समारोह। कार्यों के गुण और ग्राफ़, विषय पर बीजगणित पाठ के लिए प्रस्तुति

परिचय। गणित, बहुत पहले ही विज्ञान और प्रौद्योगिकी की भाषा बन चुकी है, अब तेजी से रोजमर्रा की जिंदगी और रोजमर्रा की भाषा में प्रवेश कर रही है, और इसे पारंपरिक रूप से दूर के क्षेत्रों में भी पेश किया जा रहा है। जैसा कि महान गैलीलियो गैलीली (1564 - 1642) ने आलंकारिक रूप से उल्लेख किया है, प्रकृति की पुस्तक गणितीय भाषा में लिखी गई है, और इसके अक्षर गणितीय संकेत और ज्यामितीय आंकड़े हैं, उनके बिना इसके शब्दों को समझना असंभव है, उनके बिना एक अंतहीन भूलभुलैया में भटकना व्यर्थ है. और यह वह कार्य है जो गणितीय भाषा का साधन है जो हमें प्रकृति में निहित गति और परिवर्तनों की प्रक्रियाओं का वर्णन करने की अनुमति देता है। 9वीं कक्षा में द्विघात फलन का अध्ययन करते समय, हमने इस फलन के ग्राफ़ पर परिवर्तन किए। इन परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, ग्राफ़ बनाना आसान और सरल हो गया। और मैंने सोचा: "क्या अन्य कार्यों के ग्राफ़ के साथ समान परिवर्तन करना संभव है, उदाहरण के लिए, एक रैखिक फ़ंक्शन, व्युत्क्रम आनुपातिकता, पावर फ़ंक्शन?" इसलिए, मैंने अपने काम का विषय "प्राथमिक कार्यों का वर्ग और उनके ग्राफ़" चुना, अपने लिए लक्ष्य निर्धारित किया: प्राथमिक कार्यों को बनाने और उनके ग्राफ़ को बदलने के तरीकों को समझना और अध्ययन करना।

फ़ंक्शन के विकास के इतिहास से। पहली बार, फ्रांसीसी गणितज्ञ और दार्शनिक आर. डेसकार्टेस के प्रसिद्ध कार्य "ज्यामिति" में "परिवर्तनीय मात्रा" नाम से एक फ़ंक्शन गणित में प्रवेश किया, और एफ. एंगेल्स के अनुसार, इसकी उपस्थिति ने गणित में एक महत्वपूर्ण मोड़ के रूप में कार्य किया। , जिसकी बदौलत इसमें आंदोलन और द्वंद्वात्मकता का समावेश हुआ। चर के बिना, I. न्यूटन गतिशीलता के नियमों को व्यक्त करने में सक्षम नहीं होंगे जो निकायों के यांत्रिक आंदोलन की प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं - आकाशीय और पूरी तरह से स्थलीय, और आधुनिक वैज्ञानिक अंतरिक्ष यान के प्रक्षेपवक्र की गणना करने और अनंत संख्या को हल करने में सक्षम नहीं होंगे हमारे युग की तकनीकी समस्याएँ।

फ़ंक्शन के विकास के इतिहास से। विज्ञान के विकास के साथ, कार्य की अवधारणा को परिष्कृत और सामान्यीकृत किया गया। अब यह इतना सामान्य हो गया है कि यह पत्राचार की अवधारणा से मेल खाता है। इस प्रकार, सामान्य अर्थ में एक फ़ंक्शन कोई भी कानून (नियम) है जिसके अनुसार एक निश्चित वर्ग से प्रत्येक वस्तु, फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र, किसी अन्य (या समान) वर्ग से कुछ ऑब्जेक्ट से जुड़ा होता है, संभव का डोमेन फ़ंक्शन के मान. लेकिन हम किसी फ़ंक्शन की अवधारणा पर इतने सामान्य अर्थ में विचार नहीं करते हैं, बल्कि यह मानते हैं कि स्वतंत्र और आश्रित दोनों चर मात्राएँ हैं। इस प्रकार, एक फ़ंक्शन एक निर्भरता है जो एक चर मात्रा (तर्क) के प्रत्येक मान को उसके एक निश्चित क्षेत्र से दूसरी मात्रा (फ़ंक्शन) के एक निश्चित मान में परिवर्तन से जोड़ता है। यदि तर्क को x द्वारा, फ़ंक्शन का मान y द्वारा, और निर्भरता स्वयं - फ़ंक्शन - प्रतीक f द्वारा दर्शाया गया है, तो फ़ंक्शन के मान और तर्क के बीच संबंध इस प्रकार है: y=f (एक्स)।

कार्यों को निर्दिष्ट करने की विधियाँ। मात्राओं के बीच निर्भरता व्यक्त करने के तीन मुख्य तरीके हैं: सारणीबद्ध, ग्राफिकल और विश्लेषणात्मक ("सूत्र")। सारणीबद्ध विधि महत्वपूर्ण है क्योंकि यह वास्तविक निर्भरताओं का पता लगाने के लिए मुख्य है और उन्हें निर्दिष्ट करने का एकमात्र साधन भी हो सकता है (सूत्र चुनना हमेशा संभव नहीं होता है, और कभी-कभी इसकी कोई आवश्यकता नहीं होती है)। व्यावहारिक गणना करते समय अक्सर सारणीबद्ध विनिर्देश पर स्विच किया जाता है, इससे संबंधित: उदाहरण के लिए, गणना करते समय वर्गमूलों की तालिकाओं का उपयोग सुविधाजनक होता है जिसमें ऐसी जड़ें शामिल होती हैं। गणितीय दृष्टिकोण से, निरंतर निर्भरता का एक सारणीबद्ध असाइनमेंट हमेशा अधूरा होता है और केवल व्यक्तिगत बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों के बारे में जानकारी प्रदान करता है।

