बिन्दुओं का प्रयोग करते हुए समतल का समीकरण लिखिए। समतल समीकरण

इस सामग्री में, हम देखेंगे कि एक समतल का समीकरण कैसे ज्ञात किया जाए यदि हम तीन अलग-अलग बिंदुओं के निर्देशांक जानते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं। ऐसा करने के लिए, हमें यह याद रखना होगा कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली क्या है। आरंभ करने के लिए, हम इस समीकरण के मूल सिद्धांत का परिचय देंगे और दिखाएंगे कि विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए इसका उपयोग कैसे किया जाए।

Yandex.RTB R-A-339285-1

सबसे पहले, हमें एक सूक्ति को याद रखना होगा, जो इस प्रकार है:

परिभाषा 1

यदि तीन बिंदु एक-दूसरे से मेल नहीं खाते हैं और एक ही रेखा पर नहीं हैं, तो त्रि-आयामी अंतरिक्ष में केवल एक विमान उनसे होकर गुजरता है।

दूसरे शब्दों में, यदि हमारे पास तीन अलग-अलग बिंदु हैं जिनके निर्देशांक मेल नहीं खाते हैं और जिन्हें एक सीधी रेखा से नहीं जोड़ा जा सकता है, तो हम इससे गुजरने वाले विमान को निर्धारित कर सकते हैं।

मान लीजिए कि हमारे पास एक आयताकार समन्वय प्रणाली है। आइए इसे O x y z निरूपित करें। इसमें निर्देशांक M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) के साथ तीन बिंदु M हैं, जिन्हें जोड़ा नहीं जा सकता सरल रेखा। इन स्थितियों के आधार पर, हम उस समतल का समीकरण लिख सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है। इस समस्या को हल करने के दो दृष्टिकोण हैं।

1. पहला दृष्टिकोण सामान्य समतल समीकरण का उपयोग करता है। अक्षर रूप में इसे A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 के रूप में लिखा जाता है। इसकी मदद से, आप एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक निश्चित अल्फा विमान को परिभाषित कर सकते हैं जो पहले दिए गए बिंदु एम 1 (x 1, y 1, z 1) से होकर गुजरता है। यह पता चला है कि विमान α के सामान्य वेक्टर में निर्देशांक ए, बी, सी होंगे।

एन की परिभाषा

सामान्य वेक्टर के निर्देशांक और उस बिंदु के निर्देशांक को जानकर, जहां से विमान गुजरता है, हम इस विमान के सामान्य समीकरण को लिख सकते हैं।

भविष्य में हम इसी से आगे बढ़ेंगे।'

इस प्रकार, समस्या की स्थितियों के अनुसार, हमारे पास वांछित बिंदु (तीन भी) के निर्देशांक हैं जिनसे होकर विमान गुजरता है। समीकरण खोजने के लिए, आपको इसके सामान्य वेक्टर के निर्देशांक की गणना करने की आवश्यकता है। आइए इसे निरूपित करें n → .

आइए नियम को याद रखें: किसी दिए गए विमान का कोई भी गैर-शून्य वेक्टर उसी विमान के सामान्य वेक्टर के लंबवत होता है। तब हमारे पास यह है कि n → मूल बिंदुओं M 1 M 2 → और M 1 M 3 → से बने सदिशों के लंबवत होगा। तब हम n → को M 1 M 2 → · M 1 M 3 → रूप के सदिश गुणनफल के रूप में निरूपित कर सकते हैं।

चूँकि M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) और M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (इन समानताओं के प्रमाण बिंदुओं के निर्देशांक से एक वेक्टर के निर्देशांक की गणना के लिए समर्पित लेख में दिए गए हैं), तो यह पता चलता है कि:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

यदि हम सारणिक की गणना करते हैं, तो हमें सामान्य वेक्टर n → के निर्देशांक प्राप्त होंगे जिनकी हमें आवश्यकता है। अब हम दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के लिए आवश्यक समीकरण लिख सकते हैं।

2. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) से गुजरने वाले समीकरण को खोजने का दूसरा तरीका सदिशों की समतलीयता जैसी अवधारणा पर आधारित है।

यदि हमारे पास बिंदुओं M (x, y, z) का एक सेट है, तो एक आयताकार समन्वय प्रणाली में वे दिए गए बिंदुओं M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2) के लिए एक विमान को परिभाषित करते हैं। , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) केवल उस स्थिति में जब सदिश M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) और M 1 M 3  → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) समतलीय होगा .

चित्र में यह इस तरह दिखेगा:

इसका अर्थ यह होगा कि सदिश M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → का मिश्रित गुणनफल शून्य के बराबर होगा: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , चूँकि यह समतलीयता की मुख्य स्थिति है: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) और M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1)।

आइए परिणामी समीकरण को निर्देशांक रूप में लिखें:

सारणिक की गणना करने के बाद, हम उन तीन बिंदुओं के लिए आवश्यक समतल समीकरण प्राप्त कर सकते हैं जो एक ही रेखा M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) पर नहीं हैं। , एम 3 (एक्स 3 , वाई 3 , जेड 3) .

