आज बहुत आसान पाठ होगा. हम केवल एक वस्तु - कोण द्विभाजक - पर विचार करेंगे और इसकी सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति साबित करेंगे, जो भविष्य में हमारे लिए बहुत उपयोगी होगी।

बस आराम न करें: कभी-कभी जो छात्र एक ही एकीकृत राज्य परीक्षा या एकीकृत राज्य परीक्षा में उच्च अंक प्राप्त करना चाहते हैं, वे पहले पाठ में द्विभाजक की परिभाषा भी सटीक रूप से नहीं बना पाते हैं।

और वास्तव में दिलचस्प कार्य करने के बजाय, हम ऐसी सरल चीजों पर समय बर्बाद करते हैं। तो पढ़ें, देखें और अपनाएं :)

आरंभ करने के लिए, थोड़ा अजीब प्रश्न: कोण क्या है? यह सही है: एक कोण एक ही बिंदु से निकलने वाली दो किरणें हैं। उदाहरण के लिए:

कोणों के उदाहरण: न्यून, अधिक और समकोण

जैसा कि आप चित्र से देख सकते हैं, कोण न्यून, अधिक, सीधा हो सकता है - अब इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। अक्सर, सुविधा के लिए, प्रत्येक किरण पर एक अतिरिक्त बिंदु अंकित किया जाता है और वे कहते हैं कि हमारे सामने कोण $AOB$ है (इसे $\कोण AOB$ के रूप में लिखा जाता है)।

ऐसा प्रतीत होता है कि कैप्टन ऑब्विअसनेस संकेत दे रहा है कि $OA$ और $OB$ किरणों के अलावा, बिंदु $O$ से अधिक किरणों का एक गुच्छा खींचना हमेशा संभव होता है। लेकिन उनमें से एक विशेष होगा - उसे द्विभाजक कहा जाता है।

परिभाषा। किसी कोण का समद्विभाजक वह किरण होती है जो उस कोण के शीर्ष से निकलती है और कोण को समद्विभाजित करती है।

उपरोक्त कोणों के लिए, समद्विभाजक इस प्रकार दिखेंगे:

तीव्र, अधिक और के लिए समद्विभाजक के उदाहरण समकोण

तब से वास्तविक चित्रयह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि एक निश्चित किरण (हमारे मामले में यह $OM$ किरण है) मूल कोण को दो समान कोणों में विभाजित करती है; ज्यामिति में समान संख्या में चापों के साथ समान कोणों को चिह्नित करने की प्रथा है (हमारे चित्र में यह है)। के लिए 1 चाप है तीव्र कोण, दो कुंठित के लिए, तीन सीधे के लिए)।

ठीक है, हमने परिभाषा सुलझा ली है। अब आपको यह समझने की आवश्यकता है कि द्विभाजक के क्या गुण हैं।

कोण समद्विभाजक का मुख्य गुण

वास्तव में, द्विभाजक में बहुत सारे गुण होते हैं। और हम निश्चित रूप से अगले पाठ में उन पर गौर करेंगे। लेकिन एक युक्ति है जिसे आपको अभी समझने की आवश्यकता है:

प्रमेय. किसी कोण का समद्विभाजक किसी दिए गए कोण की भुजाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान होता है।

गणितीय से रूसी में अनुवादित, इसका मतलब एक साथ दो तथ्य हैं:

1. किसी निश्चित कोण के समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु इस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है।
2. और इसके विपरीत: यदि कोई बिंदु किसी दिए गए कोण की भुजाओं से समान दूरी पर स्थित है, तो यह इस कोण के समद्विभाजक पर स्थित होने की गारंटी है।

इन कथनों को सिद्ध करने से पहले, आइए एक बिंदु स्पष्ट करें: वास्तव में, एक बिंदु से कोण के किनारे तक की दूरी को क्या कहा जाता है? यहां एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी का अच्छा पुराना निर्धारण हमारी सहायता करेगा:

परिभाषा। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी किसी दिए गए बिंदु से इस रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई है।

उदाहरण के लिए, एक रेखा $l$ और एक बिंदु $A$ पर विचार करें जो इस रेखा पर नहीं है। आइए $AH$ पर एक लंब बनाएं, जहां $H\in l$। तब इस लम्ब की लंबाई बिंदु $A$ से सीधी रेखा $l$ तक की दूरी होगी।

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी का ग्राफिक प्रतिनिधित्व

चूँकि एक कोण केवल दो किरणें होती हैं, और प्रत्येक किरण एक सीधी रेखा का एक टुकड़ा होती है, एक बिंदु से कोण की भुजाओं तक की दूरी निर्धारित करना आसान होता है। ये सिर्फ दो लंबवत हैं:

बिंदु से कोण की भुजाओं तक की दूरी निर्धारित करें

बस इतना ही! अब हम जानते हैं कि दूरी क्या है और समद्विभाजक क्या है। अत: हम मुख्य गुण सिद्ध कर सकते हैं।

