सकते हैं:

तब हम लिख सकते हैं:

यह सूत्र 19वीं शताब्दी में रूसी वैज्ञानिक और इंजीनियर डी.आई. द्वारा प्राप्त किया गया था। ज़ुरावस्की और उसका नाम रखता है। और यद्यपि यह सूत्र अनुमानित है, क्योंकि यह अनुभाग की चौड़ाई पर तनाव का औसत रखता है, इससे प्राप्त गणना परिणाम प्रयोगात्मक डेटा के साथ अच्छे समझौते में हैं।

Z अक्ष से दूरी y पर स्थित एक मनमाना क्रॉस-सेक्शन बिंदु पर कतरनी तनाव निर्धारित करने के लिए, आपको यह करना चाहिए:

आरेख से अनुभाग में कार्यरत अनुप्रस्थ बल Q का परिमाण निर्धारित करें;

पूरे अनुभाग की जड़ता Iz के क्षण की गणना करें;

इस बिंदु से होकर जाने वाले समतल के समान्तर एक समतल खींचिए xzऔर अनुभाग की चौड़ाई निर्धारित करें बी;

मुख्य केंद्रीय अक्ष के सापेक्ष क्लिप किए गए क्षेत्र S के स्थिर क्षण की गणना करें जेडऔर पाए गए मानों को ज़ुरावस्की सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

आइए, एक उदाहरण के रूप में, एक आयताकार क्रॉस सेक्शन में स्पर्शरेखीय तनाव निर्धारित करें (चित्र 10.6, सी)। अक्ष के बारे में स्थिर क्षण जेडपंक्ति 1-1 के ऊपर के अनुभाग के भाग, जिन पर तनाव निर्धारित किया गया है, इस रूप में लिखे जाएंगे:

यह वर्गाकार परवलय के नियम के अनुसार बदलता रहता है। खंड की चौथाई वीयदि एक आयताकार बीम स्थिर है, तो अनुभाग में स्पर्शरेखीय तनाव में परिवर्तन का नियम भी परवलयिक होगा (चित्र 10.6, सी)। y = और y = पर स्पर्शरेखा तनाव शून्य हैं, और तटस्थ अक्ष पर जेडवे अपने उच्चतम मूल्य तक पहुँच जाते हैं।

तटस्थ अक्ष पर वृत्ताकार क्रॉस सेक्शन के बीम के लिए हमारे पास है।

साफ़ मोड़इस प्रकार का झुकना उसे कहते हैं जिसमें क्रिया होती है केवल झुकने का क्षण(चित्र 3.5, ए)।आइए हम मानसिक रूप से बीम के अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत अनुभाग विमान I-I को बीम के मुक्त सिरे से * दूरी पर खींचते हैं जिस पर बाहरी क्षण लागू होता है। एम जेड .आइए हम उन कार्यों के समान कार्य करें जो हमने मरोड़ के दौरान तनाव और तनाव का निर्धारण करते समय किए थे, अर्थात्:

• 1) आइए भाग के मानसिक रूप से कटे हिस्से के लिए संतुलन समीकरण बनाएं;
• 2) हम किसी दिए गए खंड के प्रारंभिक खंडों की विकृतियों की अनुकूलता की शर्तों के आधार पर भाग की सामग्री के विरूपण का निर्धारण करते हैं;
• 3) संतुलन और विकृतियों की अनुकूलता के समीकरणों को हल करें।

बीम के कटे हुए खंड के संतुलन की स्थिति से (चित्र 3.5, बी)

हम पाते हैं कि आंतरिक शक्तियों का क्षण एमजेडबाहरी ताकतों के क्षण के बराबर टी: एम = टी.

चावल। 3.5.

आंतरिक बलों का क्षण x अक्ष के अनुदिश निर्देशित सामान्य तनावों द्वारा निर्मित होता है। शुद्ध झुकने पर कोई बाहरी बल नहीं होता है, इसलिए किसी भी समन्वय अक्ष पर आंतरिक बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य होता है। इस आधार पर हम संतुलन की स्थितियों को समानता के रूप में लिखते हैं

कहाँ ए- बीम (रॉड) का क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र।

शुद्ध झुकने में, बाहरी ताकतें एफएक्स, एफ, एफवीसाथ ही बाहरी ताकतों के क्षण भी टी एक्स, टी वाईशून्य के बराबर हैं. इसलिए, शेष संतुलन समीकरण समान रूप से शून्य के बराबर हैं।