परिणामी समीकरण से, आप खंडों में विमान के समीकरण पर या विमान के सामान्य समीकरण पर जा सकते हैं, यदि समस्या की स्थितियों की आवश्यकता हो।

अगले पैराग्राफ में हम उदाहरण देंगे कि हमने जो दृष्टिकोण बताए हैं उन्हें व्यवहार में कैसे लागू किया जाता है।

3 बिंदुओं से गुजरने वाले विमान का समीकरण बनाने के लिए समस्याओं के उदाहरण

पहले, हमने दो दृष्टिकोणों की पहचान की थी जिनका उपयोग वांछित समीकरण खोजने के लिए किया जा सकता है। आइए देखें कि समस्याओं को हल करने के लिए उनका उपयोग कैसे किया जाता है और आपको उनमें से प्रत्येक को कब चुनना चाहिए।

उदाहरण 1

ऐसे तीन बिंदु हैं जो निर्देशांक M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1) के साथ एक ही रेखा पर नहीं हैं। उनसे गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान

हम दोनों तरीकों का बारी-बारी से उपयोग करते हैं।

1. हमें जिन दो सदिशों की आवश्यकता है उनके निर्देशांक ज्ञात कीजिए M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

एम 1 एम 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ एम 1 एम 2 → = (2 , 0 , 5) एम 1 एम 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ एम 1 एम 3 → = 6 , 1 , 0

आइए अब उनके वेक्टर उत्पाद की गणना करें। हम निर्धारक की गणना का वर्णन नहीं करेंगे:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

हमारे पास विमान का एक सामान्य वेक्टर है जो तीन आवश्यक बिंदुओं से होकर गुजरता है: n → = (- 5, 30, 2) । इसके बाद, हमें एक बिंदु लेने की जरूरत है, उदाहरण के लिए, एम 1 (- 3, 2, - 1), और वेक्टर एन → = (- 5, 30, 2) के साथ विमान के लिए समीकरण लिखें। हम पाते हैं कि: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

यह वह समीकरण है जिसकी हमें तीन बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के लिए आवश्यकता होती है।

2. आइए एक अलग दृष्टिकोण अपनाएं। आइए हम तीन बिंदुओं M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) वाले एक समतल के लिए समीकरण लिखें। निम्नलिखित प्रपत्र:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

यहां आप समस्या कथन से डेटा को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। चूँकि x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, अंत में हमें मिलता है:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

हमें वह समीकरण मिल गया जिसकी हमें आवश्यकता थी।

उत्तर:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

लेकिन क्या होगा यदि दिए गए बिंदु अभी भी एक ही रेखा पर स्थित हों और हमें उनके लिए एक समतल समीकरण बनाने की आवश्यकता हो? यहां यह तुरंत कहा जाना चाहिए कि यह स्थिति पूरी तरह से सही नहीं होगी। ऐसे बिंदुओं से अनंत संख्या में विमान गुजर सकते हैं, इसलिए किसी एक उत्तर की गणना करना असंभव है। आइए प्रश्न के ऐसे सूत्रीकरण की ग़लती को साबित करने के लिए ऐसी समस्या पर विचार करें।

उदाहरण 2

हमारे पास त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली है, जिसमें निर्देशांक M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1) के साथ तीन बिंदु रखे गए हैं। , 1) . इससे गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण लिखना आवश्यक है।

समाधान

आइए पहली विधि का उपयोग करें और दो वैक्टर एम 1 एम 2 → और एम 1 एम 3 → के निर्देशांक की गणना करके शुरू करें। आइए उनके निर्देशांक की गणना करें: एम 1 एम 2 → = (- 4, 6, 2), एम 1 एम 3 → = - 6, 9, 3।

क्रॉस उत्पाद इसके बराबर होगा:

एम 1 एम 2 → × एम 1 एम 3 → = आई → जे → के → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 आई ⇀ + 0 जे → + 0 के → = 0 →

चूँकि M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, तो हमारे सदिश संरेख होंगे (यदि आप इस अवधारणा की परिभाषा भूल गए हैं तो उनके बारे में लेख दोबारा पढ़ें)। इस प्रकार, प्रारंभिक बिंदु M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) एक ही रेखा पर हैं, और हमारी समस्या में अनंत रूप से कई हैं विकल्प उत्तर.

