प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिक संबंध क्या हैं? प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता

उदाहरण

1.6/2 = 0.8; 4/5 = 0.8; 5.6/7 = 0.8, आदि।

आनुपातिकता कारक

आनुपातिक मात्राओं का स्थिर संबंध कहलाता है आनुपातिकता कारक. आनुपातिकता गुणांक दर्शाता है कि एक मात्रा की कितनी इकाइयाँ दूसरे की प्रति इकाई हैं।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- कार्यात्मक निर्भरता, जिसमें एक निश्चित मात्रा दूसरी मात्रा पर इस प्रकार निर्भर करती है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में, ये चर बदलते रहते हैं आनुपातिक, समान शेयरों में, अर्थात, यदि तर्क किसी भी दिशा में दो बार बदलता है, तो फ़ंक्शन भी उसी दिशा में दो बार बदलता है।

गणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

एफ(एक्स) = एएक्स,ए = सीहेएनएसटी

व्युत्क्रम आनुपातिकता

व्युत्क्रम आनुपातिकता- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है, जिसमें स्वतंत्र मूल्य (तर्क) में वृद्धि से आश्रित मूल्य (फ़ंक्शन) में आनुपातिक कमी होती है।

गणितीय व्युत्क्रम आनुपातिकताएक सूत्र के रूप में लिखा गया है:

फ़ंक्शन गुण:

सूत्रों का कहना है

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

आज हम देखेंगे कि किन राशियों को व्युत्क्रमानुपाती कहा जाता है, व्युत्क्रमानुपाती ग्राफ कैसा दिखता है, और यह सब न केवल गणित के पाठों में, बल्कि स्कूल के बाहर भी आपके लिए कैसे उपयोगी हो सकता है।

इतने भिन्न अनुपात

समानतादो मात्राओं के नाम बताइए जो एक दूसरे पर परस्पर निर्भर हैं।

निर्भरता प्रत्यक्ष और विपरीत हो सकती है। नतीजतन, मात्राओं के बीच संबंधों को प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता द्वारा वर्णित किया जाता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता– यह दो मात्राओं के बीच का ऐसा संबंध है जिसमें एक में वृद्धि या कमी से दूसरी में वृद्धि या कमी होती है। वे। उनका रवैया नहीं बदलता.

उदाहरण के लिए, आप परीक्षा के लिए अध्ययन में जितना अधिक प्रयास करेंगे, आपके ग्रेड उतने ही अधिक होंगे। या आप सैर पर जितनी अधिक चीज़ें अपने साथ ले जाएंगे, आपका बैग ले जाने के लिए उतना ही भारी होगा। वे। परीक्षा की तैयारी में खर्च किए गए प्रयास की मात्रा सीधे प्राप्त ग्रेड पर निर्भर करती है। और बैकपैक में पैक की गई चीज़ों की संख्या सीधे उसके वजन पर निर्भर करती है।

व्युत्क्रम आनुपातिकता- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है जिसमें एक स्वतंत्र मूल्य में कई बार कमी या वृद्धि होती है (इसे एक तर्क कहा जाता है) एक आश्रित मूल्य में आनुपातिक (यानी, समान संख्या में) वृद्धि या कमी का कारण बनता है (इसे कहा जाता है) समारोह)।

आइये समझाते हैं सरल उदाहरण. आप बाज़ार से सेब खरीदना चाहते हैं। काउंटर पर सेब और आपके बटुए में पैसे की मात्रा विपरीत अनुपात में है। वे। आप जितने अधिक सेब खरीदेंगे, आपके पास उतने ही कम पैसे बचेंगे।

फ़ंक्शन और उसका ग्राफ़

व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है वाई = के/एक्स. जिसमें एक्स≠ 0 और क≠ 0.

इस फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण हैं:

1. इसकी परिभाषा का क्षेत्र सिवाय सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है एक्स = 0. डी(य): (-∞; 0) यू (0; +∞).
2. सीमा को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं य= 0. ई(य): (-∞; 0) यू (0; +∞) .
3. अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है.
4. यह विषम है तथा इसका ग्राफ मूल बिन्दु के प्रति सममित है।
5. गैर आवधिक.
6. इसका ग्राफ निर्देशांक अक्षों को प्रतिच्छेद नहीं करता है।
7. कोई शून्य नहीं है.
8. अगर क> 0 (अर्थात तर्क बढ़ता है), फ़ंक्शन अपने प्रत्येक अंतराल पर आनुपातिक रूप से घटता है। अगर क< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. जैसे-जैसे बहस बढ़ती है ( क> 0) नकारात्मक मानफ़ंक्शन अंतराल (-∞; 0) में हैं, और सकारात्मक फ़ंक्शन (0; +∞) हैं। जब तर्क कम हो जाता है ( क< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन के ग्राफ़ को हाइपरबोला कहा जाता है। इस प्रकार दिखाया गया है:

व्युत्क्रम आनुपातिकता समस्याएँ

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए कई कार्यों पर नजर डालें। वे बहुत जटिल नहीं हैं, और उन्हें हल करने से आपको यह कल्पना करने में मदद मिलेगी कि व्युत्क्रम आनुपातिकता क्या है और यह ज्ञान आपके रोजमर्रा के जीवन में कैसे उपयोगी हो सकता है।

कार्य संख्या 1. एक कार 60 किमी/घंटा की गति से चल रही है। अपनी मंजिल तक पहुंचने में उन्हें 6 घंटे लग गए. यदि वह दोगुनी गति से चले तो उसे समान दूरी तय करने में कितना समय लगेगा?

हम एक सूत्र लिखकर शुरुआत कर सकते हैं जो समय, दूरी और गति के बीच संबंध का वर्णन करता है: t = S/V। सहमत हूं, यह हमें व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन की बहुत याद दिलाता है। और यह इंगित करता है कि एक कार सड़क पर जो समय बिताती है और जिस गति से वह चलती है वह विपरीत अनुपात में है।

इसे सत्यापित करने के लिए, आइए V 2 खोजें, जो कि स्थिति के अनुसार, 2 गुना अधिक है: V 2 = 60 * 2 = 120 किमी/घंटा। फिर हम सूत्र S = V * t = 60 * 6 = 360 किमी का उपयोग करके दूरी की गणना करते हैं। अब यह पता लगाना मुश्किल नहीं है कि समस्या की स्थितियों के अनुसार हमें कितना समय t 2 चाहिए: t 2 = 360/120 = 3 घंटे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यात्रा का समय और गति वास्तव में विपरीत आनुपातिक हैं: मूल गति से 2 गुना अधिक गति पर, कार सड़क पर 2 गुना कम समय बिताएगी।

इस समस्या का समाधान अनुपात के रूप में भी लिखा जा सकता है। तो आइए सबसे पहले यह आरेख बनाएं:

↓ 60 किमी/घंटा - 6 घंटे

↓120 किमी/घंटा - x घंटा

तीर व्युत्क्रमानुपाती संबंध दर्शाते हैं। वे यह भी सुझाव देते हैं कि अनुपात बनाते समय दाहिनी ओररिकॉर्ड्स को पलटना होगा: 60/120 = x/6। हमें x = 60 * 6/120 = 3 घंटे कहाँ मिलते हैं।

कार्य क्रमांक 2. कार्यशाला में 6 कर्मचारी कार्यरत हैं जो दिए गए कार्य को 4 घंटे में पूरा कर सकते हैं। यदि श्रमिकों की संख्या आधी कर दी जाए, तो शेष श्रमिकों को समान कार्य पूरा करने में कितना समय लगेगा?