जैसा कि वादा किया गया था, हम प्रमाण को दो भागों में विभाजित करेंगे:

1. समद्विभाजक पर बिंदु से कोण की भुजाओं तक की दूरी समान होती है

शीर्ष $O$ और समद्विभाजक $OM$ के साथ एक मनमाना कोण पर विचार करें:

आइए हम सिद्ध करें कि यह बिंदु $M$ कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है।

सबूत। आइए बिंदु $M$ से कोण की भुजाओं पर लंब बनाएं। आइए उन्हें $M((H)_(1))$ और $M((H)_(2))$ कहते हैं:

कोण की भुजाओं पर लंब खींचिए

हमें दो समकोण त्रिभुज प्राप्त हुए: $\vartriकोण OM((H)_(1))$ और $\vartriकोण OM((H)_(2))$। उनके पास एक सामान्य कर्ण $OM$ और समान कोण हैं:

1. $\कोण MO((H)_(1))=\कोण MO((H)_(2))$ शर्त के अनुसार (चूंकि $OM$ एक समद्विभाजक है);
2. $\कोण M((H)_(1))O=\कोण M((H)_(2))O=90()^\circ $ निर्माण द्वारा;
3. $\कोण OM((H)_(1))=\कोण OM((H)_(2))=90()^\circ -\कोण MO((H)_(1))$, चूंकि योग एक समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण सदैव 90 डिग्री के होते हैं।

नतीजतन, त्रिभुज भुजा और दो आसन्न कोणों में बराबर होते हैं (त्रिकोणों की समानता के संकेत देखें)। इसलिए, विशेष रूप से, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, यानी। बिंदु $O$ से कोण की भुजाओं तक की दूरी वास्तव में बराबर है। क्यू.ई.डी.:)

2. यदि दूरियाँ समान हों, तो बिंदु समद्विभाजक पर स्थित होता है

अब स्थिति उलट है. मान लीजिए कि एक कोण $O$ दिया गया है और इस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर एक बिंदु $M$ है:

आइए हम सिद्ध करें कि किरण $OM$ एक समद्विभाजक है, अर्थात। $\कोण MO((H)_(1))=\कोण MO((H)_(2))$.

सबूत। सबसे पहले, आइए इसी किरण $OM$ को बनाएं, अन्यथा साबित करने के लिए कुछ भी नहीं बचेगा:

कोने के अंदर $OM$ बीम का संचालन किया

फिर से हमें दो समकोण त्रिभुज मिलते हैं: $\vartriकोण OM((H)_(1))$ और $\vartriकोण OM((H)_(2))$। जाहिर है वे बराबर हैं क्योंकि:

1. कर्ण $OM$ - सामान्य;
2. पैर $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ शर्त के अनुसार (आखिरकार, बिंदु $M$ कोण के किनारों से समान दूरी पर है);
3. बाकी पैर भी बराबर हैं, क्योंकि पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

इसलिए, त्रिभुज $\vartriangle OM((H)_(1))$ और $\vartriangle OM((H)_(2))$ तीन तरफ हैं। विशेष रूप से, उनके कोण बराबर हैं: $\कोण MO((H)_(1))=\कोण MO((H)_(2))$. और इसका सीधा सा मतलब है कि $OM$ एक समद्विभाजक है।

प्रमाण को समाप्त करने के लिए, हम परिणामी समान कोणों को लाल चाप से चिह्नित करते हैं:

समद्विभाजक कोण $\कोण ((H)_(1))O((H)_(2))$ को दो बराबर भागों में विभाजित करता है

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है। हमने सिद्ध कर दिया है कि किसी कोण का समद्विभाजक इस कोण की भुजाओं के समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ होता है :)

अब जब हमने शब्दावली पर लगभग निर्णय ले लिया है, तो आगे बढ़ने का समय आ गया है नया स्तर. अगले पाठ में हम और अधिक देखेंगे जटिल गुणसमद्विभाजक और सीखें कि वास्तविक समस्याओं को हल करने के लिए उनका उपयोग कैसे करें।