यदि हम दूसरी विधि का उपयोग करें, तो हमें प्राप्त होगा:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) जेड - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 वर्ष + 8 जेड + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

परिणामी समानता से यह भी पता चलता है कि दिए गए बिंदु M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) एक ही रेखा पर हैं।

यदि आप इस समस्या का इसके अनंत विकल्पों में से कम से कम एक उत्तर खोजना चाहते हैं, तो आपको इन चरणों का पालन करना होगा:

1. सीधी रेखा एम 1 एम 2, एम 1 एम 3 या एम 2 एम 3 का समीकरण लिखें (यदि आवश्यक हो, तो इस क्रिया के बारे में सामग्री देखें)।

2. एक बिंदु M 4 (x 4, y 4, z 4) लें, जो सीधी रेखा M 1 M 2 पर नहीं है।

3. उस समतल का समीकरण लिखिए जो तीन अलग-अलग बिंदुओं एम 1, एम 2 और एम 4 से होकर गुजरता है जो एक ही रेखा पर नहीं हैं।

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इस पाठ में हम देखेंगे कि सृजन के लिए निर्धारक का उपयोग कैसे करें समतल समीकरण. यदि आप नहीं जानते कि सारणिक क्या है, तो पाठ के पहले भाग - "आव्यूह और सारणिक" पर जाएँ। अन्यथा, आप आज की सामग्री में कुछ भी न समझ पाने का जोखिम उठाते हैं।

तीन बिंदुओं का उपयोग करके एक समतल का समीकरण

हमें समतल समीकरण की आवश्यकता ही क्यों है? यह सरल है: इसे जानकर, हम समस्या C2 में कोणों, दूरियों और अन्य चीज़ों की आसानी से गणना कर सकते हैं। सामान्य तौर पर, आप इस समीकरण के बिना नहीं कर सकते। इसलिए, हम समस्या तैयार करते हैं:

काम। अंतरिक्ष में तीन बिंदु दिए गए हैं जो एक ही रेखा पर नहीं हैं। उनके निर्देशांक:

एम = (एक्स 1, वाई 1, जेड 1);
एन = (एक्स 2, वाई 2, जेड 2);
के = (एक्स 3, वाई 3, जेड 3);

आपको इन तीन बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण बनाने की आवश्यकता है। इसके अलावा, समीकरण इस तरह दिखना चाहिए:

Ax + By + Cz + D = 0

जहां संख्या ए, बी, सी और डी गुणांक हैं, जिन्हें वास्तव में खोजने की आवश्यकता है।

खैर, यदि केवल बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हों तो समतल का समीकरण कैसे प्राप्त किया जाए? सबसे आसान तरीका निर्देशांकों को समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 में प्रतिस्थापित करना है। आपको तीन समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है जिन्हें आसानी से हल किया जा सकता है।

कई छात्रों को यह समाधान बेहद थकाऊ और अविश्वसनीय लगता है। पिछले साल गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा से पता चला कि कम्प्यूटेशनल त्रुटि होने की संभावना वास्तव में बहुत अधिक है।

इसलिए, सबसे उन्नत शिक्षकों ने सरल और अधिक सुरुचिपूर्ण समाधान तलाशना शुरू कर दिया। और उन्होंने इसे पा लिया! सच है, प्राप्त रिसेप्शन बल्कि संदर्भित करता है उच्च गणित. व्यक्तिगत रूप से, मुझे यह सुनिश्चित करने के लिए पाठ्यपुस्तकों की संपूर्ण संघीय सूची को खंगालना पड़ा कि हमें बिना किसी औचित्य या सबूत के इस तकनीक का उपयोग करने का अधिकार है।

एक निर्धारक के माध्यम से एक विमान का समीकरण

गीत के बोल बहुत हो गए, चलो काम पर आते हैं। आरंभ करने के लिए, एक प्रमेय कि मैट्रिक्स के निर्धारक और विमान के समीकरण कैसे संबंधित हैं।

प्रमेय. मान लीजिए कि तीन बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं जिनके माध्यम से विमान खींचा जाना चाहिए: एम = (x 1, y 1, z 1); एन = (एक्स 2, वाई 2, जेड 2); के = (एक्स 3, वाई 3, जेड 3)। तब इस तल का समीकरण सारणिक के माध्यम से लिखा जा सकता है:

उदाहरण के तौर पर, आइए समतलों के एक जोड़े को खोजने का प्रयास करें जो वास्तव में समस्या C2 में घटित होते हैं। देखो कितनी जल्दी हर चीज़ की गणना की जाती है:

ए 1 = (0, 0, 1);
बी = (1, 0, 0);
सी 1 = (1, 1, 1);

हम एक सारणिक बनाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं:

हम निर्धारक का विस्तार करते हैं:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
बी = (−1) 1 एक्स + 0 1 (जेड − 1) + 1 0 वाई = −एक्स;
d = a - b = z - 1 - y - (−x ) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या d की गणना करते समय, मैंने समीकरण को थोड़ा "कंघी" किया ताकि चर x, y और z अंदर चले जाएं सही क्रम. बस इतना ही! समतल समीकरण तैयार है!