आइए हम समस्या की स्थितियों को एक दृश्य आरेख के रूप में लिखें:

↓ 6 कर्मचारी - 4 घंटे

↓ 3 कर्मचारी - x ज

आइए इसे अनुपात के रूप में लिखें: 6/3 = x/4. और हमें x = 6 * 4/3 = 8 घंटे मिलते हैं यदि 2 गुना कम कर्मचारी हैं, तो शेष सभी काम करने में 2 गुना अधिक समय व्यतीत करेंगे।

कार्य क्रमांक 3. पूल में जाने वाले दो पाइप हैं। एक पाइप से पानी 2 लीटर/सेकेंड की गति से बहता है और 45 मिनट में पूल भर जाता है। दूसरे पाइप से 75 मिनट में पूल भर जाएगा। इस पाइप के माध्यम से पानी किस गति से पूल में प्रवेश करता है?

आरंभ करने के लिए, आइए समस्या की स्थितियों के अनुसार हमें दी गई सभी मात्राओं को माप की समान इकाइयों में घटा दें। ऐसा करने के लिए, हम पूल भरने की गति को लीटर प्रति मिनट में व्यक्त करते हैं: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min।

चूँकि शर्त का अर्थ है कि पूल दूसरे पाइप के माध्यम से अधिक धीरे-धीरे भरता है, इसका मतलब है कि पानी के प्रवाह की दर कम है। आनुपातिकता व्युत्क्रम है. आइए x के माध्यम से अज्ञात गति को व्यक्त करें और निम्नलिखित चित्र बनाएं:

↓ 120 एल/मिनट - 45 मिनट

↓ x एल/मिनट - 75 मिनट

और फिर हम अनुपात बनाते हैं: 120/x = 75/45, जहां से x = 120 * 45/75 = 72 लीटर/मिनट।

समस्या में, पूल की भरने की दर प्रति सेकंड लीटर में व्यक्त की गई है; आइए प्राप्त उत्तर को उसी रूप में कम करें: 72/60 = 1.2 एल/एस।

टास्क नंबर 4. एक छोटा निजी प्रिंटिंग हाउस बिजनेस कार्ड छापता है। प्रिंटिंग हाउस का एक कर्मचारी 42 बिजनेस कार्ड प्रति घंटे की गति से काम करता है और पूरे दिन - 8 घंटे काम करता है। यदि वह तेजी से काम करता और एक घंटे में 48 बिजनेस कार्ड छापता, तो वह कितनी देर पहले घर जा सकता था?

हम सिद्ध पथ का अनुसरण करते हैं और समस्या की स्थितियों के अनुसार वांछित मान को x के रूप में निर्दिष्ट करते हुए एक आरेख बनाते हैं:

↓ 42 बिजनेस कार्ड/घंटा - 8 घंटे

↓ 48 बिजनेस कार्ड/घंटा - x घंटा

हमारे बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध है: प्रिंटिंग हाउस का एक कर्मचारी प्रति घंटे जितनी बार अधिक बिजनेस कार्ड प्रिंट करता है, उसे उसी काम को पूरा करने के लिए उतनी ही बार कम समय की आवश्यकता होगी। यह जानकर, आइए एक अनुपात बनाएं:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 घंटे।

इस प्रकार, 7 घंटे में काम पूरा करने के बाद, प्रिंटिंग हाउस का कर्मचारी एक घंटे पहले घर जा सकता था।

निष्कर्ष

हमें ऐसा लगता है कि ये व्युत्क्रम आनुपातिकता समस्याएँ वास्तव में सरल हैं। हमें उम्मीद है कि अब आप भी उनके बारे में ऐसा ही सोचेंगे. और मुख्य बात यह है कि मात्राओं की व्युत्क्रमानुपाती निर्भरता का ज्ञान वास्तव में आपके लिए एक से अधिक बार उपयोगी हो सकता है।

न केवल गणित के पाठों और परीक्षाओं में। लेकिन फिर भी, जब आप किसी यात्रा पर जाने के लिए तैयार होते हैं, खरीदारी करने जाते हैं, छुट्टियों के दौरान कुछ अतिरिक्त पैसे कमाने का निर्णय लेते हैं, आदि।

हमें टिप्पणियों में बताएं कि आप अपने आसपास व्युत्क्रम और प्रत्यक्ष आनुपातिक संबंधों के कौन से उदाहरण देखते हैं। इसे ऐसा खेल होने दो. आप देखेंगे कि यह कितना रोमांचक है। इस आर्टिकल को शेयर करना न भूलें सामाजिक नेटवर्क मेंताकि आपके दोस्त और सहपाठी भी खेल सकें।

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§ 129. प्रारंभिक स्पष्टीकरण.

एक व्यक्ति लगातार विभिन्न प्रकार की मात्राओं से निपटता है। एक कर्मचारी और एक कर्मचारी एक निश्चित समय तक काम पर पहुंचने की कोशिश कर रहे हैं, एक पैदल यात्री सबसे छोटे रास्ते से एक निश्चित स्थान पर पहुंचने की जल्दी में है, एक स्टीम हीटिंग स्टोकर चिंतित है कि बॉयलर में तापमान धीरे-धीरे बढ़ रहा है, ए बिजनेस एक्जीक्यूटिव उत्पादन की लागत आदि को कम करने की योजना बना रहा है।

ऐसे कितने भी उदाहरण दिए जा सकते हैं। समय, दूरी, तापमान, लागत - ये सभी विभिन्न मात्राएँ हैं। इस पुस्तक के पहले और दूसरे भाग में, हम कुछ विशेष रूप से सामान्य मात्राओं से परिचित हुए: क्षेत्रफल, आयतन, वजन। भौतिकी और अन्य विज्ञानों का अध्ययन करते समय हमारा सामना कई मात्राओं से होता है।

कल्पना कीजिए कि आप ट्रेन में यात्रा कर रहे हैं। समय-समय पर आप अपनी घड़ी देखते हैं और देखते हैं कि आप कितने समय से सड़क पर हैं। उदाहरण के लिए, आप कहते हैं कि आपकी ट्रेन रवाना हुए 2, 3, 5, 10, 15 घंटे बीत चुके हैं, आदि। ये संख्याएँ अलग-अलग समयावधियों का प्रतिनिधित्व करती हैं; वे इस मात्रा (समय) के मान कहलाते हैं। या आप खिड़की से बाहर देखते हैं और सड़क के खंभों का अनुसरण करते हुए देखते हैं कि आपकी ट्रेन कितनी दूरी तय करती है। आपके सामने 110, 111, 112, 113, 114 किमी नंबर फ्लैश होते हैं। ये संख्याएँ दर्शाती हैं अलग-अलग दूरियाँजहां से ट्रेन प्रस्थान स्थल से गुजरी। उन्हें मान भी कहा जाता है, इस बार एक अलग परिमाण (दो बिंदुओं के बीच पथ या दूरी) का। इस प्रकार, एक मात्रा, उदाहरण के लिए समय, दूरी, तापमान, कई मात्राएँ ले सकती है विभिन्न अर्थ.