त्रिभुज के आंतरिक कोणों को त्रिभुज का समद्विभाजक कहा जाता है।
किसी त्रिभुज के कोण के समद्विभाजक को उसके शीर्ष और त्रिभुज की विपरीत भुजा वाले समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच के खंड के रूप में भी समझा जाता है।
प्रमेय 8. त्रिभुज के तीन समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
दरअसल, आइए पहले हम दो समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु P पर विचार करें, उदाहरण के लिए AK 1 और VK 2। यह बिंदु भुजाओं AB और AC से समान रूप से दूर है, क्योंकि यह कोण A के समद्विभाजक पर स्थित है, और भुजाओं AB और BC से समान रूप से दूर है, क्योंकि यह कोण B के समद्विभाजक से संबंधित है। इसका मतलब यह है कि यह भुजाओं AB और BC से समान रूप से दूर है। भुजाएँ AC और BC और इस प्रकार तीसरे समद्विभाजक CK 3 से संबंधित हैं, अर्थात, बिंदु P पर सभी तीन समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं।
त्रिभुज के आंतरिक और बाह्य कोणों के समद्विभाजक के गुण
प्रमेय 9. किसी त्रिभुज के आंतरिक कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के समानुपाती भागों में विभाजित करता है।
सबूत। आइए हम त्रिभुज ABC और इसके कोण B के समद्विभाजक पर विचार करें। आइए हम शीर्ष C से होकर समद्विभाजक BC के समानांतर एक रेखा CM खींचें, जब तक कि यह भुजा AB की निरंतरता के साथ बिंदु M पर प्रतिच्छेद न कर दे।चूँकि VC कोण ABC का समद्विभाजक है, तो ∠ ABC = ∠ KBC. इसके अलावा, ∠ АВК=∠ ВСМ, समानांतर रेखाओं के लिए संगत कोण के रूप में, और ∠ КВС=∠ ВСМ, समानांतर रेखाओं के लिए क्रॉसवाइज कोण के रूप में। इसलिए ∠ ВСМ=∠ ВМС, और इसलिए त्रिभुज ВСМ समद्विबाहु है, इसलिए ВС=ВМ। किसी कोण की भुजाओं को प्रतिच्छेद करने वाली समानांतर रेखाओं के बारे में प्रमेय के अनुसार, हमारे पास AK:K C=AB:VM=AB:BC है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।
प्रमेय 10 द्विभाजक बाहरी कोनात्रिभुज ABC में एक समान गुण है: शीर्ष A और C से भुजा AC की निरंतरता के साथ द्विभाजक के प्रतिच्छेदन के बिंदु L तक खंड AL और CL त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती होते हैं: AL: सी.एल.=एबी:बीसी.
यह गुण पिछले वाले की तरह ही सिद्ध होता है: चित्र में एक सहायक रेखा SM, समद्विभाजक BL के समानांतर खींची गई है। कोण बीएमसी और बीसी बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज बीएमसी की भुजाएं बीएम और बीसी बराबर हैं। जिससे हम निष्कर्ष पर पहुंचते हैं AL:CL=AB:BC.

प्रमेय d4. (द्विभाजक के लिए पहला सूत्र): यदि त्रिभुज ABC में खंड AL कोण A का समद्विभाजक है, तो AL? = एबी·एसी - एलबी·एलसी.

सबूत:मान लीजिए कि त्रिभुज ABC के चारों ओर परिचालित वृत्त के साथ रेखा AL का प्रतिच्छेदन बिंदु M है (चित्र 41)। स्थिति के अनुसार कोण BAM कोण MAC के बराबर है। कोण बीएमए और बीसीए सर्वांगसम होते हैं क्योंकि एक ही जीवा द्वारा अंतरित कोण अंकित होते हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज BAM और LAC दो कोणों में समान हैं। इसलिए, AL: AC = AB: AM। तो AL · AM = AB · AC<=>एएल (एएल + एलएम) = एबी एसी<=>अल? = एबी · एसी - एएल · एलएम = एबी · एसी - बीएल · एलसी। जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है। ध्यान दें: एक वृत्त में प्रतिच्छेदी जीवाओं के खंडों और अंकित कोणों के बारे में प्रमेय के लिए, विषय वृत्त और वृत्त देखें।

प्रमेय d5. (द्विभाजक के लिए दूसरा सूत्र): एक त्रिभुज ABC में जिसकी भुजाएँ AB=a, AC=b और कोण A 2 के बराबर है? और समद्विभाजक l, समानता रखती है:
एल = (2एबी / (ए+बी)) क्योंकि?

सबूत:मान लीजिए ABC दिया हुआ त्रिभुज है, AL इसका समद्विभाजक है (चित्र 42), a=AB, b=AC, l=AL। तब एस एबीसी = एस एएलबी + एस एएलसी। इसलिए, absin2? = अलसिन? +ब्लसिन?<=>2absin?·cos? = (ए + बी) एलएसआईएन?<=>एल = 2·(एबी / (ए+बी))· कॉस? प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय. किसी त्रिभुज के आंतरिक कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के समानुपाती भागों में विभाजित करता है।

सबूत। त्रिभुज ABC (चित्र 259) और इसके कोण B के समद्विभाजक पर विचार करें। शीर्ष C से होकर समद्विभाजक BC के समानांतर एक सीधी रेखा CM खींचें, जब तक कि यह भुजा AB की निरंतरता के साथ बिंदु M पर प्रतिच्छेद न कर दे। चूँकि BK कोण ABC का समद्विभाजक है, तो। इसके अलावा, समानांतर रेखाओं के लिए संगत कोणों के रूप में, और समानांतर रेखाओं के लिए क्रॉसवर्ड कोणों के रूप में। इसलिए और इसलिए - समद्विबाहु, कहां से . एक कोण की भुजाओं को प्रतिच्छेद करने वाली समानांतर रेखाओं के बारे में प्रमेय के अनुसार, हमें यह मिलता है और हमें यह मिलता है, जिसे हमें सिद्ध करने की आवश्यकता है।