काम। बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण लिखें:

ए = (0, 0, 0);
बी 1 = (1, 0, 1);
डी 1 = (0, 1, 1);

हम तुरंत बिंदुओं के निर्देशांक को निर्धारक में प्रतिस्थापित करते हैं:

हम निर्धारक का फिर से विस्तार करते हैं:

ए = 1 1 जेड + 0 1 एक्स + 1 0 वाई = जेड;
बी = 1 1 एक्स + 0 0 जेड + 1 1 वाई = एक्स + वाई;
डी = ए - बी = जेड - (एक्स + वाई) = जेड - एक्स - वाई;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

तो, समतल का समीकरण फिर से प्राप्त होता है! फिर से, पर अंतिम चरणअधिक "सुंदर" फ़ॉर्मूला प्राप्त करने के लिए मुझे इसमें चिह्नों को बदलना पड़ा। इस समाधान में ऐसा करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, लेकिन फिर भी इसकी अनुशंसा की जाती है - समस्या के आगे के समाधान को सरल बनाने के लिए।

जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी समतल का समीकरण बनाना अब बहुत आसान हो गया है। हम मैट्रिक्स में बिंदुओं को प्रतिस्थापित करते हैं, निर्धारक की गणना करते हैं - और बस, समीकरण तैयार है।

इससे पाठ समाप्त हो सकता है. हालाँकि, कई छात्र लगातार भूल जाते हैं कि निर्धारक के अंदर क्या है। उदाहरण के लिए, किस पंक्ति में x 2 या x 3 है, और किस पंक्ति में केवल x है। वास्तव में इसे रास्ते से हटाने के लिए, आइए देखें कि प्रत्येक संख्या कहाँ से आती है।

सारणिक वाला सूत्र कहाँ से आता है?

तो, आइए जानें कि एक निर्धारक के साथ इतना कठोर समीकरण कहां से आता है। इससे आपको इसे याद रखने और इसे सफलतापूर्वक लागू करने में मदद मिलेगी।

समस्या C2 में दिखाई देने वाले सभी तलों को तीन बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है। इन बिंदुओं को हमेशा ड्राइंग पर अंकित किया जाता है, या सीधे समस्या के पाठ में भी दर्शाया जाता है। किसी भी स्थिति में, एक समीकरण बनाने के लिए हमें उनके निर्देशांक लिखने होंगे:

एम = (एक्स 1, वाई 1, जेड 1);
एन = (एक्स 2, वाई 2, जेड 2);
के = (एक्स 3, वाई 3, जेड 3)।

आइए मनमाने निर्देशांक वाले हमारे विमान पर एक और बिंदु पर विचार करें:

टी = (एक्स, वाई, जेड)

पहले तीन में से कोई भी बिंदु लें (उदाहरण के लिए, बिंदु एम) और उसमें से शेष तीन बिंदुओं में से प्रत्येक के लिए वेक्टर बनाएं। हमें तीन वेक्टर मिलते हैं:

एमएन = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
एमके = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
एमटी = (एक्स - एक्स 1, वाई - वाई 1, जेड - जेड 1)।

आइए अब इन सदिशों से एक वर्ग मैट्रिक्स बनाएं और इसके सारणिक को शून्य के बराबर करें। सदिशों के निर्देशांक मैट्रिक्स की पंक्तियाँ बन जाएंगे - और हमें वही निर्धारक मिलेगा जो प्रमेय में दर्शाया गया है:

इस सूत्र का अर्थ है कि वैक्टर एमएन, एमके और एमटी पर बने समांतर चतुर्भुज का आयतन शून्य के बराबर है। इसलिए, तीनों सदिश एक ही तल में स्थित हैं। विशेष रूप से, एक मनमाना बिंदु T = (x, y, z) बिल्कुल वही है जिसकी हम तलाश कर रहे थे।

किसी सारणिक के बिंदुओं और रेखाओं को बदलना

निर्धारकों में कई बेहतरीन गुण होते हैं जो इसे और भी आसान बनाते हैं समस्या C2 का समाधान. उदाहरण के लिए, हमारे लिए यह मायने नहीं रखता कि हम किस बिंदु से सदिश खींचते हैं। इसलिए, निम्नलिखित निर्धारक उपरोक्त जैसा ही समतल समीकरण देते हैं:

आप निर्धारक की रेखाओं की अदला-बदली भी कर सकते हैं। समीकरण अपरिवर्तित रहेगा. उदाहरण के लिए, बहुत से लोग शीर्ष पर बिंदु T = (x; y; z) के निर्देशांक के साथ एक पंक्ति लिखना पसंद करते हैं। कृपया, यदि यह आपके लिए सुविधाजनक हो:

कुछ लोग इस तथ्य से भ्रमित हैं कि पंक्तियों में से एक में चर x, y और z हैं, जो बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर गायब नहीं होते हैं। लेकिन उन्हें गायब नहीं होना चाहिए! सारणिक में संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, आपको यह निर्माण प्राप्त होना चाहिए:

फिर पाठ की शुरुआत में दिए गए आरेख के अनुसार निर्धारक का विस्तार किया जाता है, और विमान का मानक समीकरण प्राप्त किया जाता है:

Ax + By + Cz + D = 0

एक उदाहरण देखिए. यह आज के पाठ का आखिरी पाठ है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि उत्तर समतल का समान समीकरण देगा, मैं जानबूझकर रेखाओं की अदला-बदली करूंगा।

काम। बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण लिखें:

बी 1 = (1, 0, 1);
सी = (1, 1, 0);
डी 1 = (0, 1, 1).