कृपया ध्यान दें कि एक व्यक्ति लगभग कभी भी केवल एक मात्रा पर विचार नहीं करता है, बल्कि हमेशा इसे किसी अन्य मात्रा से जोड़ता है। उसे एक साथ दो, तीन या अधिक मात्राओं से निपटना पड़ता है। कल्पना कीजिए कि आपको 9 बजे तक स्कूल पहुंचना है। आप अपनी घड़ी देखें और देखें कि आपके पास 20 मिनट हैं। फिर आप तुरंत पता लगा लेते हैं कि आपको ट्राम लेनी चाहिए या आप पैदल स्कूल जा सकते हैं। सोच-विचार कर आप चलने का निश्चय करें। ध्यान दें कि जब आप सोच रहे थे तो आप किसी समस्या का समाधान कर रहे थे। यह कार्य सरल और परिचित हो गया है, क्योंकि आप प्रतिदिन ऐसी समस्याओं का समाधान करते हैं। इसमें आपने तुरंत कई मात्राओं की तुलना की। यह आप ही थे जिन्होंने घड़ी देखी, यानी आपने समय को ध्यान में रखा, फिर आपने मानसिक रूप से अपने घर से स्कूल की दूरी की कल्पना की; अंत में, आपने दो मूल्यों की तुलना की: आपके कदम की गति और ट्राम की गति, और निष्कर्ष निकाला कि एक निश्चित समय (20 मिनट) में आपके पास चलने का समय होगा। इस सरल उदाहरण से आप देख सकते हैं कि हमारे व्यवहार में कुछ मात्राएँ आपस में जुड़ी हुई हैं, यानी वे एक-दूसरे पर निर्भर हैं

अध्याय बारह में सजातीय मात्राओं के संबंध के बारे में बात की गई है। उदाहरण के लिए, यदि एक खंड 12 मीटर और दूसरा 4 मीटर है, तो इन खंडों का अनुपात 12:4 होगा।

हमने कहा कि यह दो सजातीय मात्राओं का अनुपात है। इसे कहने का दूसरा तरीका यह है कि यह दो संख्याओं का अनुपात है एक नाम.

अब जब हम मात्राओं से अधिक परिचित हो गए हैं और एक मात्रा के मूल्य की अवधारणा पेश कर दी है, तो हम अनुपात की परिभाषा को एक नए तरीके से व्यक्त कर सकते हैं। वास्तव में, जब हमने 12 मीटर और 4 मीटर के दो खंडों पर विचार किया, तो हम एक मान - लंबाई के बारे में बात कर रहे थे, और 12 मीटर और 4 मीटर इस मान के केवल दो अलग-अलग मान थे।

अतः भविष्य में जब हम अनुपातों के बारे में बात करना प्रारंभ करेंगे तो हम एक मात्रा के दो मानों पर विचार करेंगे तथा एक मात्रा के एक मान का उसी मात्रा के दूसरे मान से अनुपात पहले मान को विभाजित करने का भागफल कहलाएगा। दूसरे द्वारा.

§ 130. मान सीधे आनुपातिक होते हैं।

आइए एक समस्या पर विचार करें जिसकी स्थिति में दो मात्राएँ शामिल हैं: दूरी और समय।

कार्य 1।एक पिंड सीधी और समान रूप से गति करते हुए प्रति सेकंड 12 सेमी तय करता है। शरीर द्वारा 2, 3, 4, ..., 10 सेकंड में तय की गई दूरी निर्धारित करें।

आइए एक तालिका बनाएं जिसका उपयोग समय और दूरी में परिवर्तन को ट्रैक करने के लिए किया जा सकता है।

तालिका हमें मूल्यों की इन दो श्रृंखलाओं की तुलना करने का अवसर देती है। इससे हम देखते हैं कि जब पहली मात्रा (समय) का मान धीरे-धीरे 2, 3,..., 10 गुना बढ़ जाता है, तो दूसरी मात्रा (दूरी) का मान भी 2, 3, बढ़ जाता है। ..., 10 बार। इस प्रकार, जब एक मात्रा का मान कई गुना बढ़ जाता है, तो दूसरी मात्रा का मान उसी मात्रा से बढ़ जाता है, और जब एक मात्रा का मान कई बार घट जाता है, तो दूसरी मात्रा का मान कम हो जाता है। एक जैसी संख्या।

आइए अब एक ऐसी समस्या पर विचार करें जिसमें दो ऐसी मात्राएँ शामिल हैं: पदार्थ की मात्रा और उसकी लागत।

कार्य 2. 15 मीटर कपड़े की कीमत 120 रूबल है। तालिका में दर्शाए गए मीटरों की कई अन्य मात्राओं के लिए इस कपड़े की लागत की गणना करें।

इस तालिका का उपयोग करके, हम यह पता लगा सकते हैं कि किसी उत्पाद की लागत उसकी मात्रा में वृद्धि के आधार पर धीरे-धीरे कैसे बढ़ती है। इस तथ्य के बावजूद कि इस समस्या में पूरी तरह से अलग मात्राएँ शामिल हैं (पहली समस्या में - समय और दूरी, और यहाँ - माल की मात्रा और उसका मूल्य), फिर भी, इन मात्राओं के व्यवहार में बड़ी समानताएँ पाई जा सकती हैं।

वास्तव में, तालिका की शीर्ष पंक्ति में कपड़े के मीटर की संख्या दर्शाने वाली संख्याएँ होती हैं; उनमें से प्रत्येक के नीचे माल की संबंधित मात्रा की लागत को व्यक्त करने वाली एक संख्या होती है। इस तालिका पर एक नज़र डालने से भी पता चलता है कि ऊपर और नीचे दोनों पंक्तियों में संख्याएँ बढ़ रही हैं; तालिका की बारीकी से जांच करने पर और अलग-अलग स्तंभों की तुलना करने पर, यह पता चला है कि सभी मामलों में दूसरी मात्रा के मूल्यों में पहली वृद्धि के मूल्यों के समान संख्या में वृद्धि होती है, अर्थात। पहली मात्रा बढ़ती है, मान लीजिए, 10 गुना, फिर दूसरी मात्रा का मूल्य भी 10 गुना बढ़ जाता है।

यदि हम तालिका को दाएँ से बाएँ देखें तो वह हमें मिल जाएगा निर्दिष्ट मानमूल्यों में कमी आएगी एक जैसी संख्याएक बार। इस अर्थ में, पहले कार्य और दूसरे के बीच बिना शर्त समानता है।

पहली और दूसरी समस्या में हमारे सामने आने वाली मात्राओं के जोड़े कहलाते हैं सीधे आनुपातिक।

इस प्रकार, यदि दो राशियाँ एक-दूसरे से इस प्रकार संबंधित हों कि उनमें से एक का मान कई गुना बढ़ने (घटने) पर दूसरी का मान उसी मात्रा में बढ़ने (घटने) पर हो, तो ऐसी मात्राएँ सीधे आनुपातिक कहलाती हैं। .