त्रिभुज ABC (चित्र 260) के बाह्य कोण B के समद्विभाजक में एक समान गुण होता है: शीर्ष A और C से भुजा AC की निरंतरता के साथ समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन के बिंदु L तक के खंड AL और CL आनुपातिक होते हैं त्रिभुज की भुजाएँ:

यह गुण पिछले वाले की तरह ही सिद्ध होता है: चित्र में। 260 एक सहायक सीधी रेखा SM, समद्विभाजक BL के समानांतर खींची गई है। पाठक स्वयं कोणों वीएमएस और वीएसएम की समानता और इसलिए त्रिभुज वीएमएस की भुजाओं वीएम और बीसी की समानता के बारे में आश्वस्त होंगे, जिसके बाद आवश्यक अनुपात तुरंत प्राप्त हो जाएगा।

हम कह सकते हैं कि किसी बाह्य कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के समानुपाती भागों में विभाजित करता है; आपको बस खंड के "बाहरी विभाजन" की अनुमति देने के लिए सहमत होने की आवश्यकता है।

बिंदु L, खंड AC के बाहर स्थित (इसकी निरंतरता पर), इसे बाहरी रूप से संबंध में विभाजित करता है यदि इस प्रकार, एक त्रिभुज के कोण के समद्विभाजक (आंतरिक और बाहरी) विपरीत पक्ष (आंतरिक और बाहरी) को आनुपातिक भागों में विभाजित करते हैं आसन्न भुजाएँ.

समस्या 1. समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ 12 और 15 के बराबर हैं, आधार 24 और 16 के बराबर हैं। समलम्ब चतुर्भुज के बड़े आधार और उसकी विस्तारित भुजाओं से बने त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

समाधान। चित्र के अंकन में. 261 हमारे पास उस खंड के लिए एक अनुपात है जो पार्श्व पक्ष की निरंतरता के रूप में कार्य करता है, जिससे हम आसानी से पा सकते हैं, इसी प्रकार, हम त्रिभुज के दूसरे पक्ष को निर्धारित करते हैं: तीसरा पक्ष बड़े आधार के साथ मेल खाता है।

समस्या 2. समलम्ब चतुर्भुज के आधार 6 और 15 हैं। आधारों के समानांतर खंड की लंबाई क्या है और छोटे आधार के शीर्षों से गिनती करते हुए, पक्षों को 1:2 के अनुपात में विभाजित किया गया है?

समाधान। आइए चित्र की ओर मुड़ें। 262, एक समलम्ब चतुर्भुज का चित्रण। छोटे आधार के शीर्ष C से होकर हम भुजा AB के समानांतर एक रेखा खींचते हैं, जो समलम्ब चतुर्भुज को काटती है। तब से, यहाँ से हम पाते हैं। इसलिए, संपूर्ण अज्ञात खंड केएल बराबर है ध्यान दें कि इस समस्या को हल करने के लिए हमें ट्रेपेज़ॉइड के पार्श्व पक्षों को जानने की आवश्यकता नहीं है।

समस्या 3. त्रिभुज ABC के आंतरिक कोण B का समद्विभाजक भुजा AC को खंडों में काटता है, शीर्ष A और C से कितनी दूरी पर बाह्य कोण B का समद्विभाजक विस्तार AC को प्रतिच्छेद करेगा?

समाधान। कोण B का प्रत्येक समद्विभाजक AC को समान अनुपात में विभाजित करता है, लेकिन एक आंतरिक रूप से और दूसरा बाह्य रूप से। आइए हम निरंतरता AC के प्रतिच्छेदन बिंदु और बाहरी कोण B के समद्विभाजक को L से निरूपित करें। चूँकि AK आइए हम तब तक अज्ञात दूरी AL को निरूपित करें और हमारे पास एक अनुपात होगा जिसका समाधान हमें आवश्यक दूरी देता है

ड्राइंग स्वयं पूर्ण करें.

अभ्यास

1. आधार 8 और 18 वाले एक समलंब को आधारों के समानांतर सीधी रेखाओं द्वारा समान चौड़ाई की छह पट्टियों में विभाजित किया गया है। समलम्ब चतुर्भुज को पट्टियों में विभाजित करने वाले सीधे खंडों की लंबाई ज्ञात कीजिए।

2. त्रिभुज का परिमाप 32 है। कोण A का समद्विभाजक भुजा BC को 5 और 3 के बराबर भागों में विभाजित करता है। त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।

3. समद्विबाहु त्रिभुज का आधार a है, भुजा b है। आधार के कोनों के समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को भुजाओं से जोड़ने वाले खंड की लंबाई ज्ञात करें।

त्रिभुज - तीन भुजाओं वाला एक बहुभुज, या एक बंद टूटी पंक्तितीन कड़ियों के साथ, या तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंडों से बनी एक आकृति जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं (चित्र 1 देखें)।

त्रिभुज एबीसी के मूल तत्व

चोटियों - बिंदु ए, बी, और सी;