कार्यों को निर्दिष्ट करने के तरीके वास्तविक घटनाओं का अध्ययन करते समय निर्भरताओं का प्रतिनिधित्व करने की ग्राफिकल विधि भी उन्हें रिकॉर्ड करने के साधनों में से एक है। यह आपको विभिन्न "स्व-रिकॉर्डिंग" उपकरण बनाने की अनुमति देता है, जैसे कि सिस्मोग्राफ, इलेक्ट्रोकार्डियोग्राफ़, ऑसिलोस्कोप, आदि, जो ग्राफ़ के रूप में मापी गई मात्रा में परिवर्तन के बारे में जानकारी प्रदर्शित करते हैं। लेकिन यदि कोई ग्राफ़ है, तो संबंधित फ़ंक्शन भी परिभाषित किया गया है। ऐसे मामलों में, हम फ़ंक्शन को ग्राफ़िक रूप से निर्दिष्ट करने के बारे में बात करते हैं। हालाँकि, किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की ग्राफिकल विधि गणना के लिए असुविधाजनक है; इसके अलावा, तालिका की तरह, यह अनुमानित और अपूर्ण है। विश्लेषणात्मक (सूत्रीय) फ़ंक्शन असाइनमेंट को इसकी कॉम्पैक्टनेस से अलग किया जाता है, याद रखना आसान होता है और इसमें निर्भरता के बारे में पूरी जानकारी होती है। फ़ंक्शन को सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: y=2x+5, S=at2/2, S=vt। ये सूत्र ज्यामितीय या भौतिक तर्क का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं। कभी-कभी किसी प्रयोग के प्रसंस्करण के परिणामस्वरूप सूत्र प्राप्त होते हैं, ऐसे सूत्रों को अनुभवजन्य कहा जाता है;

प्राथमिक कार्यों का वर्ग प्राथमिक कार्यों में स्कूल की पाठ्यपुस्तक में पाए जाने वाले लगभग सभी कार्य शामिल होते हैं। सबसे पहले, प्रसिद्ध और अच्छी तरह से अध्ययन किए गए कार्यों का एक काफी प्रतिनिधि सेट है, जिन्हें बुनियादी प्राथमिक कार्य कहा जाता है। ये फलन हैं: y=C, स्थिरांक कहा जाता है, y= xа - शक्ति फलन (a = 1 के लिए, फलन y=x प्राप्त होता है, समरूप कहा जाता है)। इन कार्यों के ग्राफ़ संलग्न हैं। (परिशिष्ट 1-7) बुनियादी प्राथमिक कार्यों को अपने पास रखते हुए, आप कई ऑपरेशन शुरू कर सकते हैं जो आपको अधिक जटिल और विविध डिज़ाइन प्राप्त करने के लिए उन्हें भागों के रूप में एक दूसरे के साथ संयोजित करने की अनुमति देते हैं। कार्यों पर मान्य अंकगणितीय संक्रियाएँ। [+] - जोड़, [-] - घटाव, [*] - गुणा, [:] - भाग। वे सभी फलन जो अंकगणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके मूल तत्वों से प्राप्त किए जा सकते हैं, प्राथमिक फलन कहलाते हैं और प्राथमिक फलनों के वर्ग का निर्माण करते हैं।

प्राथमिक कार्यों के एक वर्ग का गठन, बुनियादी कार्यों का एक निश्चित सेट f1, f2,f3,...fk और उन पर स्वीकार्य संचालन F1, F2, ... Fs (इन्हें कितनी भी बार लागू किया जा सकता है), हम कर सकते हैं अन्य फ़ंक्शन प्राप्त करें, जैसे किसी डिज़ाइनर के हिस्सों से, उन्हें जोड़ने के लिए कुछ नियमों का उपयोग करके, आप विभिन्न मॉडल प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार प्राप्त सभी फलनों के वर्ग को इस प्रकार दर्शाया गया है:< f1,f2,...fk; F1,F2,...Fs>. विशेष रूप से, यदि हम सभी बुनियादी प्राथमिक कार्यों को बुनियादी मानते हैं और केवल अंकगणितीय संचालन की अनुमति देते हैं, तो हमें प्राथमिक कार्यों का एक वर्ग प्राप्त होता है। कुछ बुनियादी प्राथमिक कार्यों को आधार बनाते हुए और, शायद, केवल कुछ संकेतित संचालनों की अनुमति देते हुए, हम प्राथमिक कार्यों के वर्ग के कुछ उपवर्ग, इस आधार और इन कार्यों द्वारा उत्पन्न कार्यों के कुछ परिवारों को प्राप्त करते हैं। यहां कार्यों के ऐसे परिवारों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं, जहां (ए) को किसी स्थिरांक द्वारा गुणन की संक्रिया के रूप में समझा जाता है: - सकारात्मक पूर्णांक घातों का परिवार y=x, जहां n € N; - रैखिक फलनों का परिवार y= ax + b; - बहुपदों का परिवार y= axn +...+an-1x +an, जहां n € N.

ग्राफ़ का निर्माण फ़ंक्शन y = 3x2 का ग्राफ़ बनाने के लिए, आपको फ़ंक्शन y = x2 के ग्राफ़ को 3 से गुणा करना होगा। परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन y = x2 का ग्राफ़ कोर्डिनेट अक्ष के साथ 3 गुना बढ़ जाएगा, और यदि y = 0.3 x2, तो ग्राफ ओए अक्ष के अनुदिश 0.3 बार संपीड़ित होगा। (परिशिष्ट 8,9)।

ग्राफ़ का निर्माण फ़ंक्शन y=3(x -4)2 का ग्राफ़ निम्नलिखित चरणों का पालन करके प्राप्त किया जा सकता है: - समान फ़ंक्शन y=x और स्थिरांक y=-4 के ग्राफ़ जोड़ें, हमें एक ग्राफ़ प्राप्त होता है फलन y=x-4; - फ़ंक्शन y=x-4 और y=x-4 के ग्राफ़ को गुणा करें, हमें फ़ंक्शन y= (x -4)2 का ग्राफ़ मिलता है; - y= (x -4)2 को 3 से गुणा करें, हमें फ़ंक्शन y=3(x -4)2 का ग्राफ मिलता है। या बस फ़ंक्शन y=3x2 के ग्राफ़ को ऑक्स अक्ष के साथ 4 इकाई खंडों (परिशिष्ट 10) द्वारा स्थानांतरित करें।

फ़ंक्शन y= f(x) के मूल ग्राफ़ का रूपांतरण। उपरोक्त से, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़ के साथ विभिन्न क्रियाएं करके, हम इन ग्राफ़ों के परिवर्तन करते हैं, अर्थात्: समानांतर अनुवाद, लाइन ऑक्स और लाइन ओए के संबंध में समरूपता।