ऐसी मात्राओं को सीधे आनुपातिक संबंध द्वारा एक दूसरे से संबंधित भी कहा जाता है।

प्रकृति और हमारे आस-पास के जीवन में ऐसी ही कई मात्राएँ पाई जाती हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

1. समयकाम (दिन, दो दिन, तीन दिन, आदि) और आय, इस दौरान दैनिक मजदूरी के साथ प्राप्त किया गया।

2. आयतनसजातीय सामग्री से बनी कोई भी वस्तु, और वज़नयह आइटम।

§ 131. सीधे आनुपातिक मात्राओं की संपत्ति।

आइए एक समस्या लें जिसमें निम्नलिखित दो मात्राएँ शामिल हैं: काम का समयऔर कमाई. यदि दैनिक कमाई 20 रूबल है, तो 2 दिनों की कमाई 40 रूबल होगी, आदि। एक तालिका बनाना सबसे सुविधाजनक है जिसमें एक निश्चित संख्या में दिन एक निश्चित कमाई के अनुरूप होंगे।

इस तालिका को देखने पर, हम देखते हैं कि दोनों मात्राओं ने 10 अलग-अलग मान लिए। पहले मूल्य का प्रत्येक मूल्य दूसरे मूल्य के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है, उदाहरण के लिए, 2 दिन 40 रूबल के अनुरूप हैं; 5 दिन 100 रूबल के अनुरूप हैं। तालिका में ये संख्याएँ एक के नीचे एक लिखी हुई हैं।

हम पहले से ही जानते हैं कि यदि दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक हैं, तो उनमें से प्रत्येक, अपने परिवर्तन की प्रक्रिया में, उतनी ही गुना बढ़ जाती है जितनी दूसरी बढ़ती है। इससे यह तुरंत पता चलता है: यदि हम पहली मात्रा के किन्हीं दो मानों का अनुपात लें, तो यह दूसरी मात्रा के दो संगत मानों के अनुपात के बराबर होगा। वास्तव में:

ऐसा क्यों हो रहा है? लेकिन क्योंकि ये मूल्य सीधे आनुपातिक हैं, यानी जब उनमें से एक (समय) 3 गुना बढ़ गया, तो दूसरा (कमाई) 3 गुना बढ़ गया।

इसलिए हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचे हैं: यदि हम पहली मात्रा के दो मान लेते हैं और उन्हें एक दूसरे से विभाजित करते हैं, और फिर दूसरी मात्रा के संगत मानों को एक से विभाजित करते हैं, तो दोनों ही मामलों में हमें प्राप्त होगा एक ही नंबर यानी एक ही रिश्ता. इसका मतलब यह है कि जिन दो संबंधों के बारे में हमने ऊपर लिखा है, उन्हें एक समान चिह्न से जोड़ा जा सकता है, यानी।

इसमें कोई संदेह नहीं है कि यदि हम इन संबंधों को नहीं, बल्कि अन्य संबंधों को, उस क्रम में नहीं, बल्कि विपरीत क्रम में लें, तो हमें भी संबंधों में समानता प्राप्त होगी। वास्तव में, हम अपनी मात्राओं के मानों पर बाएँ से दाएँ विचार करेंगे और तीसरा और नौवाँ मान लेंगे:

60:180 = 1 / 3 .

तो हम लिख सकते हैं:

इससे निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है: यदि दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक हैं, तो पहली मात्रा के दो मनमाने ढंग से लिए गए मानों का अनुपात दूसरी मात्रा के दो संगत मानों के अनुपात के बराबर होता है।

§ 132. प्रत्यक्ष आनुपातिकता का सूत्र।

आइए विभिन्न मात्रा में मिठाइयों की लागत की एक तालिका बनाएं, यदि उनमें से 1 किलो की कीमत 10.4 रूबल है।

अब इसे इस तरह से करते हैं. दूसरी पंक्ति में कोई भी संख्या लें और उसे पहली पंक्ति में संगत संख्या से विभाजित करें। उदाहरण के लिए:

आप देखते हैं कि भागफल में हर समय एक ही संख्या प्राप्त होती है। नतीजतन, सीधे आनुपातिक मात्राओं की दी गई जोड़ी के लिए, एक मात्रा के किसी भी मूल्य को किसी अन्य मात्रा के संगत मूल्य से विभाजित करने का भागफल एक स्थिर संख्या है (यानी, नहीं बदल रहा है)। हमारे उदाहरण में, यह भागफल 10.4 है। इस स्थिर संख्या को आनुपातिकता कारक कहा जाता है। इस मामले में, यह माप की एक इकाई, यानी एक किलोग्राम सामान की कीमत व्यक्त करता है।

आनुपातिकता गुणांक कैसे खोजें या गणना करें? ऐसा करने के लिए, आपको एक मात्रा का कोई भी मान लेना होगा और उसे दूसरे के संगत मान से विभाजित करना होगा।

आइए हम एक मात्रा के इस मनमाने मान को अक्षर से निरूपित करें पर , और एक अन्य मात्रा का संगत मान - अक्षर एक्स , तो आनुपातिकता गुणांक (हम इसे निरूपित करते हैं को) हम विभाजन द्वारा पाते हैं:

इस समानता में पर - विभाज्य, एक्स - भाजक तथा को- भागफल, और चूंकि, विभाजन के गुण से, लाभांश भागफल से गुणा किए गए भाजक के बराबर होता है, हम लिख सकते हैं:

य =क एक्स

परिणामी समानता कहलाती है प्रत्यक्ष आनुपातिकता का सूत्र.इस सूत्र का उपयोग करके, हम सीधे आनुपातिक मात्राओं में से किसी एक के किसी भी संख्या के मान की गणना कर सकते हैं यदि हम दूसरी मात्रा के संबंधित मान और आनुपातिकता के गुणांक को जानते हैं।

उदाहरण।भौतिकी से हम उस भार को जानते हैं आरकिसी भी पिंड का घनत्व उसके विशिष्ट गुरुत्व के बराबर होता है डी , इस शरीर के आयतन से गुणा किया गया वी, अर्थात। आर = डीवी.

चलो पाँच लोहे की सलाखें लेते हैं विभिन्न खंड; जानने विशिष्ट गुरुत्वआयरन (7.8), हम सूत्र का उपयोग करके इन रिक्त स्थान के वजन की गणना कर सकते हैं:

आर = 7,8 वी.

इस सूत्र की तुलना सूत्र से करें पर = को एक्स , हमने देखा कि य = आर, एक्स = वी, और आनुपातिकता गुणांक को= 7.8. सूत्र एक ही है, केवल अक्षर भिन्न हैं।

इस सूत्र का उपयोग करते हुए, आइए एक तालिका बनाएं: मान लें कि पहले रिक्त स्थान का आयतन 8 घन मीटर के बराबर है। सेमी, तो इसका वजन 7.8 8 = 62.4 (g) है। दूसरे रिक्त स्थान का आयतन 27 घन मीटर है। सेमी इसका वजन 7.8 27 = 210.6 (g) है। तालिका इस तरह दिखेगी:

सूत्र का उपयोग करके इस तालिका में लुप्त संख्याओं की गणना करें आर= डीवी.

