सबसे छोटा मान दर्ज करें. किसी अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान कैसे ज्ञात करें

कार्य करने दो य =एफ(एक्स)अंतराल पर निरंतर है [ ए, बी]. जैसा कि ज्ञात है, ऐसा फ़ंक्शन इस खंड पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुंचता है। फ़ंक्शन इन मानों को खंड के आंतरिक बिंदु पर भी ले सकता है [ ए, बी], या खंड की सीमा पर।

खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए [ ए, बी] ज़रूरी:

1) अंतराल में फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें ( ए, बी);

2) पाए गए महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें;

3) खंड के अंत में फ़ंक्शन के मानों की गणना करें, अर्थात, जब एक्स=एऔर एक्स = बी;

4) फ़ंक्शन के सभी परिकलित मानों में से, सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें।

उदाहरण।सबसे बड़ा खोजें और सबसे छोटा मूल्यकार्य

खंड पर.

महत्वपूर्ण बिंदु ढूँढना:

ये बिंदु खंड के अंदर स्थित हैं; य(1) = ‒ 3; य(2) = ‒ 4; य(0) = ‒ 8; य(3) = 1;

बिंदु पर एक्स= 3 और बिंदु पर एक्स= 0.

उत्तलता और विभक्ति बिंदु के लिए एक फ़ंक्शन का अध्ययन।

समारोह य = एफ (एक्स) बुलाया उत्तलबीच में (ए, बी) , यदि इसका ग्राफ इस अंतराल में किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा के अंतर्गत आता है, और कहा जाता है उत्तल नीचे (अवतल), यदि इसका ग्राफ स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित है।

वह बिंदु जिसके माध्यम से उत्तलता को अवतलता द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है या इसके विपरीत कहा जाता है संक्रमण का बिन्दु.

उत्तलता और विभक्ति बिंदु की जांच के लिए एल्गोरिदम:

1. दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, अर्थात वे बिंदु जिन पर दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

2. महत्वपूर्ण बिंदुओं को अंतरालों में विभाजित करते हुए संख्या रेखा पर आलेखित करें। प्रत्येक अंतराल पर दूसरे अवकलज का चिह्न ज्ञात करें; यदि, तो फलन ऊपर की ओर उत्तल है, यदि, तो फलन नीचे की ओर उत्तल है।

3. यदि, दूसरे प्रकार के क्रांतिक बिंदु से गुजरते समय, चिह्न बदल जाता है और इस बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, तो यह बिंदु विभक्ति बिंदु का भुज है। इसकी कोटि ज्ञात कीजिए।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख। स्पर्शोन्मुख के लिए एक फ़ंक्शन का अध्ययन।

परिभाषा।किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी को कहा जाता है सीधा, जिसमें यह गुण है कि ग्राफ़ पर किसी भी बिंदु से इस रेखा की दूरी शून्य हो जाती है क्योंकि ग्राफ़ पर बिंदु मूल बिंदु से अनिश्चित काल तक चलता है।

अनंतस्पर्शी तीन प्रकार के होते हैं: ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज और झुका हुआ।

परिभाषा।सीधी रेखा कहलाती है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटफ़ंक्शन ग्राफ़िक्स वाई = एफ(एक्स), यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन की कम से कम एक तरफा सीमा अनंत के बराबर है, अर्थात

फ़ंक्शन का असंततता बिंदु कहां है, अर्थात यह परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं है।

उदाहरण।

डी ( य) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

एक्स= 2 – विराम बिंदु.

परिभाषा।सीधा य =एबुलाया समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखाफ़ंक्शन ग्राफ़िक्स वाई = एफ(एक्स)पर, यदि

उदाहरण।

एक्स
य

परिभाषा।सीधा य =कएक्स +बी (क≠ 0) कहा जाता है तिरछा अनंतस्पर्शीफ़ंक्शन ग्राफ़िक्स वाई = एफ(एक्स)कहा पर

फ़ंक्शंस का अध्ययन करने और ग्राफ़ बनाने की सामान्य योजना।

फ़ंक्शन अनुसंधान एल्गोरिदमवाई = एफ(एक्स) :

1. फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें डी (य).

2. निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु (यदि संभव हो) खोजें (यदि संभव हो)। एक्स= 0 और पर य = 0).