तो, हम 4 बिंदुओं पर विचार करते हैं:

बी 1 = (1, 0, 1);
सी = (1, 1, 0);
डी 1 = (0, 1, 1);
टी = (एक्स, वाई, जेड)।

सबसे पहले, आइए एक मानक निर्धारक बनाएं और इसे शून्य के बराबर करें:

हम निर्धारक का विस्तार करते हैं:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
बी = (−1) 1 (एक्स − 1) + 1 (−1) (जेड − 1) + 0 0 वाई = 1 − एक्स + 1 − जेड = 2 − एक्स − जेड;
डी = ए - बी = वाई - (2 - एक्स - जेड) = वाई - 2 + एक्स + जेड = एक्स + वाई + जेड - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

बस, हमें उत्तर मिल गया: x + y + z − 2 = 0.

आइए अब सारणिक में कुछ पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें और देखें कि क्या होता है। उदाहरण के लिए, आइए वेरिएबल x, y, z के साथ नीचे नहीं, बल्कि शीर्ष पर एक पंक्ति लिखें:

हम फिर से परिणामी निर्धारक का विस्तार करते हैं:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
बी = (जेड − 1) 1 0 + वाई (−1) (−1) + (एक्स − 1) 1 0 = वाई;
डी = ए - बी = 2 - एक्स - जेड - वाई;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

हमें बिल्कुल वही समतल समीकरण मिला: x + y + z - 2 = 0. इसका मतलब है कि यह वास्तव में पंक्तियों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है।

अतः, हम आश्वस्त हैं कि समतल का समीकरण रेखाओं के अनुक्रम पर निर्भर नहीं करता है। हम इसी तरह की गणना कर सकते हैं और साबित कर सकते हैं कि विमान का समीकरण उस बिंदु पर निर्भर नहीं करता है जिसके निर्देशांक हम अन्य बिंदुओं से घटाते हैं।

ऊपर मानी गई समस्या में, हमने बिंदु B 1 = (1, 0, 1) का उपयोग किया, लेकिन C = (1, 1, 0) या D 1 = (0, 1, 1) लेना काफी संभव था। सामान्य तौर पर, ज्ञात निर्देशांक वाला कोई भी बिंदु वांछित तल पर स्थित होता है।

यह आलेख एक विचार देता है कि किसी दी गई रेखा के लंबवत त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान के लिए समीकरण कैसे बनाया जाए। आइए विशिष्ट समस्याओं को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके दिए गए एल्गोरिदम का विश्लेषण करें।

Yandex.RTB R-A-339285-1

किसी दी गई रेखा के लंबवत अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण ज्ञात करना

मान लीजिए कि इसमें एक त्रि-आयामी स्थान और एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z दिया गया है। बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1), रेखा a और रेखा a के लंबवत बिंदु M 1 से गुजरने वाला समतल α भी दिया गया है। समतल α का समीकरण लिखना आवश्यक है।

इससे पहले कि हम इस समस्या को हल करना शुरू करें, आइए ग्रेड 10-11 के पाठ्यक्रम से ज्यामिति प्रमेय को याद करें, जो कहता है:

परिभाषा 1

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से दी गई सीधी रेखा पर लंबवत एक एकल विमान गुजरता है।

अब आइए देखें कि प्रारंभिक बिंदु से गुजरने वाले और दी गई रेखा के लंबवत इस एकल विमान का समीकरण कैसे ज्ञात किया जाए।

किसी समतल के सामान्य समीकरण को लिखना संभव है यदि इस समतल से संबंधित किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात हों, साथ ही समतल के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक भी ज्ञात हों।

समस्या की स्थितियाँ हमें उस बिंदु M 1 के निर्देशांक x 1, y 1, z 1 देती हैं जिससे होकर विमान α गुजरता है। यदि हम समतल α के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करते हैं, तो हम आवश्यक समीकरण लिखने में सक्षम होंगे।

समतल α का सामान्य सदिश, चूँकि यह गैर-शून्य है और समतल α के लंबवत रेखा a पर स्थित है, रेखा a का कोई भी दिशा सदिश होगा। इस प्रकार, समतल α के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक खोजने की समस्या सीधी रेखा a के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने की समस्या में बदल जाती है।

सीधी रेखा a के दिशा सदिश के निर्देशांक निर्धारित किये जा सकते हैं विभिन्न तरीके: प्रारंभिक स्थितियों में सीधी रेखा a निर्दिष्ट करने के विकल्प पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, यदि समस्या कथन में सीधी रेखा a फॉर्म के विहित समीकरणों द्वारा दी गई है

एक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 ए वाई = जेड - जेड 1 ए जेड

या प्रपत्र के पैरामीट्रिक समीकरण:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