§ 133. सीधे आनुपातिक मात्राओं के साथ समस्याओं को हल करने की अन्य विधियाँ।

पिछले पैराग्राफ में, हमने एक समस्या हल की जिसकी स्थिति में सीधे आनुपातिक मात्राएँ शामिल थीं। इस प्रयोजन के लिए, हमने पहले प्रत्यक्ष आनुपातिकता सूत्र निकाला और फिर इस सूत्र को लागू किया। अब हम इसी तरह की समस्याओं को हल करने के दो अन्य तरीके दिखाएंगे।

आइए पिछले पैराग्राफ में तालिका में दिए गए संख्यात्मक डेटा का उपयोग करके एक समस्या बनाएं।

काम। 8 घन मीटर की मात्रा के साथ खाली। सेमी का वजन 62.4 ग्राम है। 64 घन मीटर आयतन वाले रिक्त स्थान का वजन कितना होगा? सेमी?

समाधान।जैसा कि ज्ञात है, लोहे का वजन उसके आयतन के समानुपाती होता है। यदि 8 घन. सेमी वजन 62.4 ग्राम, फिर 1 घन मीटर। सेमी का वजन 8 गुना कम होगा, यानी।

62.4:8 = 7.8 (जी)।

64 घन मीटर की मात्रा के साथ रिक्त। सेमी का वजन 1 घन मीटर रिक्त स्थान से 64 गुना अधिक होगा। सेमी, यानी

7.8 64 = 499.2(जी)।

हमने एकता बनाकर अपनी समस्या हल कर ली। इस नाम का अर्थ इस तथ्य से उचित है कि इसे हल करने के लिए हमें पहले प्रश्न में आयतन की एक इकाई का वजन ज्ञात करना था।

2. अनुपात की विधि.आइए अनुपात विधि का उपयोग करके उसी समस्या को हल करें।

चूँकि लोहे का वजन और उसका आयतन सीधे आनुपातिक मात्राएँ हैं, एक मात्रा (आयतन) के दो मानों का अनुपात दूसरी मात्रा (वजन) के दो संगत मानों के अनुपात के बराबर होता है, अर्थात।

(पत्र आरहमने रिक्त स्थान का अज्ञात भार निर्दिष्ट किया है)। यहाँ से:

(जी)।

अनुपात की विधि का उपयोग करके समस्या का समाधान किया गया। इसका मतलब यह है कि इसे हल करने के लिए शर्त में शामिल संख्याओं से एक अनुपात संकलित किया गया था।

§ 134. मान व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: “पांच राजमिस्त्री जोड़ सकते हैं ईंट की दीवार 168 दिनों में घर पर। निर्धारित करें कि 10, 8, 6, आदि राजमिस्त्री समान कार्य को कितने दिनों में पूरा कर सकते हैं।

यदि 5 राजमिस्त्री एक घर की दीवारें 168 दिनों में बनाते हैं, तो (समान श्रम उत्पादकता के साथ) 10 राजमिस्त्री इसे आधे समय में कर सकते हैं, क्योंकि औसतन 10 लोग 5 लोगों की तुलना में दोगुना काम करते हैं।

आइए एक तालिका बनाएं जिसके द्वारा हम श्रमिकों की संख्या और काम के घंटों में बदलाव की निगरानी कर सकें।

उदाहरण के लिए, यह पता लगाने के लिए कि 6 श्रमिकों को कितने दिन लगते हैं, आपको पहले यह गणना करनी होगी कि एक श्रमिक को कितने दिन लगते हैं (168 5 = 840), और फिर छह श्रमिकों को कितने दिन लगते हैं (840: 6 = 140)। इस तालिका को देखने पर, हम देखते हैं कि दोनों मात्राएँ छह अलग-अलग मान लेती हैं। पहली मात्रा का प्रत्येक मान एक विशिष्ट से मेल खाता है; दूसरी मात्रा का मान, उदाहरण के लिए, 10 84 से मेल खाता है, संख्या 8 संख्या 105 से मेल खाती है, आदि।

यदि हम बाएं से दाएं दोनों मात्राओं के मानों पर विचार करें तो हम देखेंगे कि ऊपरी मात्रा के मान बढ़ते हैं, और निचली मात्रा के मान घटते हैं। वृद्धि और कमी निम्नलिखित कानून के अधीन है: श्रमिकों की संख्या का मान उसी समय बढ़ जाता है जब खर्च किए गए कार्य समय का मान घट जाता है। इस विचार को और भी सरलता से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: जितने अधिक कर्मचारी किसी कार्य में लगे होंगे, उन्हें एक निश्चित कार्य को पूरा करने के लिए उतना ही कम समय लगेगा। इस समस्या में हमें जिन दो मात्राओं का सामना करना पड़ा, उन्हें कहा जाता है विपरीत समानुपाती।

इस प्रकार, यदि दो राशियाँ एक-दूसरे से इस प्रकार संबंधित हों कि उनमें से एक का मान कई गुना बढ़ने (घटने) पर दूसरी का मान उसी मात्रा से घटने (बढ़ने) पर हो, तो ऐसी मात्राएँ व्युत्क्रमानुपाती कहलाती हैं। .

जीवन में ऐसी ही कई मात्राएँ होती हैं। चलिए उदाहरण देते हैं.

1. यदि 150 रूबल के लिए। यदि आपको कई किलोग्राम मिठाइयाँ खरीदने की आवश्यकता है, तो मिठाइयों की संख्या एक किलोग्राम की कीमत पर निर्भर करेगी। कीमत जितनी अधिक होगी, आप इस पैसे से उतना ही कम सामान खरीद पाएंगे; इसे तालिका से देखा जा सकता है:

जैसे-जैसे कैंडी की कीमत कई गुना बढ़ती है, 150 रूबल के लिए खरीदी जा सकने वाली किलोग्राम कैंडी की संख्या उसी मात्रा से घट जाती है। इस मामले में, दो मात्राएँ (उत्पाद का वजन और उसकी कीमत) व्युत्क्रमानुपाती होती हैं।

2. यदि दो शहरों के बीच की दूरी 1,200 किमी है, तो इसे गति की गति के आधार पर अलग-अलग समय में तय किया जा सकता है। अस्तित्व विभिन्न तरीकेपरिवहन: पैदल, घोड़े पर, साइकिल से, नाव से, कार में, ट्रेन से, हवाई जहाज़ से। गति जितनी कम होगी, चलने में उतना ही अधिक समय लगेगा। इसे तालिका से देखा जा सकता है:

गति में कई गुना वृद्धि के साथ, यात्रा का समय उसी मात्रा में कम हो जाता है। इसका मतलब यह है कि इन परिस्थितियों में, गति और समय व्युत्क्रमानुपाती मात्राएँ हैं।

§ 135. व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं की संपत्ति।

आइए दूसरा उदाहरण लें, जिसे हमने पिछले पैराग्राफ में देखा था। वहां हमने दो मात्राओं पर विचार किया - गति और समय। यदि हम इन मात्राओं के मानों की तालिका को बाएँ से दाएँ देखें, तो हम देखेंगे कि पहली मात्रा (गति) का मान बढ़ता है, और दूसरी (समय) का मान घटता है, और जैसे-जैसे समय घटता है गति उतनी ही बढ़ जाती है।यह समझना कठिन नहीं है कि यदि आप एक मात्रा के कुछ मानों का अनुपात लिखें तो वह किसी अन्य मात्रा के संगत मानों के अनुपात के बराबर नहीं होगा। वास्तव में, यदि हम ऊपरी मान के चौथे मान का सातवें मान (40:80) से अनुपात लें, तो यह निचले मान के चौथे और सातवें मान (30:80) के अनुपात के बराबर नहीं होगा। 15). इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