F (x2)\n\nकोलोमिना N.N..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/ 2-पेज -13_300.jpg"),("number":14,"text":"चित्र \nअंतराल (-5,6) पर दिए गए फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। उन अंतरालों को इंगित करें जहां\ nफ़ंक्शन बढ़ता है।\nPoduma\n1\n2\n3\n\nй!\n\n[-6;7]\nPoduma\nй!\n[-5;-3] U\n\nPoduma\nй!\n [-3;7]\nयह सही है!\n\nу\n7\n\n3\n-5\n\n-3\n\n0\n-2\n\n4\n\n[-3; 2 ]\n-6\n\nचेक करें (1)\n\nकोलोमिना एन.एन..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64 \/ 3\/f\/2-page-14_300.jpg"),("number":15,"text":"आंकड़ा फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ़ दिखाता है।\nशून्य की संख्या\n इंगित करें फ़ंक्शन का।\ ny\n\nइसके बारे में सोचो!\n1\n\n1\n\n2\n\n2\n\n3\n\n4\n\n4\n\n0\n\nइसके बारे में सोचो! \nयह सही है!\n \nx\n\nइसके बारे में सोचें!\n\nचेक करें (1)\nकोलोमिना एन.एन.\n\n0\n\nफ़ंक्शन का शून्य x का मान है जिस पर y = 0. में \nचित्रित करें कि ये अक्ष ओह..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/ के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं f\/2-page-15_300.jpg") ,("number":16,"text":"कौन से फ़ंक्शन बढ़ रहे हैं और कौन से घट रहे हैं?\n\n1) y 5\n\nx\ n\nबढ़ रहा है, क्योंकि 5  1\n \n2) 0.5\n\n3) y 10\n\nx\n\nx\n\nघट रहा है, क्योंकि 0  0.5  1\n\nबढ़ रहा है, क्योंकि 10  1\n\nवां, क्योंकि  1\n4) y  x बढ़ रहा है\nx\n\n 2\n5) y  \n 3\n\n6) y  49\nकोलोमिना N.N.\n\nx\n\n2\nअवरोही, क्योंकि 0   1\n3\n1\n1\nअवरोही, क्योंकि..jpg","smallImageUrl":" \/\/pedsovet.su\/_load- फ़ाइलें\/लोड\/48\/64\/3\/f\/2-पेज-16_300.jpg"),("संख्या":17,"पाठ": "एकरसता के लिए एक फ़ंक्शन का अध्ययन।\nदोनों बढ़ते और घटते कार्यों को मोनोटोनिक कहा जाता है, और जिन अंतरालों में फ़ंक्शन बढ़ता या घटता है उन्हें मोनोटोनिटी के अंतराल कहा जाता है।\n\/\\\n\nउदाहरण के लिए, x 0 के लिए फ़ंक्शन y = X2 मोनोटोनिक रूप से बढ़ता है। \nसंपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर फ़ंक्शन y= su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-17_300.jpg"),("number":18,"text":"एकरसता के लिए फ़ंक्शन का अन्वेषण करें \nx\nу\n\nफ़ंक्शन y=x2\n\n-2 -1 0\n4 1 0\n\n1\n1\n\n2\n4\n\ny\n6\n5\n4\n3 \n2 \n1\n\n-6\n4\n\n-5\n5\n\n-4\n6\n\n-3\n\n-2 - -1\n1\n2\n3\ n4\ n5\n6\n\nकोलोमिना एन.एन..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\ /2-पेज- 18_300.jpg"),("number":19,"text":"उलटा फ़ंक्शन\nयदि कोई फ़ंक्शन y  f (x) अपने प्रत्येक\nमान को केवल एक मान x के लिए लेता है, तो\nऐसा फ़ंक्शन को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है।\nउदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=3x+5 व्युत्क्रमणीय है, क्योंकि\ny का प्रत्येक मान तर्क x के एकल\nमान के साथ लिया जाता है। इसके विपरीत, फ़ंक्शन y = 3X2 उलटा नहीं है, क्योंकि, उदाहरण के लिए, यह x = 1 और x = -1 दोनों के लिए मान y = 3 लेता है।\nकिसी भी निरंतर फ़ंक्शन के लिए (जिसमें ब्रेकप्वाइंट नहीं है) एक मोनोटोनिक\अस्पष्ट और निरंतर उलटा फ़ंक्शन है।\nकोलोमिना एन.एन..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/ f \/2-पेज-19_300.jpg"),("नंबर":20,"टेक्स्ट":"डिक्टेशन\n№\n\n№\n\nविकल्प-1\n\nविकल्प-2\n\nडोमेन ढूंढें फ़ंक्शन की परिभाषा के\n1\n\nу  х2  1\n\n1\n\nу\n\nमानों की सीमा ज्ञात करें\n2\n\nу\n\n3\n\nх 1\ nх2  2\ n\nх 1\n2\n2\nу\nх 2\nफ़ंक्शन निर्दिष्ट करने की विधि इंगित करें\n\nх\n\n-2\n\n-1\n\n0\n \n1\n\nу\ n\n3\n\n5\n\n7\n\n9\n\n3\n\nх2  1\n\n x  3, x   3;\nh x   2\n x  3, x  3.\n\nसमता के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करें\n4\n\n4\nबढ़ते और घटते फ़ंक्शन के अंतराल का अध्ययन करें।\n\n5\nकोलोमिना एन.एन..jpg" ,"smallImageUrl":"\ /\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-20_300.jpg"),("संख्या": 21,"पाठ":" फ़ंक्शन.\n1. रैखिक फ़ंक्शन\n2. द्विघात फ़ंक्शन\n3. पावर फ़ंक्शन\n4. घातीय फ़ंक्शन\n5. डोगारिथमिक फ़ंक्शन\n6. त्रिकोणमितीय\nफ़ंक्शन\nकोलोमिना एन.एन..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-पेज -21_300. jpg"),("संख्या":22,"पाठ":"रैखिक फलन\n\ny = kx + b\ny\nb – मुक्त\nगुणांक\nk – कोणीय\nगुणांक\n\nk = tan α \nकोलोमिना एन.एन. .jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-22_300"),(" संख्या":23,"पाठ":"द्विघात फलन\n\ny = ax2 + bx + c, a ≠ 0\ny\n\n2\n\n b  b  4ac\nx1 ,2 \n2a\ nb\nxв  \n2а\n4ac  b2\nyв \n4a\nकोलोमिना N.N..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\ /load\/48\/64\ /3\/f\/2-पेज-23_300.jpg"),("संख्या":24,"पाठ":"पावर फ़ंक्शन\n\ny = xn\n\ny \n\ny = xnn, जहां n = 2k, k  Z\n\ny = xnn, जहां n = 2k +1, k  Z\n\n1\n01\n\nकोलोमिना N.N..jpg", "smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su \/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-24_300.jpg"),("number":25 ,"text":"exponential function\nx\ny = a , a > 0, a ≠ 1\ny\n\ny=a\n01\n\nx\n\n1\nकोलोमिना N.N..jpg", "smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load -files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-25_300.jpg"),("number":26 ,"text":"Logarithmic function\ny\n\ny = loga x , और >.jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64 \/3\/f\/2-page-26_300.jpg "),("संख्या":27,"पाठ":"स्वतंत्र कार्य\nफ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाएं और ढूंढें:\n1. D(y)-परिभाषा का डोमेन;\n2.E(y)-इसके मानों का सेट;\n3.समता (विषमता) की जांच करें;\n4. एकरसता के अंतराल और\nविकल्प-1\nविकल्प-2\nचिह्न की स्थिरता के अंतराल ज्ञात करें;\n1.\n5. बिंदुओं को निर्धारित करें 1.अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन\n2.\n\n2.\n\n3.\n\ n3.\n\ n4.\n\n4.\n\n5.\n\n5.\n\nकोलोमिना एन.एन..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/ लोड\ /48\/64\/3\/f\/2-पेज-27_300.jpg"),("संख्या":28,"पाठ":"समीक्षा के लिए प्रश्न\n1. किसी फ़ंक्शन की परिभाषा तैयार करें। \n2. किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन क्या कहलाता है?\n3. फ़ंक्शन के परिवर्तन का डोमेन क्या कहलाता है?\n4. फ़ंक्शन को किस प्रकार निर्दिष्ट किया जा सकता है?\n5 फ़ंक्शन की परिभाषा?\n6. किन फ़ंक्शनों को सम कहा जाता है और समता के लिए उनका अध्ययन कैसे किया जाता है? न तो सम और न ही विषम।\n9.किस फलन को बढ़ना कहा जाता है? \nविपरीत फ़ंक्शन स्थित हैं?\n\nकोलोमिना एन.एन..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su \/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2- पृष्ठ-28_300.jpg"),("संख्या":29,"पाठ":"स्रोत\nछवियों के लिंक: \nग्राफ़:http:\/\/goldenbakes.com\/wordpress\/wpcontent\/uploads\/2013 \/07\/\nSectors_Investment_Funds.jpg\nचेक की गई शीट: http:\/\/demeneva.ru\/rmk \/fon\/59.png\nटेम्पलेट लेखक: नताल्या निकोलायेवना कोलोमिना, गणित शिक्षक\nMKOU "खोटकोव्स्काया सेकेंडरी स्कूल" डुमिनिचस्की जिला, कलुगा क्षेत्र। /matematike\/223-s ग्राफ़िक्स voystva-funkciy-i-ih-grafiki.html\nhttp:\/\/सेमेनोवा- klass.moy.su\/_ld\/1\/122____.ppt ऐलेना युरेवना सेमेनोवा\nबोगोमोलोव एन.वी. गणित: पाठ्यपुस्तक। कॉलेजों के लिए\/ एन.वी. बोगोमोलोव,\nपी.आई. समोइलेंको.-तीसरा संस्करण, स्टीरियोटाइप.- एम.: बस्टर्ड, 2005.-395 पीपी.\n\nकोलोमिना एन.एन..jpg"," SmallImageUrl":"\/\ /pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-29_300.jpg")]">