दलों - शीर्षों को जोड़ने वाले खंड a = BC, b = AC और c = AB;

एंगल्स - α, β, γ तीन जोड़ी भुजाओं से बनते हैं। कोणों को अक्सर शीर्षों की तरह ही ए, बी और सी अक्षरों से निर्दिष्ट किया जाता है।

किसी त्रिभुज की भुजाओं से बना और उसके आंतरिक क्षेत्र में पड़ने वाले कोण को आंतरिक कोण कहा जाता है, और उससे सटे कोण को त्रिभुज का आसन्न कोण कहा जाता है (2, पृष्ठ 534)।

त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक और मध्य रेखाएँ

त्रिभुज में मुख्य तत्वों के अलावा, दिलचस्प गुणों वाले अन्य खंडों पर भी विचार किया जाता है: ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक और मध्य रेखाएँ।

ऊंचाई

त्रिभुज की ऊँचाई- ये त्रिभुज के शीर्षों से विपरीत भुजाओं पर डाले गए लम्ब हैं।

ऊँचाई आलेखित करने के लिए, आपको निम्नलिखित चरण करने होंगे:

1) त्रिभुज की एक भुजा वाली एक सीधी रेखा खींचिए (यदि ऊँचाई एक अधिक त्रिभुज में न्यून कोण के शीर्ष से खींची गई हो);

2) खींची गई रेखा के विपरीत स्थित शीर्ष से इस रेखा तक 90 डिग्री का कोण बनाते हुए एक खंड बनाएं।

त्रिभुज की भुजा के साथ ऊँचाई का प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाता है ऊंचाई का आधार (चित्र 2 देखें)।

त्रिभुज ऊंचाई के गुण

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई इसे मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में, इसके दो शीर्षलंब समरूप त्रिभुजों को इससे काट देते हैं।

यदि त्रिभुज तीव्र है, तो ऊँचाई के सभी आधार त्रिभुज की भुजाओं से संबंधित होते हैं, और एक अधिक त्रिभुज में, दो ऊँचाइयाँ भुजाओं की निरंतरता पर पड़ती हैं।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन शीर्षलंब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु को कहा जाता है ऑर्थोसेंटर त्रिकोण.

मंझला

माध्यिकाओं(लैटिन मेडियाना से - "मध्य") - ये त्रिभुज के शीर्षों को विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से जोड़ने वाले खंड हैं (चित्र 3 देखें)।

माध्यिका बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित चरण करने होंगे:

1) भुजा के मध्य का पता लगाएं;

2) उस बिंदु को जो त्रिभुज की भुजा के मध्य में विपरीत शीर्ष के साथ है, एक खंड से जोड़ें।

त्रिभुज माध्यिकाओं के गुण

माध्यिका एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

एक त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को कहा जाता है ग्रैविटी केंद्र त्रिकोण.

सम्पूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छह समान त्रिभुजों में विभाजित किया गया है।

द्विभाजक

समद्विभाजक(लैटिन बीआईएस से - दो बार और सेको - कट) एक त्रिभुज के अंदर घिरे सीधी रेखा खंड हैं जो इसके कोणों को समद्विभाजित करते हैं (चित्र 4 देखें)।

समद्विभाजक बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित कदम उठाने होंगे:

1) कोण के शीर्ष से निकलने वाली एक किरण बनाएं और इसे दो बराबर भागों (कोण का समद्विभाजक) में विभाजित करें;

2) विपरीत भुजा वाले त्रिभुज के कोण के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें;

3) त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा में प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ने वाले एक खंड का चयन करें।

त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण

किसी त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो आसन्न भुजाओं के अनुपात के बराबर अनुपात में विभाजित करता है।

त्रिभुज के आंतरिक कोणों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस बिंदु को अंकित वृत्त का केंद्र कहा जाता है।

आंतरिक और बाह्य कोणों के समद्विभाजक लंबवत होते हैं।

यदि किसी त्रिभुज के बाह्य कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा के विस्तार को काटता है, तो ADBD=ACBC होता है।

त्रिभुज के एक आंतरिक और दो बाह्य कोणों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु इस त्रिभुज के तीन बाह्यवृत्तों में से एक का केंद्र है।

किसी त्रिभुज के दो आंतरिक और एक बाह्य कोण के समद्विभाजक के आधार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं यदि बाह्य कोण का समद्विभाजक त्रिभुज की विपरीत भुजा के समानांतर नहीं होता है।

यदि किसी त्रिभुज के बाह्य कोणों के समद्विभाजक विपरीत भुजाओं के समानांतर नहीं हैं, तो उनके आधार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

औसत स्तर

त्रिभुज का समद्विभाजक. विस्तृत सिद्धांतउदाहरण सहित (2019)

त्रिभुज का समद्विभाजक और उसके गुण

क्या आप जानते हैं कि किसी खंड का मध्यबिंदु क्या है? बेशक तुम्हारे पास है। वृत्त के केंद्र के बारे में क्या? वही। किसी कोण का मध्यबिंदु क्या होता है? आप कह सकते हैं कि ऐसा नहीं होता. लेकिन एक खंड को आधे में क्यों विभाजित किया जा सकता है, लेकिन एक कोण को नहीं? यह बिल्कुल संभव है - महज़ एक बिंदु नहीं, बल्कि... रेखा।