तो सीधी रेखा के दिशा वेक्टर में निर्देशांक a x, a y और a z होंगे। उस स्थिति में जब सीधी रेखा a को दो बिंदुओं M 2 (x 2, y 2, z 2) और M 3 (x 3, y 3, z 3) द्वारा दर्शाया जाता है, तो दिशा वेक्टर के निर्देशांक इस प्रकार निर्धारित किए जाएंगे ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

परिभाषा 2

किसी दी गई रेखा के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण खोजने के लिए एल्गोरिदम:

हम सीधी रेखा a के दिशा वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करते हैं: ए → = (ए एक्स, ए वाई, ए जेड) ;

हम समतल α के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक को सीधी रेखा a के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक के रूप में परिभाषित करते हैं:

n → = (ए , बी , सी) , कहां ए = ए एक्स, बी = ए वाई, सी = ए जेड;

हम बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) से गुजरने वाले और एक सामान्य वेक्टर वाले विमान का समीकरण लिखते हैं एन → = (ए, बी, सी) A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 के रूप में। यह उस समतल का आवश्यक समीकरण होगा जो अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है और दी गई रेखा के लंबवत है।

विमान का परिणामी सामान्य समीकरण है: ए (एक्स - एक्स 1) + बी (वाई - वाई 1) + सी (जेड - जेड 1) = 0 खंडों में विमान के समीकरण या विमान के सामान्य समीकरण को प्राप्त करना संभव बनाता है।

आइए ऊपर प्राप्त एल्गोरिदम का उपयोग करके कई उदाहरण हल करें।

उदाहरण 1

एक बिंदु M 1 (3, - 4, 5) दिया गया है, जिससे होकर विमान गुजरता है, और यह विमान समन्वय रेखा O z के लंबवत है।

समाधान

निर्देशांक रेखा O z का दिशा सदिश निर्देशांक सदिश k ⇀ = (0, 0, 1) होगा। इसलिए, विमान के सामान्य वेक्टर में निर्देशांक (0, 0, 1) होते हैं। आइए किसी दिए गए बिंदु M 1 (3, - 4, 5) से गुजरने वाले एक विमान का समीकरण लिखें, जिसके सामान्य वेक्टर में निर्देशांक (0, 0, 1) हैं:

ए (एक्स - एक्स 1) + बी (वाई - वाई 1) + सी (जेड - जेड 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (एक्स - 3) + 0 (वाई - (- 4)) + 1 (जेड - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

उत्तर:जेड - 5 = 0 .

आइए इस समस्या को हल करने के दूसरे तरीके पर विचार करें:

उदाहरण 2

एक समतल जो रेखा O z के लंबवत है, उसे C z + D = 0, C ≠ 0 के रूप के अपूर्ण सामान्य समतल समीकरण द्वारा दिया जाएगा। आइए हम C और D के मान निर्धारित करें: वे जिन पर विमान किसी दिए गए बिंदु से गुजरता है। आइए इस बिंदु के निर्देशांक को समीकरण C z + D = 0 में प्रतिस्थापित करें, हमें मिलता है: C · 5 + D = 0। वे। संख्याएँ, C और D संबंध से संबंधित हैं - D C = 5. C = 1 लेने पर, हमें D = - 5 प्राप्त होता है।

आइए इन मानों को समीकरण C z + D = 0 में प्रतिस्थापित करें और सीधी रेखा O z के लंबवत और बिंदु M 1 (3, - 4, 5) से गुजरने वाले विमान का आवश्यक समीकरण प्राप्त करें।

यह इस तरह दिखेगा: z – 5 = 0.

उत्तर:जेड - 5 = 0 .

उदाहरण 3

मूल बिंदु से गुजरने वाले और रेखा x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 के लंबवत एक विमान के लिए एक समीकरण लिखें

समाधान

समस्या की स्थितियों के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि किसी दी गई सीधी रेखा के दिशा वेक्टर को किसी दिए गए विमान के सामान्य वेक्टर n → के रूप में लिया जा सकता है। इस प्रकार: n → = (- 3 , - 7 , 2) . आइए बिंदु O (0, 0, 0) से गुजरने वाले और एक सामान्य वेक्टर n → = (- 3, - 7, 2) वाले एक विमान का समीकरण लिखें:

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

हमने किसी दी गई रेखा के लंबवत निर्देशांक के मूल से गुजरने वाले विमान का आवश्यक समीकरण प्राप्त कर लिया है।

उत्तर:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

उदाहरण 4

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z दी गई है, इसमें दो बिंदु A (2, - 1, - 2) और B (3, - 2, 4) हैं। समतल α रेखा A B के लंबवत बिंदु A से होकर गुजरता है। खंडों में समतल α के लिए एक समीकरण बनाना आवश्यक है।

समाधान

समतल α रेखा A B के लंबवत है, तो सदिश A B → समतल α का सामान्य सदिश होगा। इस वेक्टर के निर्देशांक को बिंदु B (3, - 2, 4) और A (2, - 1, - 2) के संगत निर्देशांक के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है:

ए बी → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ ए बी → = (1 , - 1 , 6)

समतल का सामान्य समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

आइए अब खंडों में विमान के आवश्यक समीकरण की रचना करें:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

उत्तर:एक्स - 9 + वाई 9 + जेड - 3 2 = 1

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसी समस्याएं हैं जिनकी आवश्यकता किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले और दो के लंबवत विमान के समीकरण को लिखने की है दिए गए विमान. सामान्य तौर पर, इस समस्या का समाधान किसी दी गई रेखा के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण बनाना है, क्योंकि दो प्रतिच्छेदी तल एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

उदाहरण 5

एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z दी गई है, इसमें एक बिंदु M 1 (2, 0, - 5) है। दो समतलों 3 x + 2 y + 1 = 0 और x + 2 z – 1 = 0 के समीकरण भी दिए गए हैं, जो सीधी रेखा a पर प्रतिच्छेद करते हैं। सीधी रेखा a के लंबवत बिंदु M 1 से गुजरने वाले समतल के लिए एक समीकरण बनाना आवश्यक है।

समाधान

आइए सीधी रेखा a के निर्देशन सदिश के निर्देशांक निर्धारित करें। यह n → (1, 0, 2) तल के सामान्य वेक्टर n 1 → (3, 2, 0) और x + 2 z - के सामान्य वेक्टर 3 x + 2 y + 1 = 0 दोनों के लंबवत है। 1 = 0 समतल.

फिर, निर्देशन सदिश α → रेखा a के रूप में, हम सदिश n 1 → और n 2 → का सदिश गुणनफल लेते हैं:

ए → = एन 1 → × एन 2 → = आई → जे → के → 3 2 0 1 0 2 = 4 आई → - 6 जे → - 2 के → ⇒ ए → = (4 , - 6 , - 2 )

इस प्रकार, सदिश n → = (4, - 6, - 2) रेखा a के लंबवत तल का सामान्य सदिश होगा। आइए हम समतल का आवश्यक समीकरण लिखें:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

उत्तर: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

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अंतरिक्ष में किन्हीं तीन बिंदुओं से होकर एक ही समतल खींचे जाने के लिए यह आवश्यक है कि ये बिंदु एक ही सीधी रेखा पर न हों।

सामान्य कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) पर विचार करें।

एक मनमाना बिंदु M(x, y, z) को बिंदु M 1, M 2, M 3 के साथ एक ही तल में स्थित करने के लिए, यह आवश्यक है कि सदिश समतलीय हों।

(
) = 0

इस प्रकार,

तीन बिंदुओं से गुजरने वाले विमान का समीकरण:

एक समतल का समीकरण जिसमें दो बिंदु दिए गए हैं और एक सदिश समतल के संरेख में है।

मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) और वेक्टर दिया गया है
.

आइए दिए गए बिंदुओं एम 1 और एम 2 से गुजरने वाले एक विमान और वेक्टर के समानांतर एक मनमाना बिंदु एम (x, y, z) के लिए एक समीकरण बनाएं। .

वैक्टर
और वेक्टर
समतलीय होना चाहिए, अर्थात

(
) = 0

समतल समीकरण:

एक बिंदु और दो सदिशों का उपयोग करके एक समतल का समीकरण,

समतल के संरेख।

मान लीजिए दो सदिश दिए गए हैं
और
, संरेख तल। फिर समतल से संबंधित एक मनमाना बिंदु M(x, y, z) के लिए, सदिश
समतलीय होना चाहिए.

समतल समीकरण:

बिंदु और सामान्य वेक्टर द्वारा एक विमान का समीकरण .

प्रमेय. यदि अंतरिक्ष में एक बिंदु M दिया गया है 0 (एक्स 0 , य 0 , जेड 0 ), फिर बिंदु M से गुजरने वाले विमान का समीकरण 0 सामान्य वेक्टर के लंबवत (ए, बी, सी) का रूप है:

ए(एक्स – एक्स 0 ) + बी(य – य 0 ) + सी(जेड – जेड 0 ) = 0.

सबूत। समतल से संबंधित एक मनमाना बिंदु M(x, y, z) के लिए, हम एक वेक्टर बनाते हैं। क्योंकि वेक्टर सामान्य वेक्टर है, तो यह विमान के लंबवत है, और इसलिए, वेक्टर के लंबवत है
. फिर अदिश गुणनफल

= 0

इस प्रकार, हमें समतल का समीकरण प्राप्त होता है

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

खंडों में एक समतल का समीकरण.

यदि सामान्य समीकरण Ax + Bi + Cz + D = 0 में हम दोनों पक्षों को (-D) से विभाजित करते हैं

,

की जगह
, हम खंडों में विमान का समीकरण प्राप्त करते हैं:

संख्याएँ a, b, c क्रमशः x, y, z अक्षों के साथ समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

सदिश रूप में एक समतल का समीकरण.