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विषय 1.4 फ़ंक्शंस, उनके गुण और ग्राफ़

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पाठ के उद्देश्य: "फ़ंक्शन" की अवधारणा से परिचित होना, इसे उदाहरणों के साथ समेकित करना, नए शब्द सीखना, फ़ंक्शंस का अध्ययन करने के तरीके सीखना, समस्याओं को हल करते समय विषय पर ज्ञान को समेकित करना, फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाना सीखना, कोलोमिना एन.एन.

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थोड़ा इतिहास शब्द "फ़ंक्शन" (लैटिन फ़ंक्शनियो से - उपलब्धि, निष्पादन) का उपयोग पहली बार 1673 में जर्मन गणितज्ञ लीबनिज द्वारा किया गया था। मुख्य गणितीय कार्य "ज्यामिति" (1637) में रेने डेसकार्टेस ने सबसे पहले एक परिवर्तनीय मात्रा की अवधारणा पेश की, निर्देशांक की एक विधि बनाई, और परिवर्तनीय मात्राओं (x, y, z, ...) के लिए प्रतीक पेश किए। कोलोमिन एन.एन. एक फ़ंक्शन की परिभाषा "एक चर मात्रा का एक फ़ंक्शन इस मात्रा और संख्याओं या स्थिर मात्राओं से किसी तरह से बना एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है" 1748 में जर्मन और रूसी गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर द्वारा बनाई गई थी।

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परिभाषा। "वेरिएबल x पर वेरिएबल y की निर्भरता, जिसमें वेरिएबल x का प्रत्येक मान वेरिएबल y के एकल मान से मेल खाता है, एक फ़ंक्शन कहलाता है।" y 6 5 4 3 2 1 x -6 -5 6 प्रतीकात्मक रूप से, चर y (फ़ंक्शन) और चर x (तर्क) के बीच कार्यात्मक संबंध समानता y  f (x) -4 -3 -2 - का उपयोग करके लिखा गया है 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 फ़ंक्शन निर्दिष्ट करने की विधियाँ: सारणीबद्ध (तालिका), ग्राफ़िकल (ग्राफ़), विश्लेषणात्मक (सूत्र)। कोलोमिना एन.एन. 0 1 2 3 4 5

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किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने की सामान्य योजना 1. किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन। 2.फ़ंक्शन के मानों की सीमा की जांच। 3. समता के लिए फलन का अध्ययन. 4. बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल का अध्ययन। 5. एकरसता के लिए किसी फलन का अध्ययन। 5. एक चरम के लिए एक फ़ंक्शन का अध्ययन। 6. आवधिकता के लिए फलन का अध्ययन। 7. चिन्ह की स्थिरता के अंतराल का निर्धारण। 8. निर्देशांक अक्षों के साथ किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्धारण। 9. किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना. कोलोमिना एन.एन.