3. फ़ंक्शन की समरूपता और विषमता की जांच करें ( य (‒ एक्स) = य (एक्स) ‒ समानता; य(‒ एक्स) = ‒ य (एक्स) ‒ विषम)।

4. फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख खोजें।

5. फलन की एकरसता के अंतराल ज्ञात कीजिए।

6. फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

7. फ़ंक्शन ग्राफ़ के उत्तलता (अवतलता) और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल का पता लगाएं।

8. किए गए शोध के आधार पर फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।

उदाहरण।फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

1) डी (य) =

एक्स= 4 – विराम बिंदु.

2) कब एक्स = 0,

(0; ‒ 5) - के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ओह.

पर य = 0,

3) य(‒ एक्स)= समारोह सामान्य रूप से देखें(न तो सम और न ही विषम)।

4) हम स्पर्शोन्मुखता की जांच करते हैं।

ए) लंबवत

बी) क्षैतिज

ग) जहां परोक्ष अनंतस्पर्शी खोजें

‒परोक्ष अनंतस्पर्शी समीकरण

5) इस समीकरण में फ़ंक्शन की एकरसता के अंतराल को ढूंढना आवश्यक नहीं है।

6)

ये महत्वपूर्ण बिंदु फ़ंक्शन की परिभाषा के पूरे डोमेन को अंतराल (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) और (10; +∞) में विभाजित करते हैं। प्राप्त परिणामों को निम्नलिखित तालिका के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है।

इस आर्टिकल में मैं बात करूंगा सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिदमकार्य, न्यूनतम और अधिकतम अंक।

सैद्धान्तिक दृष्टि से यह निश्चित ही हमारे लिये उपयोगी होगा व्युत्पन्न तालिकाऔर विभेदन नियम. यह सब इस प्लेट पर है:

सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने के लिए एल्गोरिदम।

इसमें समझाना मेरे लिए अधिक सुविधाजनक है विशिष्ट उदाहरण. विचार करना:

उदाहरण:खंड [-4;0] पर फ़ंक्शन y=x^5+20x^3–65x का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें।

स्टेप 1।हम व्युत्पन्न लेते हैं।

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

चरण दो।चरम बिंदु ढूँढना.

चरम बिंदुहम उन बिंदुओं को कहते हैं जिन पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम या न्यूनतम मान तक पहुंचता है।

चरम बिंदु खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को शून्य (y" = 0) के बराबर करना होगा

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

अब हम इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं और पाए गए मूल हमारे चरम बिंदु हैं।

मैं t = x^2 को प्रतिस्थापित करके ऐसे समीकरणों को हल करता हूं, फिर 5t^2 + 60t - 65 = 0।

आइए समीकरण को 5 से कम करें, हमें मिलता है: t^2 + 12t - 13 = 0

डी = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

टी_(1) = (-12 + वर्ग(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

हम विपरीत परिवर्तन x^2 = t करते हैं:

X_(1 और 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 और 4) = ±sqrt(-13) (हम बाहर कर देते हैं, ऐसा नहीं हो सकता नकारात्मक संख्याएँ, जब तक कि हम जटिल संख्याओं के बारे में बात नहीं कर रहे हैं)

कुल: x_(1) = 1 और x_(2) = -1 - ये हमारे चरम बिंदु हैं।

चरण 3।सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें.

प्रतिस्थापन विधि.

शर्त में, हमें खंड [बी][–4;0] दिया गया था। बिंदु x=1 इस खंड में शामिल नहीं है। इसलिए हम इस पर विचार नहीं कर रहे हैं. लेकिन बिंदु x=-1 के अलावा, हमें अपने खंड की बाईं और दाईं सीमाओं, यानी बिंदु -4 और 0 पर भी विचार करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम इन तीनों बिंदुओं को मूल फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं। ध्यान दें कि मूल वह है जो स्थिति (y=x^5+20x^3–65x) में दिया गया है, कुछ लोग इसे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करना शुरू कर देते हैं...

वाई(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [बी]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान [बी]44 है और इसे बिंदु [बी]-1 पर हासिल किया जाता है, जिसे सेगमेंट पर फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु कहा जाता है [-4; 0].

हमने फैसला किया और जवाब मिला, हम महान हैं, आप आराम कर सकते हैं। लेकिन रुको! क्या आपको नहीं लगता कि y(-4) की गणना करना किसी तरह से बहुत कठिन है? सीमित समय की स्थितियों में, किसी अन्य विधि का उपयोग करना बेहतर है, मैं इसे यह कहता हूँ:

संकेत स्थिरता के अंतराल के माध्यम से.

