प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता में अंतर कैसे करें। समीकरणों की एक प्रणाली तैयार करना

दो मात्राएँ कहलाती हैं सीधे आनुपातिक, यदि जब उनमें से एक कई गुना बढ़ जाता है, तो दूसरा भी उसी मात्रा से बढ़ जाता है। तदनुसार, जब उनमें से एक कई बार घटता है, तो दूसरा उसी मात्रा से घटता है।

ऐसी मात्राओं के बीच का संबंध प्रत्यक्ष आनुपातिक संबंध है। प्रत्यक्ष आनुपातिक निर्भरता के उदाहरण:

1) स्थिर गति से, तय की गई दूरी समय के समानुपाती होती है;

2) एक वर्ग की परिधि और उसकी भुजा सीधे आनुपातिक मात्राएँ हैं;

3) एक कीमत पर खरीदे गए उत्पाद की लागत उसकी मात्रा से सीधे आनुपातिक होती है।

सीधे आनुपातिक संबंध को व्युत्क्रम संबंध से अलग करने के लिए, आप कहावत का उपयोग कर सकते हैं: "जंगल में जितना आगे, उतनी अधिक जलाऊ लकड़ी।"

अनुपात का उपयोग करके सीधे आनुपातिक मात्राओं से जुड़ी समस्याओं को हल करना सुविधाजनक है।

1) 10 हिस्से बनाने के लिए आपको 3.5 किलो धातु की आवश्यकता होगी। इनमें से 12 भागों को बनाने में कितनी धातु लगेगी?

(हम इस प्रकार तर्क करते हैं:

1. भरे हुए कॉलम में सबसे बड़ी संख्या से सबसे छोटी संख्या की दिशा में एक तीर लगाएं।

2. जितने अधिक हिस्से, उन्हें बनाने के लिए उतनी ही अधिक धातु की आवश्यकता होगी। इसका मतलब यह है कि यह सीधा आनुपातिक संबंध है।

माना कि 12 भागों को बनाने के लिए x किग्रा धातु की आवश्यकता है। हम अनुपात बनाते हैं (तीर की शुरुआत से उसके अंत तक की दिशा में):

12:10=x:3.5

खोजने के लिए, आपको चरम पदों के गुणनफल को ज्ञात मध्य पद से विभाजित करना होगा:

इसका मतलब है कि 4.2 किलोग्राम धातु की आवश्यकता होगी।

उत्तर: 4.2 किग्रा.

2) 15 मीटर कपड़े के लिए उन्होंने 1680 रूबल का भुगतान किया। ऐसे 12 मीटर कपड़े की कीमत कितनी है?

(1. भरे हुए कॉलम में सबसे बड़ी संख्या से सबसे छोटी संख्या की दिशा में एक तीर लगाएं।

2. आप जितना कम कपड़ा खरीदेंगे, आपको उसके लिए उतना ही कम भुगतान करना होगा। इसका मतलब यह है कि यह सीधा आनुपातिक संबंध है।

3. इसलिए, दूसरा तीर पहले की तरह ही दिशा में है)।

माना x रूबल की कीमत 12 मीटर कपड़ा है। हम एक अनुपात बनाते हैं (तीर की शुरुआत से उसके अंत तक):

15:12=1680:x

अनुपात का अज्ञात चरम पद ज्ञात करने के लिए, मध्य पदों के गुणनफल को अनुपात के ज्ञात चरम पद से विभाजित करें:

इसका मतलब है कि 12 मीटर की लागत 1344 रूबल है।

उत्तर: 1344 रूबल।

अंकगणित में सीधे आनुपातिक मात्राओं के साथ-साथ व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं पर भी विचार किया गया।

चलिए उदाहरण देते हैं.

1) एक स्थिर क्षेत्रफल वाले आयत के आधार की लंबाई और ऊंचाई।

मान लीजिए आपको क्षेत्रफल वाला एक आयताकार भूखंड आवंटित करने की आवश्यकता है

उदाहरण के लिए, हम "मनमाने ढंग से अनुभाग की लंबाई निर्धारित कर सकते हैं। लेकिन फिर क्षेत्र की चौड़ाई इस बात पर निर्भर करेगी कि हमने कौन सी लंबाई चुनी है। विभिन्न (संभावित) लंबाई और चौड़ाई तालिका में दिखाई गई हैं।

सामान्य तौर पर, यदि हम अनुभाग की लंबाई को x और चौड़ाई को y से निरूपित करते हैं, तो उनके बीच का संबंध सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

Y को x के माध्यम से व्यक्त करने पर हमें प्राप्त होता है:

x को मनमाना मान देते हुए, हम संगत y मान प्राप्त करेंगे।

2) एक निश्चित दूरी पर एकसमान गति का समय और गति।

माना कि दो शहरों के बीच की दूरी 200 किमी है। गति जितनी अधिक होगी, दी गई दूरी तय करने में उतना ही कम समय लगेगा। इसे निम्न तालिका से देखा जा सकता है:

सामान्य तौर पर, यदि हम गति को x से और गति के समय को y से निरूपित करते हैं, तो उनके बीच का संबंध सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाएगा:

परिभाषा। समानता द्वारा व्यक्त दो मात्राओं के बीच का संबंध, जहां k एक निश्चित संख्या है (शून्य के बराबर नहीं), व्युत्क्रमानुपाती संबंध कहलाता है।