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किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन किसी फ़ंक्शन की परिभाषा (अस्तित्व) का डोमेन तर्क के सभी वास्तविक मानों का सेट है जिसके लिए इसका वास्तविक मान हो सकता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=x के लिए परिभाषा का डोमेन संख्या R के सभी वास्तविक मानों का सेट है; फ़ंक्शन y=1/x के लिए परिभाषा का डोमेन x=0 को छोड़कर सेट R है। कोलोमिना एन.एन.

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उस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें जिसका ग्राफ़ चित्र में दिखाया गया है। 1 2 3 4 सोचो [-5;7) वें! [-5;7]इसके बारे में सोचो! (-3;5] जांचें (1) कोलोमिना एन.एन. वाई सोचें वें! सही! [-3;5] 5 -5 0 7 x -3 फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र वह मान है जो स्वतंत्र चर x लेता है.

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फ़ंक्शन मानों का सेट. किसी फ़ंक्शन के मानों का सेट फ़ंक्शन y के सभी वास्तविक मानों का सेट है जो वह ले सकता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के मानों का सेट y= x+1 सेट 2 R है, y= X +1 फ़ंक्शन के मानों का सेट 1 से अधिक या उसके बराबर वास्तविक संख्याओं का सेट है। कोलोमिना एन.एन.

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फ़ंक्शन के मानों का सेट ढूंढें जिसका ग्राफ़ चित्र में दिखाया गया है। 1 2 इसके बारे में सोचो! [-6;6] य 6 इसके बारे में सोचो! [-4;6] यह सही है! -4 3 (-6;6)4 इसके बारे में सोचो! (-4;6) 0 6 x -6 चेक (1) कोलोमिना एन.एन. फ़ंक्शन मानों का सेट वह मान है जो आश्रित चर y लेता है।

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समता के लिए फलन का अध्ययन. एक फ़ंक्शन y  f (x) तब भी कॉल किया जाता है, जब इस फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में x के सभी मानों के लिए, जब तर्क का चिह्न विपरीत में बदलता है, तो फ़ंक्शन का मान नहीं बदलता है, अर्थात। . f ( x) परवलय  f (x) y= X2 एक सम है उदाहरण के लिए, एक फलन, क्योंकि (-X2)=X2. एक सम फलन का ग्राफ कोलोमिन एन.एन. अक्ष के प्रति सममित होता है। ओयू.

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निम्नलिखित आंकड़ों में से एक एक सम फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। y y इस शेड्यूल को निर्दिष्ट करें. इसके बारे में सोचो! इसके बारे में सोचो! 1 0 x y 0 y x 2 सही! इसके बारे में सोचो! 3 चेक (1) कोलोमिना एन.एन. 4 0 x 0 ग्राफ ओय x अक्ष के बारे में सममित है

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एक फ़ंक्शन y  f (x) को विषम कहा जाता है यदि, इस फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में x के सभी मानों के लिए, जब तर्क का चिह्न विपरीत में बदलता है, तो फ़ंक्शन केवल चिह्न में बदलता है, अर्थात। एफ ( एक्स)  एफ (एक्स) . उदाहरण के लिए, फलन y = X3 विषम है, क्योंकि (-एक्स)3 = -एक्स3. एक विषम फलन का ग्राफ मूल बिन्दु के प्रति सममित होता है। प्रत्येक फ़ंक्शन में सम या विषम का गुण नहीं होता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f (x)  X2+ X3 न तो सम है और न ही विषम: f ( x)  (-X)2+ (-X)3 = X2 – X3; कोलोमिना एन.एन. X2 + X3 = / X2 – X3 ;

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निम्नलिखित आंकड़ों में से एक एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। कृपया इस कार्यक्रम को इंगित करें. हाँ ठीक है! इसके बारे में सोचो! ओ 1 एक्स वाई ओ सोचो! О चेक (1) कोलोमिना एन.एन. 3 आप सोचो! 2 x x O x 4 ग्राफ बिंदु O के प्रति सममित है।

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बढ़ने और घटने के अंतराल का निर्धारण 1 /\ /\ /\ /\ कई फ़ंक्शनों में से, ऐसे फ़ंक्शन होते हैं जिनके मान केवल बढ़ते तर्क के साथ बढ़ते हैं या केवल घटते हैं। ऐसे कार्यों को बढ़ाना या घटाना कहा जाता है। एक फ़ंक्शन को अंतराल a x b में बढ़ना कहा जाता है यदि इस अंतराल से संबंधित किसी भी X1 और X2 के लिए, X1 X2 के लिए असमानता 2 /\ /\ /\ फ़ंक्शन y  f (x) को अंतराल a x b में घटता हुआ कहा जाता है यदि इस अंतराल से संबंधित किसी भी X1 और X2 के लिए, X1 X2 के लिए असमानता f (x1) > f (x2) होती है।

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यह आंकड़ा अंतराल (-5;6) पर निर्दिष्ट फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। उन अंतरालों को इंगित करें जहां फ़ंक्शन बढ़ता है। 1 2 3रा सोचो! [-6;7] इसके बारे में सोचो! [-5;-3] आप सोचिए! [-3;7] यह सही है! y 7 3 -5 -3 0 -2 4 [-3;2] -6 चेक (1) कोलोमिना एन.एन. 2 6 एक्स

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यह चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ़ दिखाता है। फ़ंक्शन में शून्य की संख्या निर्दिष्ट करें. तुम सोचो! 1 1 2 2 3 4 4 0 इसके बारे में सोचो! सही! x इसके बारे में सोचो! चेक (1) कोलोमिना एन.एन. 0 फ़ंक्शन का शून्य x मान है जिस पर y = 0. चित्र में, ये ऑक्स अक्ष के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