ये अंतराल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए पाए जाते हैं, यानी हमारे द्विघात समीकरण के लिए।

मैं इसे ऐसे ही करता हूं. मैं एक निर्देशित खंड बनाता हूं। मैं अंक रखता हूं: -4, -1, 0, 1। इस तथ्य के बावजूद कि 1 दिए गए खंड में शामिल नहीं है, संकेत की स्थिरता के अंतराल को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए इसे अभी भी नोट किया जाना चाहिए। आइए 1 से कई गुना बड़ी कोई संख्या लें, मान लीजिए 100, और मानसिक रूप से इसे हमारे द्विघात समीकरण 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 में प्रतिस्थापित करें। कुछ भी गिनने के बिना भी, यह स्पष्ट हो जाता है कि बिंदु 100 पर फ़ंक्शन में प्लस चिह्न है. इसका मतलब है कि 1 से 100 तक के अंतराल के लिए इसमें प्लस चिह्न होता है। 1 से गुजरते समय (हम दाएँ से बाएँ जाते हैं), फ़ंक्शन चिह्न को ऋण में बदल देगा। बिंदु 0 से गुजरते समय, फ़ंक्शन अपना चिह्न बनाए रखेगा, क्योंकि यह केवल खंड की सीमा है, समीकरण की जड़ नहीं। -1 से गुजरने पर, फ़ंक्शन फिर से चिह्न को प्लस में बदल देगा।

सिद्धांत से हम जानते हैं कि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहां है (और हमने इसके लिए सटीक रूप से यह निकाला है) चिह्न को धन से ऋण में बदलता है (हमारे मामले में बिंदु -1)फ़ंक्शन पहुंचता है यह स्थानीय अधिकतम है (y(-1)=44, जैसा कि पहले गणना की गई थी)इस खंड पर (यह तार्किक रूप से बहुत समझने योग्य है, फ़ंक्शन बढ़ना बंद हो गया क्योंकि यह अपने अधिकतम पर पहुंच गया और घटने लगा)।

तदनुसार, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहां है चिह्न को ऋण से धन में बदलता है, हासिल की है किसी फ़ंक्शन का स्थानीय न्यूनतम. हां, हां, हमने यह भी पाया कि स्थानीय न्यूनतम बिंदु 1 है, और y(1) खंड पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान है, मान लीजिए -1 से +∞ तक। कृपया ध्यान दें कि यह केवल एक स्थानीय न्यूनतम है, यानी एक निश्चित खंड पर न्यूनतम। चूंकि फ़ंक्शन का वास्तविक (वैश्विक) न्यूनतम वहां -∞ पर कहीं पहुंचेगा।

मेरी राय में, पहली विधि सैद्धांतिक रूप से सरल है, और दूसरी अंकगणितीय संक्रियाओं के दृष्टिकोण से सरल है, लेकिन सिद्धांत के दृष्टिकोण से बहुत अधिक जटिल है। आखिरकार, कभी-कभी ऐसे मामले होते हैं जब फ़ंक्शन समीकरण की जड़ से गुजरने पर संकेत नहीं बदलता है, और सामान्य तौर पर आप इन स्थानीय, वैश्विक मैक्सिमा और मिनिमा से भ्रमित हो सकते हैं, हालांकि आपको इसमें अच्छी तरह से महारत हासिल करनी होगी यदि आप एक तकनीकी विश्वविद्यालय में प्रवेश की योजना है (और मुझे इसे और क्यों लेना चाहिए? प्रोफ़ाइल एकीकृत राज्य परीक्षाऔर इस समस्या का समाधान करें)। लेकिन अभ्यास और केवल अभ्यास आपको ऐसी समस्याओं को हमेशा के लिए हल करना सिखाएगा। और आप हमारी वेबसाइट पर प्रशिक्षण ले सकते हैं। यहाँ ।

यदि आपके कोई प्रश्न हैं या कुछ अस्पष्ट है, तो अवश्य पूछें। मुझे आपको उत्तर देने और लेख में परिवर्तन और परिवर्धन करने में खुशी होगी। याद रखें हम इस साइट को एक साथ बना रहे हैं!