क्या आपको वह चुटकुला याद है: द्विभाजक एक चूहा है जो कोनों के चारों ओर दौड़ता है और कोने को आधे में विभाजित करता है। तो, समद्विभाजक की वास्तविक परिभाषा इस मजाक के समान है:

त्रिभुज का समद्विभाजक- यह त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक खंड है जो इस कोण के शीर्ष को विपरीत दिशा में एक बिंदु से जोड़ता है।

एक बार, प्राचीन खगोलविदों और गणितज्ञों ने द्विभाजक के कई दिलचस्प गुणों की खोज की थी। इस ज्ञान ने लोगों के जीवन को बहुत सरल बना दिया है। निर्माण करना, दूरियाँ गिनना, यहाँ तक कि तोपों की गोलीबारी को समायोजित करना आसान हो गया है... इन गुणों का ज्ञान हमें कुछ जीआईए और एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों को हल करने में मदद करेगा!

पहला ज्ञान जो इसमें मदद करेगा वह है एक समद्विबाहु त्रिभुज का समद्विभाजक.

वैसे, क्या आपको ये सभी शर्तें याद हैं? क्या आपको याद है कि वे एक दूसरे से किस प्रकार भिन्न हैं? नहीं? डरावना ना होना। आइए अब इसका पता लगाएं।

इसलिए, एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार- यह वह पक्ष है जो किसी अन्य के बराबर नहीं है। तस्वीर को देखिए, आपको क्या लगता है कि यह किस तरफ है? यह सही है - यह पक्ष है.

माध्यिका त्रिभुज के शीर्ष से खींची गई और विभाजित करने वाली एक रेखा है विपरीत पक्ष(यह फिर से) आधे में.

ध्यान दें कि हम यह नहीं कहते, "समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका।" आप जानते हैं क्यों? क्योंकि किसी त्रिभुज के शीर्ष से खींची गई माध्यिका किसी भी त्रिभुज की विपरीत भुजा को समद्विभाजित करती है।

खैर, ऊंचाई शीर्ष से खींची गई एक रेखा है और आधार पर लंबवत है। आपने गौर किया? हम फिर से किसी समद्विबाहु त्रिभुज के बारे में बात नहीं कर रहे हैं। किसी भी त्रिभुज की ऊंचाई हमेशा आधार से लंबवत होती है।

तो, क्या आपने इसका पता लगा लिया है? लगभग। और भी बेहतर ढंग से समझने और हमेशा याद रखने के लिए कि समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई क्या हैं, आपको उनकी एक-दूसरे से तुलना करने और यह समझने की ज़रूरत है कि वे कैसे समान हैं और वे एक-दूसरे से कैसे भिन्न हैं। साथ ही, बेहतर याद रखने के लिए हर चीज़ का वर्णन "मानव भाषा" में करना बेहतर है। तब आप गणित की भाषा में आसानी से काम कर लेंगे, लेकिन पहले तो आपको यह भाषा समझ में नहीं आती और आपको हर चीज को अपनी भाषा में समझने की जरूरत है।

तो, वे कैसे समान हैं? समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई - वे सभी त्रिभुज के शीर्ष से "बाहर आते हैं" और विपरीत दिशा में आराम करते हैं और या तो उस कोण से "कुछ करते हैं" जिससे वे बाहर आते हैं, या विपरीत दिशा से। मुझे लगता है यह आसान है, नहीं?

वे कैसे अलग हैं?

• समद्विभाजक उस कोण को आधे में विभाजित करता है जिससे वह निकलता है।
• माध्यिका विपरीत भुजा को आधे में विभाजित करती है।
• ऊँचाई हमेशा विपरीत दिशा में लंबवत होती है।

इतना ही। इसे समझना आसान है. और एक बार तुम समझ जाओ तो तुम याद रख सकते हो।

अब अगला सवाल. क्यों, एक समद्विबाहु त्रिभुज के मामले में, माध्यिका और ऊँचाई दोनों समद्विभाजक होते हैं?

आप बस आकृति को देख सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि माध्यिका दो बिल्कुल समान त्रिभुजों में विभाजित होती है। बस इतना ही! लेकिन गणितज्ञ अपनी आंखों पर विश्वास करना पसंद नहीं करते. उन्हें सब कुछ साबित करना होगा. डरावना शब्द? ऐसा कुछ नहीं - यह सरल है! देखिए: दोनों की भुजाएँ समान हैं और, आम तौर पर उनकी भुजाएँ समान होती हैं। (- समद्विभाजक!) और इस प्रकार यह पता चलता है कि दो त्रिभुजों की दो बराबर भुजाएँ और उनके बीच एक कोण होता है। हम त्रिभुजों की समानता के पहले चिह्न को याद करते हैं (यदि आपको याद नहीं है, तो विषय में देखें) और निष्कर्ष निकालते हैं, और इसलिए = और।

यह पहले से ही अच्छा है - इसका मतलब है कि यह मध्यिका निकला।

लेकिन यह है क्या?