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कौन से कार्य बढ़ रहे हैं और कौन से घट रहे हैं? 1) y 5 x बढ़ रहा है, क्योंकि 5  1 2) y 0.5 3) y 10 x x घट रहा है, क्योंकि 0  0.5  1 बढ़ रहा है, क्योंकि 10  1 aya, क्योंकि   1 4) y  x बढ़ रहा है x  2 5) y    3 6) y 49 कोलोमिना एन.एन. x 2 घट रहा है, क्योंकि 0   1 3 1 1 घट रहा है, क्योंकि 49  और 0  1 49 49 1

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एकरसता के लिए किसी फ़ंक्शन का अध्ययन। बढ़ते और घटते दोनों कार्यों को मोनोटोनिक अंतराल कहा जाता है, और जिन अंतरालों में फ़ंक्शन बढ़ता या घटता है उन्हें मोनोटोनिक अंतराल कहा जाता है। /\ उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = X2 x 0 पर एकरस रूप से बढ़ता है। फ़ंक्शन y = X3 संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर एकरस रूप से बढ़ता है, और फ़ंक्शन y = -X3 संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर एकसमान रूप से घटता है। कोलोमिना एन.एन.

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x y फ़ंक्शन की एकरसता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें y=x2 -2 -1 0 4 1 0 1 1 2 4 y 6 5 4 3 2 1 -6 4 -5 5 -4 6 -3 -2 - -1 1 2 3 4 5 6 कोलोमिना एन.एन. 0 1 2 3 फ़ंक्शन y=x2 x x0 पर एकरस रूप से बढ़ता है

प्रस्तुति बुनियादी प्राथमिक कार्यों को प्रस्तुत करती है

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"प्राथमिक कार्य और उनके ग्राफ़" विषय पर प्रस्तुति

पर एक्स, एक्स यू

ग्राफिक छवियों के कार्यों और निर्माण के प्रकार:

1. कार्यों के प्रकार

• शक्ति
• सूचक
• लघुगणक
• त्रिकोणमितीय

2. ग्राफिक छवियों का निर्माण

3. परीक्षण

कार्यों के प्रकार

n - कोई भी संख्या

• रेखीय
• द्विघात
• घन
• अतिशयोक्ति
• Y=X 1/2 और Y=-X 1/2
• Y=X 1/3 और Y=-X 1/3

ऊर्जा समीकरण

Y=kX+b , जहां k और b कोई संख्याएं हैं

Y=ax 2 +bx+c, जहां a, b और c कोई संख्याएं हैं, a ≠0

एक द्विघात फलन का ग्राफ - परवलय

फ़ंक्शन के गुण Y=X 2 और Y= - X 2

• OOF: (- ∞:∞)
• ओपीएफ: [ 0;∞)
• अंतराल के साथ कार्य बढ़ता जाता है
• फ़ंक्शन शून्य: Y=0 x=0 पर
• Y अधिकतम =0 x=0 पर

1. OOF: (- ∞:∞)

2. ओपीएफ: (-∞;0 ]

3. अंतराल पर फलन बढ़ता है (- ∞;0 ]; अंतराल पर फलन घटता है

कार्यों के गुण Y = f (x) Y x 0 in 1 in 4 2. फ़ंक्शन मानों का सेट उन सभी संख्याओं का सेट है जो MZF ले सकता है: y є [ 4 में ; पहले में ]

फ़ंक्शन के गुण Y = f (x) Y x 0 a 2 a 4 a 6 a 8 3. किसी फ़ंक्शन के मूल (या शून्य) x के वे मान हैं जिन पर फ़ंक्शन शून्य के बराबर है (y = 0) ) एफ (एक्स) = 0 पर एक्स = ए 2; एक 4; एक 6; एक 8

कार्यों के गुण y = f (x) Y x 0 a 1 a 2 a 4 a 6 a 8 a 9 4। किसी फ़ंक्शन के स्थिर चिह्न के क्षेत्र x के वे मान हैं जिनके लिए फ़ंक्शन शून्य से अधिक या कम है (यानी y > 0 या y 0 for X є (a 1 ; a 2); (a 4 ; a 6) ; (ए 8 ; ए 9)

कार्यों के गुण y= f (x) Y x 0 a 2 a 4 a 6 a 8 4. किसी फ़ंक्शन के स्थिर चिह्न के क्षेत्र x के वे मान हैं जिन पर फ़ंक्शन शून्य से अधिक या कम है (यानी y > 0 या y

कार्यों के गुण y= f (x) Y x 0 a 3 a 5 a 7 a 9 5. किसी फ़ंक्शन की एकरसता बढ़ते और घटते फ़ंक्शन के क्षेत्र हैं। फ़ंक्शन X є [ a 3 ; ए 5 ] ; [ए 7; a 9 ] a 1 फ़ंक्शन X є [ a 1 ; ए 3 ] ; [ए 5; एक 7 ]

फ़ंक्शन के गुण y = f (x) Y x 0 a 3 a 5 a 7 in 2 in 3 in 4 फ़ंक्शन का चरम F अधिकतम (x) F मिनट (x) F मिनट (x) F अधिकतम (x) = in 2 चरम बिंदु पर x = a 5 F मिनट (x) = in 3 चरम बिंदु पर x = a 3 F मिनट (x) = in 4 चरम बिंदु पर x = a 7

फ़ंक्शन के गुण y = f (x) y x 0 a 7 a 9 in 1 in 4 7. किसी फ़ंक्शन के उच्चतम और निम्नतम मान (ये फ़ंक्शन ग्राफ़ पर उच्चतम और निम्नतम बिंदु हैं) उच्चतम मान F (x) ) = in 1 बिंदु x पर = a 9 सबसे छोटा मान F (x) = b 4 बिंदु x = a 7 पर

y x F(x) = x 2 y x F(x) = cos x x 0 0 संतुष्ट है (- x) एक सम फलन का ग्राफ Y अक्ष f(x) X -X f(x) के बारे में सममित है

फ़ंक्शन के गुण सम और विषम फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन को विषम कहा जाता है यदि इसकी परिभाषा के क्षेत्र से किसी भी X के लिए नियम f(x) = - f(x) संतुष्ट होता है। एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ़ मूल yx के संबंध में सममित है 0 y=x 3 x f(x) - f(x) - x y x 0 y = 1 x 1 -1 1 -1