संतुलन की स्थिति से जब o^O यह उसका अनुसरण करता है

सामान्य वोल्टेज सी एक्सक्रॉस सेक्शन में, सकारात्मक और दोनों नकारात्मक मान. (अनुभव से पता चलता है कि चित्र 3.5 में बीम के निचले हिस्से की सामग्री को मोड़ते समय, एफैला हुआ है, और ऊपरी भाग संकुचित है।) नतीजतन, झुकने के दौरान क्रॉस सेक्शन में ऐसे प्राथमिक वॉल्यूम (संपीड़न से तनाव की ओर संक्रमण परत) होते हैं जिनमें कोई बढ़ाव या संपीड़न नहीं होता है। यह - तटस्थ परत.अनुप्रस्थ-अनुभागीय तल के साथ तटस्थ परत की प्रतिच्छेदन रेखा कहलाती है तटस्थ रेखा.

झुकने के दौरान प्राथमिक आयतन की विकृतियों की अनुकूलता की स्थितियाँ समतल खंडों की परिकल्पना के आधार पर बनाई जाती हैं: झुकने से पहले बीम के क्रॉस सेक्शन समतल होते हैं (चित्र 3.5 देखें)। बी)झुकने के बाद भी सपाट रहेगा (चित्र 3.6)।

किसी बाहरी क्षण की क्रिया के परिणामस्वरूप, किरण झुकती है, और समतल होती है अनुभाग I-Iऔर II-II एक दूसरे के सापेक्ष एक कोण पर घूमते हैं डीवाई(चित्र 3.6, बी)।शुद्ध झुकने में, बीम अक्ष के साथ सभी वर्गों का विरूपण समान होता है, इसलिए x अक्ष के साथ बीम की तटस्थ परत की वक्रता का त्रिज्या pk समान होता है। क्योंकि डीएक्स= पी के डुबकी,तब तटस्थ परत की वक्रता 1/p k = के बराबर होती है डुबोना / डीएक्सऔर बीम की लंबाई के अनुदिश स्थिर है।

तटस्थ परत विकृत नहीं होती है; विरूपण से पहले और बाद में इसकी लंबाई बराबर होती है डीएक्स.इस परत के नीचे सामग्री फैली हुई है, ऊपर यह संपीड़ित है।

चावल। 3.6.

तटस्थ परत से y दूरी पर स्थित तनी हुई परत का बढ़ाव मान बराबर होता है ydq.इस परत का सापेक्ष बढ़ाव:

इस प्रकार, अपनाए गए मॉडल में, किसी दिए गए प्राथमिक आयतन से तटस्थ परत की दूरी के आधार पर विकृतियों का एक रैखिक वितरण प्राप्त किया गया था, अर्थात। बीम अनुभाग की ऊंचाई के साथ. यह मानते हुए कि सामग्री की समानांतर परतों का एक-दूसरे पर कोई पारस्परिक दबाव नहीं है (o y = 0, a, = 0), हम रैखिक खिंचाव के लिए हुक का नियम लिखते हैं:

(3.13) के अनुसार, बीम के क्रॉस सेक्शन में सामान्य तनाव एक रैखिक कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। तटस्थ परत से सबसे दूर सामग्री के प्राथमिक आयतन का तनाव (चित्र 3.6, वी), अधिकतम और बराबर

? समस्या 3.6

मोटाई/=4 मिमी और लंबाई/=80 सेमी वाले स्टील ब्लेड की लोचदार सीमा निर्धारित करें, यदि इसके अर्धवृत्त में झुकने से अवशिष्ट विरूपण नहीं होता है।

समाधान

झुकने वाला तनाव ओ वी = आँख/ आर के. आइए y अधिकतम लें = टी/ 2आई आर के = / / को।

लोचदार सीमा को уп > c v = वाली स्थिति के अनुरूप होना चाहिए 1 / 2 केई टी /1.

उत्तर: ओ = ] / 2 से 2 10 11 4 10 _3 / 0.8 = 1570 एमपीए; इस स्टील की उपज शक्ति > 1800 एमपीए है, जो सबसे मजबूत स्प्रिंग स्टील्स की उपज शक्ति से अधिक है। ?

? समस्या 3.7

/=0.1 मिमी की मोटाई वाले वाइंडिंग टेप के लिए ड्रम की न्यूनतम त्रिज्या निर्धारित करें गर्म करने वाला तत्वनिकल मिश्र धातु से बना है, जिसमें टेप सामग्री प्लास्टिक रूप से विकृत नहीं होती है। मापांक ई= 1.6 10 5 एमपीए, वाईपी के बारे में लोचदार सीमा = 200 एमपीए।

उत्तर:न्यूनतम त्रिज्या p = V 2 ?ir/a yM = У? 1.6-10 11 0.1 10 -3 / (200 10 6) = = 0.04 मीटर?