आइए तस्वीर पर नजर डालें- . और हमें यह मिल गया. तो भी! अंत में, हुर्रे! और।

क्या आपको ये सबूत थोड़ा भारी लगा? चित्र को देखें - दो समान त्रिभुज स्वयं अपनी बात कहते हैं।

किसी भी स्थिति में, दृढ़ता से याद रखें:

अब यह और अधिक कठिन है: हम गिनेंगे किसी भी त्रिभुज में समद्विभाजकों के बीच का कोण!डरो मत, यह उतना मुश्किल नहीं है। तस्वीर पर देखो:

आइए इसे गिनें। क्या आपको वो याद है एक त्रिभुज के कोणों का योग होता है?

आइए इस अद्भुत तथ्य को लागू करें।

एक ओर, से:

वह है।

अब आइए देखें:

लेकिन समद्विभाजक, समद्विभाजक!

आइए इसके बारे में याद रखें:

अब पत्रों के माध्यम से

\कोण AOC=90()^\circ +\frac(\कोण B)(2)

क्या यह आश्चर्य की बात नहीं है? ऐसा पता चला कि दो कोणों के समद्विभाजकों के बीच का कोण केवल तीसरे कोण पर निर्भर करता है!

खैर, हमने दो समद्विभाजकों को देखा। यदि उनमें से तीन हों तो क्या होगा??!! क्या वे सभी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे?

या ऐसा ही होगा?

आप क्या सोचते है? तो गणितज्ञों ने सोचा और सोचा और सिद्ध किया:

क्या यह बढ़िया नहीं है?

क्या आप जानना चाहते हैं कि ऐसा क्यों होता है?

तो...दो समकोण त्रिभुज: और। उनके पास है:

• सामान्य कर्ण.
• (क्योंकि यह एक समद्विभाजक है!)

इसका अर्थ है - कोण और कर्ण से। इसलिए, इन त्रिभुजों के संगत पैर बराबर हैं! वह है।

हमने सिद्ध किया कि बिंदु कोण की भुजाओं से समान (या समान रूप से) दूर है। बिंदु 1 पर विचार किया गया है। अब बिंदु 2 पर चलते हैं।

2 सत्य क्यों है?

और आइए बिंदुओं को जोड़ें और।

इसका मतलब यह है कि यह द्विभाजक पर स्थित है!

बस इतना ही!

समस्याओं को हल करते समय यह सब कैसे लागू किया जा सकता है? उदाहरण के लिए, समस्याओं में अक्सर निम्नलिखित वाक्यांश होता है: "एक वृत्त एक कोण की भुजाओं को छूता है..."। खैर, आपको कुछ ढूंढना होगा।

तब आपको तुरंत इसका एहसास हो जाता है

और आप समानता का उपयोग कर सकते हैं.

3. एक त्रिभुज में तीन समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं

किसी कोण की भुजाओं से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ होने के समद्विभाजक के गुण से, निम्नलिखित कथन इस प्रकार है:

यह वास्तव में कैसे सामने आता है? लेकिन देखिए: दो समद्विभाजक निश्चित रूप से प्रतिच्छेद करेंगे, है ना?

और तीसरा द्विभाजक इस प्रकार जा सकता है:

लेकिन वास्तव में, सब कुछ बहुत बेहतर है!

आइए दो समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु को देखें। आइए इसे कॉल करें।

हमने दोनों बार यहां क्या उपयोग किया? हाँ परिच्छेद 1, बिल्कुल! यदि कोई बिंदु समद्विभाजक पर स्थित है, तो वह कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है।

और वैसा ही हुआ.

लेकिन इन दोनों समानताओं को ध्यान से देखिए! आख़िरकार, उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि और, इसलिए,।

और अब यह चलन में आएगा बिंदु 2: यदि किसी कोण की भुजाओं की दूरियाँ समान हैं, तो बिंदु समद्विभाजक पर स्थित होता है...कौन सा कोण? चित्र को फिर से देखें:

और कोण की भुजाओं की दूरियाँ हैं, और वे बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि बिंदु कोण के समद्विभाजक पर स्थित है। तीसरा समद्विभाजक उसी बिंदु से होकर गुजरा! तीनों समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं! और एक अतिरिक्त उपहार के रूप में -

त्रिज्या अंकित कियावृत्त.