40:80 30:15, या 40:80 =/=30:15 के बराबर नहीं है।

परंतु यदि हम इनमें से किसी एक संबंध के स्थान पर विपरीत संबंध लें तो हमें समानता प्राप्त होती है, अर्थात इन संबंधों से अनुपात बनाना संभव होगा। उदाहरण के लिए:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

पूर्वगामी के आधार पर, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: यदि दो मात्राएँ व्युत्क्रमानुपाती हैं, तो एक मात्रा के दो मनमाने ढंग से लिए गए मानों का अनुपात दूसरी मात्रा के संगत मानों के व्युत्क्रम अनुपात के बराबर होता है।

§ 136. व्युत्क्रम आनुपातिकता सूत्र।

समस्या पर विचार करें: “रेशमी कपड़े के 6 टुकड़े हैं विभिन्न आकारऔर विभिन्न किस्में। सभी टुकड़ों की कीमत समान है। एक टुकड़े में 100 मीटर कपड़ा है, जिसकी कीमत 20 रूबल है। प्रति मीटर अन्य पांच टुकड़ों में से प्रत्येक में कितने मीटर हैं, यदि इन टुकड़ों में एक मीटर कपड़े की कीमत क्रमशः 25, 40, 50, 80, 100 रूबल है? इस समस्या को हल करने के लिए, आइए एक तालिका बनाएं:

हमें इस तालिका की शीर्ष पंक्ति में रिक्त कक्षों को भरना होगा। आइए पहले यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि दूसरे टुकड़े में कितने मीटर हैं। इसे इस प्रकार किया जा सकता है। समस्या की स्थिति से ज्ञात होता है कि सभी टुकड़ों की कीमत एक समान है। पहले टुकड़े की कीमत निर्धारित करना आसान है: इसमें 100 मीटर हैं और प्रत्येक मीटर की कीमत 20 रूबल है, जिसका अर्थ है कि रेशम का पहला टुकड़ा 2,000 रूबल का है। चूँकि रेशम के दूसरे टुकड़े में समान मात्रा में रूबल हैं, तो, 2,000 रूबल को विभाजित करने पर। एक मीटर की कीमत के लिए, यानी 25, हम दूसरे टुकड़े का आकार पाते हैं: 2,000: 25 = 80 (मीटर)। इसी तरह हम बाकी सभी टुकड़ों का साइज पता कर लेंगे. तालिका इस प्रकार दिखेगी:

यह देखना आसान है कि मीटरों की संख्या और कीमत के बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध है।

यदि आप आवश्यक गणना स्वयं करते हैं, तो आप देखेंगे कि हर बार आपको संख्या 2,000 को 1 मीटर की कीमत से विभाजित करना पड़ता है। इसके विपरीत, यदि आप अब मीटर में टुकड़े के आकार को 1 मीटर की कीमत से गुणा करना शुरू करते हैं , आपको हमेशा 2,000 नंबर मिलेगा और इसके लिए इंतजार करना जरूरी था, क्योंकि प्रत्येक टुकड़े की कीमत 2,000 रूबल है।

यहां से हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं के किसी दिए गए जोड़े के लिए, एक मात्रा के किसी भी मूल्य का दूसरी मात्रा के संगत मूल्य से गुणनफल एक स्थिर संख्या होती है (अर्थात, बदलती नहीं है)।

हमारी समस्या में, यह उत्पाद 2,000 के बराबर है। जांचें कि पिछली समस्या में, जिसमें एक शहर से दूसरे शहर में जाने के लिए गति और आवश्यक समय की बात की गई थी, उस समस्या के लिए एक स्थिर संख्या (1,200) भी थी।

सब कुछ ध्यान में रखते हुए, व्युत्क्रम आनुपातिकता सूत्र प्राप्त करना आसान है। आइए हम एक मात्रा के एक निश्चित मान को अक्षर से निरूपित करें एक्स , और किसी अन्य मात्रा का संगत मान अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है पर . फिर, उपरोक्त के आधार पर, कार्य एक्स पर पर कुछ स्थिर मान के बराबर होना चाहिए, जिसे हम अक्षर द्वारा दर्शाते हैं को, अर्थात।

x y = को.

इस समानता में एक्स - गुणक पर - गुणक और क- काम। गुणन के गुण के अनुसार, एक गुणक गुणक द्वारा विभाजित किये गये गुणनफल के बराबर होता है। मतलब,

यह व्युत्क्रम आनुपातिकता सूत्र है। इसका उपयोग करके, हम व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं में से किसी एक के किसी भी संख्या के मान की गणना कर सकते हैं, दूसरे के मान और स्थिर संख्या को जानकर को.

आइए एक और समस्या पर विचार करें: “एक निबंध के लेखक ने गणना की कि यदि उसकी पुस्तक नियमित प्रारूप में है, तो इसमें 96 पृष्ठ होंगे, लेकिन यदि यह पॉकेट प्रारूप है, तो इसमें 300 पृष्ठ होंगे। उसने कोशिश करी विभिन्न प्रकार, 96 पृष्ठों से शुरुआत की, और तब उनके पास प्रति पृष्ठ 2,500 पत्र थे। फिर उसने नीचे दी गई तालिका में दिखाए गए पेज नंबर लिए और फिर से गणना की कि पेज पर कितने अक्षर होंगे।

आइए गणना करने का प्रयास करें कि यदि पुस्तक में 100 पृष्ठ हैं तो एक पृष्ठ पर कितने अक्षर होंगे।

पूरी पुस्तक में 240,000 अक्षर हैं, चूँकि 2,500 96 = 240,000।

इसे ध्यान में रखते हुए, हम व्युत्क्रम आनुपातिकता सूत्र का उपयोग करते हैं ( पर - पृष्ठ पर अक्षरों की संख्या, एक्स - पृष्ठों की संख्या):

हमारे उदाहरण में को= 240,000 इसलिए

तो पृष्ठ पर 2,400 अक्षर हैं।

इसी प्रकार, हम सीखते हैं कि यदि किसी पुस्तक में 120 पृष्ठ हैं, तो पृष्ठ पर अक्षरों की संख्या होगी:

हमारी तालिका इस प्रकार दिखेगी:

शेष कक्षों को स्वयं भरें।

§ 137. व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं के साथ समस्याओं को हल करने की अन्य विधियाँ।

पिछले पैराग्राफ में, हमने उन समस्याओं को हल किया जिनकी स्थितियों में व्युत्क्रमानुपाती मात्राएँ शामिल थीं। हमने पहले व्युत्क्रम आनुपातिकता सूत्र निकाला और फिर इस सूत्र को लागू किया। अब हम ऐसी समस्याओं के लिए दो अन्य समाधान दिखाएंगे।

1. एकता में कमी की विधि.

काम। 5 टर्नर किसी काम को 16 दिनों में कर सकते हैं। 8 टर्नर इस कार्य को कितने दिनों में पूरा कर सकते हैं?