2 2 4 6 8 10 x -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 y -2 -4 y= f (x) T = 4 फ़ंक्शन की आवधिकता यदि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का पैटर्न दोहराया जाता है, तो ऐसे फ़ंक्शन को आवधिक कहा जाता है, और एक्स अक्ष के साथ लंबाई खंड को फ़ंक्शन की अवधि कहा जाता है (टी) एक आवधिक फ़ंक्शन नियम एफ (एक्स) = एफ (एक्स + टी) का पालन करता है कार्यों के गुण

2 2 4 6 x -2 -4 -6 0 4 6 y -2 -4 -6 y= f (x) Т = 6 कार्यों के गुण फ़ंक्शन y=f(x) आवर्त है और अवधि Т = 6 है

1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 y -1 -2 -3 -4 फ़ंक्शन के गुणों को इंगित करें 1) OOF 2) MZF 3) फ़ंक्शन के शून्य 4) सकारात्मक फलन नकारात्मक फलन 5 ) फलन बढ़ता है फलन घटता है 6) फलन का चरम सीमा एफ अधिकतम (x) एफ न्यूनतम (x) 7) फलन का सबसे बड़ा मान फलन का सबसे छोटा मान y = f (x)

1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 y -1 -2 -3 -4 फ़ंक्शन y = f (x) के गुणों को इंगित करें

2 2 4 6 8 10 x -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 8 y -2 -4 -6 -8 फ़ंक्शन y = f (x) के गुणों को इंगित करें

2 2 x -2 0 y -2 फ़ंक्शन y = f (x) के गुणों को इंगित करें

3 3 x -1 0 y -1 -4 -5 दिए गए फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं: a) परिभाषा का डोमेन अंतराल है [-4;3] b) फ़ंक्शन के मान अंतराल बनाते हैं [ - 5;3] सी) फ़ंक्शन अंतराल पर घटता है [-4; 1 ] और [2 ;3] अंतराल पर बढ़ता है [- 1 ; 2 ] डी) फ़ंक्शन के शून्य: -2 और 2

फ़ंक्शन ग्राफ़िक्स का परिवर्तन किसी प्राथमिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ को जानना, उदाहरण के लिए f(x) = x 2, आप एक "जटिल" फ़ंक्शन का ग्राफ़ बना सकते हैं, उदाहरण के लिए f(x) = 3(x +2) 2 - 16 ग्राफ़ परिवर्तन नियमों का उपयोग करना

ग्राफ़ को परिवर्तित करने के नियम 1 नियम: एक्स अक्ष के अनुदिश विस्थापन यदि आप तर्क y x 0 y x 4 -4 F (x) = x 2 F(x) = (x+4) 2 F(x) = (x-4) 2

यदि आप फ़ंक्शन Y में कोई संख्या जोड़ते या घटाते हैं, तो ग्राफ़ Y अक्ष के साथ ऊपर या नीचे स्थानांतरित हो जाएगा f(x) f(x) = 4 - 4 0 y x F(x) = x 2 F(x) = x 2 + 4 F(x) = x 2 - 4

यदि तर्क एक्स अक्ष के अनुदिश ग्राफ का y x F (x) = पाप x F(x) = पाप 2x

यदि आप फ़ंक्शन Y में कोई संख्या जोड़ते या घटाते हैं, तो ग्राफ़ Y अक्ष f(x) f(x) ± के अनुदिश ऊपर या नीचे जाएगा, y x F(x) = पाप x F(x) = पाप x में परिवर्तित हो जाएगा। ग्राफ़ को परिवर्तित करने के 2 नियम नियम 3: C ग्राफ़ को X अक्ष के अनुदिश संपीड़ित करना (खींचना)

यदि फ़ंक्शन को संख्या K से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो ग्राफ़ को Y अक्ष f(x) k · f(x) के अनुदिश K बार खींचा या संपीड़ित किया जाएगा, ग्राफ़ को परिवर्तित करने के नियमों में चौथा नियम: संपीड़न (खींचना) Y अक्ष के अनुदिश ग्राफ y x F( x) = cos x F(x) = cos x 1 2

यदि फ़ंक्शन को संख्या K से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो ग्राफ़ को Y अक्ष f(x) k · f(x) के अनुदिश K बार खींचा या संपीड़ित किया जाएगा, ग्राफ़ को परिवर्तित करने के नियमों में चौथा नियम: संपीड़न (खींचना) Y अक्ष के अनुदिश ग्राफ y x F( x) = cos x F(x) = 2cos x

यदि आप फ़ंक्शन से पहले चिह्न को विपरीत में बदलते हैं, तो ग्राफ़ को X अक्ष f(x) - f(x) के सापेक्ष सममित रूप से फ़्लिप किया जाएगा, ग्राफ़ को परिवर्तित करने के नियमों में परिवर्तित किया जाएगा 5 नियम: X के सापेक्ष ग्राफ़ को फ़्लिप करना अक्ष y x F(x) = x 2 F(x) = - x 2

प्रस्तुति "पावर फ़ंक्शंस, उनके गुण और ग्राफ़" इस विषय पर एक स्कूल पाठ आयोजित करने के लिए एक दृश्य सहायता है। एक तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ किसी शक्ति की विशेषताओं और गुणों का अध्ययन करने के बाद, एक शक्ति फ़ंक्शन के गुणों और समन्वय तल पर उसके व्यवहार का संपूर्ण विश्लेषण करना संभव है। इस प्रस्तुति के दौरान, एक पावर फ़ंक्शन की अवधारणा, इसके विभिन्न प्रकार, एक नकारात्मक, सकारात्मक, सम, विषम घातांक वाले फ़ंक्शन के समन्वय विमान पर ग्राफ़ के व्यवहार पर विचार किया जाता है, ग्राफ़ के गुणों का विश्लेषण किया जाता है , और अध्ययन की गई सैद्धांतिक सामग्री का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के उदाहरण वर्णित हैं।