1. प्रथम संतुलन समीकरण (3.12) और विरूपण अनुकूलता समीकरण (3.13) को एक साथ हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

अर्थ इ/ आर के φ 0 और सभी तत्वों के लिए समान दाएकीकरण क्षेत्र. नतीजतन, यह समानता केवल शर्त के तहत संतुष्ट है

इस अभिन्न को कहा जाता है अक्ष के चारों ओर क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र का स्थिर क्षणz?इस अभिन्न का भौतिक अर्थ क्या है?

आइए स्थिर मोटाई / की एक प्लेट लें, लेकिन एक मनमाना प्रोफ़ाइल (चित्र 3.7)। आइए इस प्लेट को एक बिंदु पर लटका दें साथताकि यह क्षैतिज स्थिति में हो. आइए हम प्रतीक y m से निरूपित करें विशिष्ट गुरुत्वप्लेट की सामग्री, फिर क्षेत्रफल के साथ प्राथमिक आयतन का भार दाके बराबर होती है डीक्यू= य जे.डी.ए.चूँकि प्लेट संतुलन की स्थिति में है, तो अक्ष पर बलों के प्रक्षेपण की समानता से शून्य तक परहम पाते हैं

कहाँ जी= य एम टी.ए- रिकॉर्ड का वजन.

चावल। 3.7.

अक्ष के चारों ओर सभी बलों के क्षणों का योग जेडप्लेट के किसी भी भाग से गुजरना भी शून्य है:

ध्यान में रख कर वाई सी = जी,चलो लिखो

इस प्रकार, यदि फॉर्म जे का एक अभिन्न अंग एक्सडीएक्षेत्रफल के अनुसार एके बराबर होती है

फिर शून्य एक्स सी = 0. इसका मतलब है कि बिंदु C प्लेट के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के साथ मेल खाता है। अत: समता से एस जेड =जे ydA = 0 जब देय हो

इसे मोड़ने से यह पता चलता है कि बीम के क्रॉस सेक्शन का गुरुत्वाकर्षण केंद्र तटस्थ रेखा पर है।

इसलिए, मूल्य वाई एसबीम का क्रॉस सेक्शन शून्य है।

• 1. झुकने के दौरान तटस्थ रेखा बीम के क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरती है।
• 2. क्रॉस सेक्शन का गुरुत्वाकर्षण केंद्र बाहरी और आंतरिक बलों के क्षणों में कमी का केंद्र है।

समस्या 3.8

समस्या 3.9

2. दूसरे संतुलन समीकरण (3.12) और विरूपण संगतता समीकरण (3.13) को एक साथ हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

अभिन्न जज़= जे y 2 डीएबुलाया अनुप्रस्थ की जड़ता का क्षण

z अक्ष के सापेक्ष बीम (रॉड) का अनुभाग,क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजर रहा है।

इस प्रकार, एम जेड = ई जे जेड /आर के. उस पर विचार करते हुए सी एक्स = ईई एक्स = आई/ आर के आई इ/ आर के = एक एक्स / हाँ,हम सामान्य तनावों की निर्भरता प्राप्त करते हैं ओहझुकते समय:

1. अनुभाग के किसी दिए गए बिंदु पर झुकने वाला तनाव सामान्य लोच मापांक पर निर्भर नहीं करता है इ,लेकिन निर्भर करता है ज्यामितीय पैरामीटरक्रॉस सेक्शन जज़और दूरियाँ परकिसी दिए गए बिंदु से क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक।

2. अधिकतम झुकने वाला तनाव तटस्थ रेखा से सबसे दूर प्रारंभिक मात्रा में होता है (चित्र 3.6 देखें)। वी):

कहाँ डब्ल्यू जेड- अक्ष के सापेक्ष क्रॉस सेक्शन के प्रतिरोध का क्षण Z-

शुद्ध झुकने के तहत मजबूती की स्थिति रैखिक तनाव के तहत ताकत की स्थिति के समान है:

जहां [ए एम | - अनुमेय झुकने का तनाव।

यह स्पष्ट है कि सामग्री की आंतरिक मात्रा, विशेष रूप से तटस्थ अक्ष के पास, व्यावहारिक रूप से लोड नहीं होती है (चित्र 3.6 देखें)। वी).यह संरचना की सामग्री खपत को कम करने की आवश्यकता का खंडन करता है। नीचे हम इस विरोधाभास को दूर करने के कुछ तरीके दिखाएंगे।