समाधान।टर्नर्स की संख्या और काम के घंटों के बीच एक विपरीत संबंध है। यदि 5 टर्नर 16 दिनों में कार्य करते हैं, तो एक व्यक्ति को इसके लिए 5 गुना अधिक समय की आवश्यकता होगी, अर्थात।

5 टर्नर 16 दिनों में काम पूरा करते हैं,

1 टर्नर इसे 16 5 = 80 दिनों में पूरा करेगा।

समस्या पूछती है कि कार्य को पूरा करने में 8 टर्नर को कितने दिन लगेंगे। जाहिर है, वे 1 टर्नर की तुलना में 8 गुना तेजी से काम का सामना करेंगे, यानी

80: 8 = 10 (दिन)।

समस्या को एकता में पिरोना ही इसका समाधान है। यहां सबसे पहले यह आवश्यक था कि एक श्रमिक को कार्य पूरा करने में कितना समय लगेगा।

2. अनुपात की विधि.आइए इसी समस्या को दूसरे तरीके से हल करें।

चूंकि श्रमिकों की संख्या और काम करने के समय के बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध है, इसलिए हम लिख सकते हैं: 5 टर्नर के काम की अवधि, टर्नर की नई संख्या (8) 8 टर्नर के काम की अवधि, टर्नर की पिछली संख्या (5) आइए हम निरूपित करें पत्र द्वारा कार्य की आवश्यक अवधि एक्स और शब्दों में व्यक्त अनुपात में आवश्यक संख्याएँ रखें:

अनुपात की विधि से भी यही समस्या हल हो जाती है। इसे हल करने के लिए, हमें समस्या विवरण में शामिल संख्याओं से एक अनुपात बनाना होगा।

टिप्पणी।पिछले पैराग्राफ में हमने प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता के मुद्दे की जांच की। प्रकृति और जीवन हमें मात्राओं की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रमानुपाती निर्भरता के कई उदाहरण देते हैं। हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ये दो प्रकार की निर्भरता केवल सबसे सरल हैं। उनके साथ-साथ, मात्राओं के बीच अन्य, अधिक जटिल निर्भरताएँ भी हैं। इसके अतिरिक्त, किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि यदि कोई दो मात्राएँ एक साथ बढ़ती हैं, तो उनके बीच प्रत्यक्ष आनुपातिकता अवश्य होती है। यह सच से बहुत दूर है. उदाहरण के लिए, टोल के लिए रेलवेदूरी के आधार पर वृद्धि होती है: हम जितना आगे यात्रा करते हैं, उतना अधिक भुगतान करते हैं, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि भुगतान दूरी के समानुपाती होता है।

उदाहरण

1.6/2 = 0.8; 4/5 = 0.8; 5.6/7 = 0.8, आदि।

आनुपातिकता कारक

आनुपातिक मात्राओं का स्थिर संबंध कहलाता है आनुपातिकता कारक. आनुपातिकता गुणांक दर्शाता है कि एक मात्रा की कितनी इकाइयाँ दूसरे की प्रति इकाई हैं।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- कार्यात्मक निर्भरता, जिसमें एक निश्चित मात्रा दूसरी मात्रा पर इस प्रकार निर्भर करती है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में, ये चर बदलते रहते हैं आनुपातिक, समान शेयरों में, अर्थात, यदि तर्क किसी भी दिशा में दो बार बदलता है, तो फ़ंक्शन भी उसी दिशा में दो बार बदलता है।

गणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

एफ(एक्स) = एएक्स,ए = सीहेएनएसटी

व्युत्क्रम आनुपातिकता

व्युत्क्रम आनुपातिकता- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है, जिसमें स्वतंत्र मूल्य (तर्क) में वृद्धि से आश्रित मूल्य (फ़ंक्शन) में आनुपातिक कमी होती है।

गणितीय रूप से, व्युत्क्रम आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

फ़ंक्शन गुण:

सूत्रों का कहना है

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

आज हम देखेंगे कि किन राशियों को व्युत्क्रमानुपाती कहा जाता है, व्युत्क्रमानुपाती ग्राफ कैसा दिखता है, और यह सब न केवल गणित के पाठों में, बल्कि स्कूल के बाहर भी आपके लिए कैसे उपयोगी हो सकता है।

इतने भिन्न अनुपात

समानतादो मात्राओं के नाम बताइए जो एक दूसरे पर परस्पर निर्भर हैं।

निर्भरता प्रत्यक्ष और विपरीत हो सकती है। नतीजतन, मात्राओं के बीच संबंधों को प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता द्वारा वर्णित किया जाता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता– यह दो मात्राओं के बीच का ऐसा संबंध है जिसमें एक में वृद्धि या कमी से दूसरी में वृद्धि या कमी होती है। वे। उनका रवैया नहीं बदलता.

उदाहरण के लिए, आप परीक्षा के लिए अध्ययन में जितना अधिक प्रयास करेंगे, आपके ग्रेड उतने ही अधिक होंगे। या आप सैर पर जितनी अधिक चीज़ें अपने साथ ले जाएंगे, आपका बैग ले जाने के लिए उतना ही भारी होगा। वे। परीक्षा की तैयारी में खर्च किए गए प्रयास की मात्रा सीधे प्राप्त ग्रेड पर निर्भर करती है। और बैकपैक में पैक की गई चीज़ों की संख्या सीधे उसके वजन पर निर्भर करती है।

व्युत्क्रम आनुपातिकता- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है जिसमें एक स्वतंत्र मूल्य में कई बार कमी या वृद्धि होती है (इसे एक तर्क कहा जाता है) एक आश्रित मूल्य में आनुपातिक (यानी, समान संख्या में) वृद्धि या कमी का कारण बनता है (इसे कहा जाता है) समारोह)।

आइए एक सरल उदाहरण से स्पष्ट करें। आप बाज़ार से सेब खरीदना चाहते हैं। काउंटर पर सेब और आपके बटुए में पैसे की मात्रा विपरीत अनुपात में है। वे। आप जितने अधिक सेब खरीदेंगे, आपके पास उतने ही कम पैसे बचेंगे।

फ़ंक्शन और उसका ग्राफ़

व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है वाई = के/एक्स. जिसमें एक्स≠ 0 और क≠ 0.

इस फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण हैं:

1. इसकी परिभाषा का क्षेत्र सिवाय सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है एक्स = 0. डी(य): (-∞; 0) यू (0; +∞).
2. सीमा को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं य= 0. ई(य): (-∞; 0) यू (0; +∞) .
3. अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है.
4. यह विषम है तथा इसका ग्राफ मूल बिन्दु के प्रति सममित है।
5. गैर आवधिक.
6. इसका ग्राफ निर्देशांक अक्षों को प्रतिच्छेद नहीं करता है।
7. कोई शून्य नहीं है.
8. अगर क> 0 (अर्थात तर्क बढ़ता है), फ़ंक्शन अपने प्रत्येक अंतराल पर आनुपातिक रूप से घटता है। अगर क< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. जैसे-जैसे बहस बढ़ती है ( क> 0) फ़ंक्शन के नकारात्मक मान अंतराल (-∞; 0) में हैं, और सकारात्मक मान अंतराल (0; +∞) में हैं। जब तर्क कम हो जाता है ( क< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन के ग्राफ़ को हाइपरबोला कहा जाता है। इस प्रकार दिखाया गया है:

व्युत्क्रम आनुपातिकता समस्याएँ

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए कई कार्यों पर नजर डालें। वे बहुत जटिल नहीं हैं, और उन्हें हल करने से आपको यह कल्पना करने में मदद मिलेगी कि व्युत्क्रम आनुपातिकता क्या है और यह ज्ञान आपके रोजमर्रा के जीवन में कैसे उपयोगी हो सकता है।

कार्य संख्या 1. एक कार 60 किमी/घंटा की गति से चल रही है। अपनी मंजिल तक पहुंचने में उन्हें 6 घंटे लग गए. यदि वह दोगुनी गति से चले तो उसे समान दूरी तय करने में कितना समय लगेगा?