इस प्रस्तुति का उपयोग करके, शिक्षक को पाठ की प्रभावशीलता बढ़ाने का अवसर मिलता है। स्लाइड रंग हाइलाइटिंग और एनीमेशन की मदद से ग्राफ़ के निर्माण को स्पष्ट रूप से दिखाती है, फ़ंक्शन के व्यवहार की विशेषताओं को हाइलाइट किया जाता है, जिससे सामग्री की गहरी समझ बनती है। सामग्री की उज्ज्वल, समझने योग्य और सुसंगत प्रस्तुति इसे बेहतर ढंग से याद रखना सुनिश्चित करती है।

प्रदर्शन पिछले पाठों में सीखे गए तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री की संपत्ति से शुरू होता है। यह देखा गया है कि यह गैर-नकारात्मक a और एक q के असमान के लिए मूल a p/q = q √a p में बदल जाता है। यह याद दिलाया जाता है कि उदाहरण 1.3 3/7 = 7 √1.3 3 का उपयोग करके यह कैसे किया जाता है। निम्नलिखित घात फलन y=x k की परिभाषा है, जिसमें k एक परिमेय भिन्नात्मक घातांक है। याद रखने के लिए परिभाषा को बॉक्स में रखा गया है।

स्लाइड 3 निर्देशांक तल पर फ़ंक्शन y=x 1 के व्यवहार को प्रदर्शित करता है। यह फॉर्म y=x का एक फ़ंक्शन है, और ग्राफ़ निर्देशांक की उत्पत्ति से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है और समन्वय प्रणाली की पहली और तीसरी तिमाही में स्थित है। यह चित्र फ़ंक्शन के ग्राफ़ की एक छवि दिखाता है, जिसे लाल रंग में हाइलाइट किया गया है।

इसके बाद, हम 2-पावर फ़ंक्शन की डिग्री पर विचार करते हैं। स्लाइड 4 फ़ंक्शन y=x 2 के ग्राफ़ की एक छवि दिखाती है। स्कूली बच्चे पहले से ही इस फ़ंक्शन और इसके ग्राफ - एक परवलय से परिचित हैं। स्लाइड 5 एक घन परवलय को देखती है - फ़ंक्शन y=x 3 का एक ग्राफ़। इसके व्यवहार का भी अध्ययन पहले ही किया जा चुका है, ताकि छात्र ग्राफ़ के गुणों को याद कर सकें। फ़ंक्शन y=x 6 के ग्राफ़ पर भी विचार किया जाता है। यह एक परवलय का भी प्रतिनिधित्व करता है - इसकी छवि फ़ंक्शन के विवरण से जुड़ी होती है। स्लाइड 7 फ़ंक्शन y=x 7 का ग्राफ़ दिखाती है। यह भी एक घन परवलय है।

फिर ऋणात्मक घातांक वाले फलनों के गुणों का वर्णन किया गया है। स्लाइड 8 एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक y=x -n =1/x n के साथ पावर फ़ंक्शन के प्रकार का वर्णन करता है। ऐसे फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक उदाहरण ग्राफ़ y=1/x 2 है। इसमें बिंदु x=0 पर एक असंततता है, इसमें समन्वय प्रणाली के पहले और दूसरे क्वार्टर में स्थित दो भाग होते हैं, जिनमें से प्रत्येक, जैसे ही यह अनंत की ओर जाता है, एब्सिस्सा अक्ष के खिलाफ दबाया जाता है। यह ध्यान दिया गया है कि फ़ंक्शन का यह व्यवहार सम n के लिए विशिष्ट है।

स्लाइड 10 पर, फ़ंक्शन y = 1/x 3 का एक ग्राफ़ बनाया गया है, जिसके कुछ भाग पहली और तीसरी तिमाही में हैं। ग्राफ भी बिंदु x=0 पर टूटता है और इसमें अनंतस्पर्शी y=0 और x=0 हैं। यह नोट किया गया है कि ग्राफ़ का यह व्यवहार उस फ़ंक्शन के लिए विशिष्ट है जिसमें डिग्री एक विषम संख्या है।

स्लाइड 11 फ़ंक्शन y=x0 के ग्राफ़ के व्यवहार का वर्णन करता है। यह सीधी रेखा y=1 है। इसे एक आयताकार निर्देशांक तल पर भी प्रदर्शित किया जाता है।

इसके बाद, फ़ंक्शन y=x n की शाखा के स्थान के बीच के अंतर का बढ़ते घातांक n के साथ विश्लेषण किया जाता है। दृश्य प्रदर्शन के लिए, कार्यात्मक निर्भरताएँ ग्राफ़ के समान रंग में चिह्नित की जाती हैं। परिणामस्वरूप, यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन इंडेक्स में वृद्धि के साथ, ग्राफ़ शाखा को ऑर्डिनेट अक्ष के अधिक करीब दबाया जाता है, और ग्राफ़ तेज हो जाता है। इस मामले में, फ़ंक्शन y=x 2.3 का ग्राफ़ y=x 2 और y=x 3 के बीच एक मध्य स्थान रखता है।

स्लाइड 13 पर, पावर फ़ंक्शन के सुविचारित व्यवहार को एक पैटर्न में सामान्यीकृत किया गया है। यह नोट किया गया है कि 0 पर<х<1 при увеличении показателя степени, уменьшается значение выражения х 5 < х 4 < х 3 , следовательно и √х 5 < √х 4 < √х 3 . Для х, большего 1, верно обратное утверждение - при увеличении показателя степени значение степенной функции увеличивается, то есть х 5 >x 4 > x 3, इसलिए, √x 5 > √x 4 > √x 3.

पावर फ़ंक्शन y=x k के समन्वय तल पर व्यवहार का विस्तृत विचार इस प्रकार है, जिसमें घातांक अनुचित अंश m/n है, जहां m>n है। चित्र में, इस फ़ंक्शन का वर्णन समन्वय प्रणाली की पहली तिमाही में एक निर्मित ग्राफ़ के साथ है, जो परवलय y=x 7/2 की एक शाखा का प्रतिनिधित्व करता है। m/n>1 के लिए फ़ंक्शन के गुणों को ग्राफ़ y=x 7/2 के उदाहरण का उपयोग करके स्लाइड 15 पर वर्णित किया गया है। यह ध्यान दिया जाता है कि इसकी परिभाषा का एक क्षेत्र है - किरण)