(सुनिश्चित करने के लिए, किसी अन्य विषय को देखें)।

खैर, अब आप कभी नहीं भूलेंगे:

किसी त्रिभुज के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु उसमें अंकित वृत्त का केंद्र होता है।

चलिए अगली संपत्ति की ओर बढ़ते हैं... वाह, द्विभाजक के पास कई संपत्तियां हैं, है ना? और यह बहुत अच्छा है, क्योंकि जितनी अधिक संपत्तियाँ, द्विभाजक समस्याओं को हल करने के लिए उतने ही अधिक उपकरण।

4. समद्विभाजक और समांतरता, आसन्न कोणों के समद्विभाजक

तथ्य यह है कि कुछ मामलों में द्विभाजक कोण को आधे में विभाजित करता है, जिससे पूरी तरह से अप्रत्याशित परिणाम मिलते हैं। उदाहरण के लिए,

मामला एक

बढ़िया, है ना? आइये समझते हैं ऐसा क्यों है.

एक ओर, हम एक समद्विभाजक बनाते हैं!

लेकिन, दूसरी ओर, ऐसे कोण भी हैं जो आड़े-तिरछे स्थित होते हैं (विषय को याद रखें)।

और अब यह पता चला है कि; बीच से बाहर फेंको: ! - समद्विबाहु!

केस 2

एक त्रिभुज की कल्पना करें (या चित्र देखें)

आइए बिंदु से आगे का पक्ष जारी रखें। अब हमारे पास दो कोण हैं:

• - आंतरिक कोना
• - बाहरी कोना बाहर है, है ना?

तो, और अब कोई एक नहीं, बल्कि दो समद्विभाजक एक साथ खींचना चाहता था: फॉर और फॉर दोनों। क्या हो जाएगा?

क्या यह काम करेगा? आयताकार!

हैरानी की बात यह है कि बिल्कुल यही स्थिति है।

आइए इसका पता लगाएं।

आपके अनुसार राशि क्या है?

अवश्य, - आख़िरकार, वे सभी मिलकर ऐसा कोण बनाते हैं कि वह एक सीधी रेखा बन जाती है।

अब याद रखें कि और समद्विभाजक हैं और देखें कि कोण के अंदर बिल्कुल है आधासभी चार कोणों के योग से: और - यानी, बिल्कुल। आप इसे समीकरण के रूप में भी लिख सकते हैं:

तो, अविश्वसनीय लेकिन सच:

किसी त्रिभुज के आंतरिक और बाह्य कोणों के समद्विभाजक के बीच का कोण बराबर होता है।

केस 3

क्या आप देख रहे हैं कि यहाँ सब कुछ आंतरिक और बाहरी कोनों जैसा ही है?

या फिर दोबारा सोचें कि ऐसा क्यों होता है?

पुनः, जहाँ तक निकटवर्ती कोनों का प्रश्न है,

(समानांतर आधारों के अनुरूप)।

और फिर, वे बनाते हैं बिल्कुल आधायोग से

निष्कर्ष:यदि समस्या में द्विभाजक शामिल हैं नज़दीककोण या समद्विभाजक उपयुक्तसमांतर चतुर्भुज या समलंब के कोण, फिर इस समस्या में निश्चित रूप सेभाग लेता है सही त्रिकोण, और शायद एक संपूर्ण आयत भी।

5. समद्विभाजक और विपरीत भुजा

इससे पता चलता है कि किसी त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को न केवल किसी तरह से, बल्कि एक विशेष और बहुत दिलचस्प तरीके से विभाजित करता है:

वह है:

एक आश्चर्यजनक तथ्य, है ना?

अब हम इस तथ्य को साबित करेंगे, लेकिन तैयार रहें: यह पहले से थोड़ा अधिक कठिन होगा।

फिर से - "अंतरिक्ष" से बाहर निकलें - अतिरिक्त गठन!

चलिए सीधे चलते हैं.

किस लिए? अभी हम देखेंगे.

आइए समद्विभाजक को तब तक जारी रखें जब तक वह रेखा के साथ प्रतिच्छेद न कर दे।

क्या यह कोई परिचित चित्र है? हाँ, हाँ, हाँ, बिल्कुल वैसा ही जैसा कि बिंदु 4, केस 1 में है - यह पता चलता है कि (- समद्विभाजक)

आड़े-तिरछे लेटे रहना

तो वो भी.

आइए अब त्रिभुजों को देखें और।

आप उनके बारे में क्या कह सकते हैं?

वे समान हैं। हाँ, उनके कोण ऊर्ध्वाधर कोणों के समान हैं। तो, दो कोनों में.

अब हमें संबंधित पक्षों के संबंध लिखने का अधिकार है।

और अब संक्षिप्त संकेतन में:

ओह! मुझे कुछ याद दिलाता है, है ना? क्या हम यही साबित नहीं करना चाहते थे? हाँ, हाँ, बिल्कुल वही!

आपने देखा कि "स्पेसवॉक" कितना शानदार साबित हुआ - एक अतिरिक्त सीधी रेखा का निर्माण - इसके बिना कुछ भी नहीं होता! और इसलिए, हमने यह साबित कर दिया है

अब आप इसे सुरक्षित रूप से उपयोग कर सकते हैं! आइए त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजकों की एक और संपत्ति देखें - चिंतित न हों, अब सबसे कठिन हिस्सा खत्म हो गया है - यह आसान हो जाएगा।

हमें वह मिल गया

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