हम एक सूत्र लिखकर शुरुआत कर सकते हैं जो समय, दूरी और गति के बीच संबंध का वर्णन करता है: t = S/V। सहमत हूं, यह हमें व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन की बहुत याद दिलाता है। और यह इंगित करता है कि एक कार सड़क पर जो समय बिताती है और जिस गति से वह चलती है वह विपरीत अनुपात में है।

इसे सत्यापित करने के लिए, आइए V 2 खोजें, जो कि स्थिति के अनुसार, 2 गुना अधिक है: V 2 = 60 * 2 = 120 किमी/घंटा। फिर हम सूत्र S = V * t = 60 * 6 = 360 किमी का उपयोग करके दूरी की गणना करते हैं। अब यह पता लगाना मुश्किल नहीं है कि समस्या की स्थितियों के अनुसार हमें कितना समय t 2 चाहिए: t 2 = 360/120 = 3 घंटे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यात्रा का समय और गति वास्तव में विपरीत आनुपातिक हैं: मूल गति से 2 गुना अधिक गति पर, कार सड़क पर 2 गुना कम समय बिताएगी।

इस समस्या का समाधान अनुपात के रूप में भी लिखा जा सकता है। तो आइए सबसे पहले यह आरेख बनाएं:

↓ 60 किमी/घंटा - 6 घंटे

↓120 किमी/घंटा - x घंटा

तीर व्युत्क्रमानुपाती संबंध दर्शाते हैं। वे यह भी सुझाव देते हैं कि अनुपात बनाते समय, रिकॉर्ड के दाहिने हिस्से को पलट देना चाहिए: 60/120 = x/6। हमें x = 60 * 6/120 = 3 घंटे कहाँ मिलते हैं।

कार्य क्रमांक 2. कार्यशाला में 6 कर्मचारी कार्यरत हैं जो दिए गए कार्य को 4 घंटे में पूरा कर सकते हैं। यदि श्रमिकों की संख्या आधी कर दी जाए, तो शेष श्रमिकों को समान कार्य पूरा करने में कितना समय लगेगा?

आइए हम समस्या की स्थितियों को एक दृश्य आरेख के रूप में लिखें:

↓ 6 कर्मचारी - 4 घंटे

↓ 3 कर्मचारी - x ज

आइए इसे अनुपात के रूप में लिखें: 6/3 = x/4. और हमें x = 6 * 4/3 = 8 घंटे मिलते हैं यदि 2 गुना कम कर्मचारी हैं, तो शेष सभी काम करने में 2 गुना अधिक समय व्यतीत करेंगे।

कार्य क्रमांक 3. पूल में जाने वाले दो पाइप हैं। एक पाइप से पानी 2 लीटर/सेकेंड की गति से बहता है और 45 मिनट में पूल भर जाता है। दूसरे पाइप से 75 मिनट में पूल भर जाएगा। इस पाइप के माध्यम से पानी किस गति से पूल में प्रवेश करता है?

आरंभ करने के लिए, आइए समस्या की स्थितियों के अनुसार हमें दी गई सभी मात्राओं को माप की समान इकाइयों में घटा दें। ऐसा करने के लिए, हम पूल भरने की गति को लीटर प्रति मिनट में व्यक्त करते हैं: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min।

चूँकि शर्त का अर्थ है कि पूल दूसरे पाइप के माध्यम से अधिक धीरे-धीरे भरता है, इसका मतलब है कि पानी के प्रवाह की दर कम है। आनुपातिकता व्युत्क्रम है. आइए x के माध्यम से अज्ञात गति को व्यक्त करें और निम्नलिखित चित्र बनाएं:

↓ 120 एल/मिनट - 45 मिनट

↓ x एल/मिनट - 75 मिनट

और फिर हम अनुपात बनाते हैं: 120/x = 75/45, जहां से x = 120 * 45/75 = 72 लीटर/मिनट।

समस्या में, पूल की भरने की दर प्रति सेकंड लीटर में व्यक्त की गई है; आइए प्राप्त उत्तर को उसी रूप में कम करें: 72/60 = 1.2 एल/एस।

टास्क नंबर 4. एक छोटा निजी प्रिंटिंग हाउस बिजनेस कार्ड छापता है। प्रिंटिंग हाउस का एक कर्मचारी 42 बिजनेस कार्ड प्रति घंटे की गति से काम करता है और पूरे दिन - 8 घंटे काम करता है। यदि वह तेजी से काम करता और एक घंटे में 48 बिजनेस कार्ड छापता, तो वह कितनी देर पहले घर जा सकता था?

हम सिद्ध पथ का अनुसरण करते हैं और समस्या की स्थितियों के अनुसार वांछित मान को x के रूप में निर्दिष्ट करते हुए एक आरेख बनाते हैं:

↓ 42 बिजनेस कार्ड/घंटा - 8 घंटे

↓ 48 बिजनेस कार्ड/घंटा - x घंटा

हमारे बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध है: प्रिंटिंग हाउस का एक कर्मचारी प्रति घंटे जितनी बार अधिक बिजनेस कार्ड प्रिंट करता है, उसे उसी काम को पूरा करने के लिए उतनी ही बार कम समय की आवश्यकता होगी। यह जानकर, आइए एक अनुपात बनाएं:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 घंटे।

इस प्रकार, 7 घंटे में काम पूरा करने के बाद, प्रिंटिंग हाउस का कर्मचारी एक घंटे पहले घर जा सकता था।

निष्कर्ष

हमें ऐसा लगता है कि ये व्युत्क्रम आनुपातिकता समस्याएँ वास्तव में सरल हैं। हमें उम्मीद है कि अब आप भी उनके बारे में ऐसा ही सोचेंगे. और मुख्य बात यह है कि मात्राओं की व्युत्क्रमानुपाती निर्भरता का ज्ञान वास्तव में आपके लिए एक से अधिक बार उपयोगी हो सकता है।

न केवल गणित के पाठों और परीक्षाओं में। लेकिन फिर भी, जब आप किसी यात्रा पर जाने के लिए तैयार होते हैं, खरीदारी करने जाते हैं, छुट्टियों के दौरान कुछ अतिरिक्त पैसे कमाने का निर्णय लेते हैं, आदि।

हमें टिप्पणियों में बताएं कि आप अपने आसपास व्युत्क्रम और प्रत्यक्ष आनुपातिक संबंधों के कौन से उदाहरण देखते हैं। इसे ऐसा खेल होने दो. आप देखेंगे कि यह कितना रोमांचक है। इस लेख को सोशल नेटवर्क पर साझा करना न भूलें ताकि आपके मित्र और सहपाठी भी खेल सकें।

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