कहाँ

- वर्तमान बिंदु M(x, y, z) की त्रिज्या वेक्टर,

मूल बिंदु से एक समतल पर गिराए गए लंबवत की दिशा वाला एक इकाई वेक्टर।

,  और  इस वेक्टर द्वारा x, y, z अक्षों के साथ बनने वाले कोण हैं।

p इस लम्ब की लंबाई है।

निर्देशांक में, यह समीकरण इस प्रकार दिखता है:

xcos + ycos + zcos - पी = 0.

एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी.

एक मनमाना बिंदु M 0 (x 0, y 0, z 0) से समतल Ax+By+Cz+D=0 की दूरी है:

उदाहरण।यह जानते हुए कि बिंदु P(4; -3; 12) इस तल पर मूल बिंदु से डाले गए लम्ब का आधार है, समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

तो ए = 4/13; बी = -3/13; सी = 12/13, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

ए(एक्स – एक्स 0 ) + बी(वाई - वाई 0 ) + सी(जेड - जेड 0 ) = 0.

उदाहरण।दो बिंदुओं P(2; 0; -1) और से गुजरने वाले विमान का समीकरण ज्ञात कीजिए

Q(1; -1; 3) समतल 3x + 2y – z + 5 = 0 के लंबवत।

समतल 3x + 2y – z + 5 = 0 का सामान्य सदिश
वांछित तल के समानांतर।

हम पाते हैं:

उदाहरण।बिंदु A(2, -1, 4) और से गुजरने वाले विमान का समीकरण ज्ञात कीजिए

B(3, 2, -1) समतल के लंबवत एक्स + पर + 2जेड – 3 = 0.

समतल के आवश्यक समीकरण का रूप है: A एक्स+बी य+सी जेड+ डी = 0, इस तल का सामान्य सदिश (ए, बी, सी)। वेक्टर
(1,3,-5) तल से संबंधित है। हमें जो विमान दिया गया है, वह वांछित विमान के लंबवत है, इसमें एक सामान्य वेक्टर है (1, 1, 2). क्योंकि बिंदु A और B दोनों तलों से संबंधित हैं, और तब तल परस्पर लंबवत हैं

तो सामान्य वेक्टर (11, -7, -2). क्योंकि बिंदु A वांछित तल से संबंधित है, तो इसके निर्देशांक को इस तल के समीकरण को संतुष्ट करना होगा, अर्थात। 112 + 71 - 24 +डी= 0;डी= -21.

कुल मिलाकर, हमें समतल का समीकरण मिलता है: 11 एक्स - 7य – 2जेड – 21 = 0.

उदाहरण।यह जानते हुए कि बिंदु P(4, -3, 12) इस तल पर मूल बिंदु से डाले गए लम्ब का आधार है, समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

सामान्य वेक्टर के निर्देशांक ढूँढना
= (4, -3, 12). समतल के आवश्यक समीकरण का रूप है: 4 एक्स – 3य + 12जेड+ डी = 0. गुणांक डी खोजने के लिए, हम बिंदु पी के निर्देशांक को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

16 + 9 + 144 + डी = 0

कुल मिलाकर, हमें आवश्यक समीकरण मिलता है: 4 एक्स – 3य + 12जेड – 169 = 0

उदाहरण।पिरामिड के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

किनारे A 1 A 2 की लंबाई ज्ञात कीजिए।

किनारों A 1 A 2 और A 1 A 4 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

किनारे A 1 A 4 और फलक A 1 A 2 A 3 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले हम फलक A 1 A 2 A 3 का सामान्य सदिश ज्ञात करते हैं वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के रूप में
और
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

आइए सामान्य वेक्टर और वेक्टर के बीच का कोण ज्ञात करें
.

-4 – 4 = -8.

सदिश और समतल के बीच वांछित कोण  = 90 0 -  के बराबर होगा।

फलक A 1 A 2 A 3 का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए।

समतल A 1 A 2 A 3 का समीकरण ज्ञात कीजिए।

आइए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के समीकरण के लिए सूत्र का उपयोग करें।

2x + 2y + 2z – 8 = 0

एक्स + वाई + जेड - 4 = 0;

कंप्यूटर संस्करण का उपयोग करते समय " उच्च गणित पाठ्यक्रम"आप एक प्रोग्राम चला सकते हैं जो पिरामिड के शीर्षों के किसी भी निर्देशांक के लिए उपरोक्त उदाहरण को हल करेगा।

प्रोग्राम शुरू करने के लिए, आइकन पर डबल-क्लिक करें:

खुलने वाली प्रोग्राम विंडो में, पिरामिड के शीर्षों के निर्देशांक दर्ज करें और Enter दबाएँ। इस प्रकार, सभी निर्णय बिंदु एक-एक करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

ध्यान दें: प्रोग्राम को चलाने के लिए, मेपलवी रिलीज़ 4 से शुरू होने वाले किसी भी संस्करण का मेपल प्रोग्राम ( वाटरलू मेपल इंक) आपके कंप्यूटर पर इंस्टॉल होना चाहिए।