यहाँ संख्या को आनुपातिकता गुणांक भी कहा जाता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता के मामले में, समानता में सामान्य स्थिति में मात्राएँ x और y सकारात्मक और नकारात्मक मान ले सकती हैं।

लेकिन व्युत्क्रम आनुपातिकता के सभी मामलों में, कोई भी मात्रा शून्य के बराबर नहीं हो सकती। वास्तव में, यदि x या y में से कम से कम एक मात्रा शून्य के बराबर है, तो समानता में बाईं तरफकुएं के बराबर होगा

और सही - कुछ संख्या के लिए जो शून्य के बराबर नहीं है (परिभाषा के अनुसार), यानी, परिणाम एक गलत समानता होगी।

2. व्युत्क्रम आनुपातिकता का ग्राफ.

आइए एक निर्भरता ग्राफ बनाएं

Y को x के माध्यम से व्यक्त करने पर हमें प्राप्त होता है:

हम x को मनमाना (मान्य) मान देंगे और संबंधित y मानों की गणना करेंगे। हमें तालिका मिलती है:

आइए संगत बिंदुओं का निर्माण करें (चित्र 28)।

यदि हम x का मान छोटे अंतराल पर लें, तो बिंदु एक-दूसरे के निकट स्थित होंगे।

x के सभी संभावित मानों के लिए, संबंधित बिंदु ग्राफ़ की दो शाखाओं पर स्थित होंगे, जो निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में सममित होंगे और समन्वय विमान की पहली और तीसरी तिमाही में गुजरेंगे (चित्र 29)।

तो, हम देखते हैं कि व्युत्क्रम आनुपातिकता का ग्राफ एक घुमावदार रेखा है। इस रेखा में दो शाखाएँ होती हैं।

एक शाखा सकारात्मक होने पर निकलेगी, दूसरी - कब नकारात्मक मानएक्स।

व्युत्क्रमानुपाती संबंध के ग्राफ को हाइपरबोला कहा जाता है।

अधिक सटीक ग्राफ़ प्राप्त करने के लिए, आपको यथासंभव अधिक से अधिक बिंदु बनाने होंगे।

उदाहरण के लिए, पैटर्न का उपयोग करके एक हाइपरबोले को काफी उच्च सटीकता के साथ खींचा जा सकता है।

ड्राइंग 30 में, एक नकारात्मक गुणांक के साथ व्युत्क्रमानुपाती संबंध का एक ग्राफ खींचा गया है। उदाहरण के लिए, इस तरह एक तालिका बनाकर:

हमें एक हाइपरबोला प्राप्त होता है, जिसकी शाखाएँ II और IV क्वार्टर में स्थित होती हैं।

उदाहरण

1.6/2 = 0.8; 4/5 = 0.8; 5.6/7 = 0.8, आदि।

आनुपातिकता कारक

आनुपातिक मात्राओं का स्थिर संबंध कहलाता है आनुपातिकता कारक. आनुपातिकता गुणांक दर्शाता है कि एक मात्रा की कितनी इकाइयाँ दूसरे की प्रति इकाई हैं।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- कार्यात्मक निर्भरता, जिसमें एक निश्चित मात्रा दूसरी मात्रा पर इस प्रकार निर्भर करती है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में, ये चर बदलते रहते हैं आनुपातिक, समान शेयरों में, अर्थात, यदि तर्क किसी भी दिशा में दो बार बदलता है, तो फ़ंक्शन भी उसी दिशा में दो बार बदलता है।

गणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

एफ(एक्स) = एएक्स,ए = सीहेएनएसटी

व्युत्क्रम आनुपातिकता

व्युत्क्रम आनुपातिकता- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है, जिसमें स्वतंत्र मूल्य (तर्क) में वृद्धि से आश्रित मूल्य (फ़ंक्शन) में आनुपातिक कमी होती है।

गणितीय रूप से, व्युत्क्रम आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

फ़ंक्शन गुण:

सूत्रों का कहना है

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

उदाहरण

1.6/2 = 0.8; 4/5 = 0.8; 5.6/7 = 0.8, आदि।

आनुपातिकता कारक

आनुपातिक मात्राओं का स्थिर संबंध कहलाता है आनुपातिकता कारक. आनुपातिकता गुणांक दर्शाता है कि एक मात्रा की कितनी इकाइयाँ दूसरे की प्रति इकाई हैं।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- कार्यात्मक निर्भरता, जिसमें एक निश्चित मात्रा दूसरी मात्रा पर इस प्रकार निर्भर करती है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में, ये चर बदलते रहते हैं आनुपातिक, समान शेयरों में, अर्थात, यदि तर्क किसी भी दिशा में दो बार बदलता है, तो फ़ंक्शन भी उसी दिशा में दो बार बदलता है।

गणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

एफ(एक्स) = एएक्स,ए = सीहेएनएसटी

व्युत्क्रम आनुपातिकता

व्युत्क्रम आनुपातिकता- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है, जिसमें स्वतंत्र मूल्य (तर्क) में वृद्धि से आश्रित मूल्य (फ़ंक्शन) में आनुपातिक कमी होती है।

गणितीय रूप से, व्युत्क्रम आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

फ़ंक्शन गुण:

सूत्रों का कहना है

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.