अक्सर भौतिकी और गणित में किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। अब हम आपको बताएंगे कि यह कैसे करना है।

किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे ज्ञात करें: निर्देश

1. किसी दिए गए खंड पर निरंतर फ़ंक्शन के सबसे छोटे मान की गणना करने के लिए, आपको निम्नलिखित एल्गोरिदम का पालन करना होगा:
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
3. किसी दिए गए खंड पर वे बिंदु खोजें जिन पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, साथ ही सभी महत्वपूर्ण बिंदु भी। फिर इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें, अर्थात उस समीकरण को हल करें जहां x शून्य के बराबर है। पता लगाएं कि कौन सा मान सबसे छोटा है।
4. पहचानें कि किसी फ़ंक्शन का एंडपॉइंट पर क्या मान है। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान निर्धारित करें।
5. प्राप्त आंकड़ों की तुलना न्यूनतम मूल्य से करें। परिणामी संख्याओं में से जो छोटी होगी वह फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान होगा।

ध्यान दें कि यदि किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन में सबसे छोटे बिंदु नहीं हैं, तो इसका मतलब है कि यह इस खंड पर बढ़ रहा है या घट रहा है। इसलिए, फ़ंक्शन के परिमित खंडों पर सबसे छोटे मान की गणना की जानी चाहिए।

अन्य सभी मामलों में, फ़ंक्शन मान की गणना किसी दिए गए एल्गोरिदम के अनुसार की जाती है। एल्गोरिथम के प्रत्येक बिंदु पर आपको एक सरल हल करने की आवश्यकता होगी रेखीय समीकरणएक जड़ के साथ. गलतियों से बचने के लिए चित्र का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

आधे खुले खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे प्राप्त करें? फ़ंक्शन की आधी खुली या खुली अवधि पर, सबसे छोटा मान निम्नानुसार पाया जाना चाहिए। फ़ंक्शन मान के अंतिम बिंदुओं पर, फ़ंक्शन की एक-तरफ़ा सीमा की गणना करें। दूसरे शब्दों में, एक समीकरण को हल करें जिसमें प्रवृत्ति बिंदु a+0 और b+0 मानों द्वारा दिए गए हैं, जहां a और b महत्वपूर्ण बिंदुओं के नाम हैं।

अब आप जानते हैं कि किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे ज्ञात किया जाए। मुख्य बात यह है कि सभी गणनाएँ सही, सटीक और त्रुटियों के बिना करें।

इस लेख में मैं इस बारे में बात करूंगा कि किसी फ़ंक्शन के अध्ययन में खोजने के कौशल को कैसे लागू किया जाए: इसका सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ज्ञात करना। और फिर हम टास्क बी15 से कई समस्याओं का समाधान करेंगे बैंक खोलेंके लिए कार्य.

हमेशा की तरह, आइए सबसे पहले सिद्धांत को याद करें।

किसी फ़ंक्शन के अध्ययन की शुरुआत में, हम इसे पाते हैं

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह जांचना होगा कि फ़ंक्शन किस अंतराल पर बढ़ता है और किस अंतराल पर घटता है।

ऐसा करने के लिए, हमें फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को ढूंढना होगा और इसके स्थिर चिह्न के अंतराल की जांच करनी होगी, अर्थात, वे अंतराल जिन पर व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है।

वे अंतराल जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, बढ़ते फ़ंक्शन के अंतराल होते हैं।

वे अंतराल जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है, घटते फ़ंक्शन के अंतराल होते हैं।

1 . आइए कार्य B15 (संख्या 245184) हल करें

इसे हल करने के लिए, हम निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन करेंगे:

ए) फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें

बी) आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

ग) आइए इसे शून्य के बराबर करें।

घ) आइए हम फ़ंक्शन के स्थिर चिह्न के अंतराल ज्ञात करें।

ई) वह बिंदु ढूंढें जिस पर फ़ंक्शन सबसे बड़ा मान लेता है।

च) इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें।

मैं वीडियो ट्यूटोरियल में इस कार्य का विस्तृत समाधान बताता हूं:

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फ़ायरफ़ॉक्स

2. आइए कार्य B15 (नंबर 282862) हल करें

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर

यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन खंड पर x=2 पर अधिकतम बिंदु पर सबसे बड़ा मान लेता है। आइए इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

उत्तर: 5

3. आइए कार्य B15 (संख्या 245180) हल करें:

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें

1. शीर्षक='ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. क्योंकि मूल फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के अनुसार title='4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. अंश-गणक शून्य के बराबर है। आइए जांचें कि क्या ODZ फ़ंक्शन से संबंधित है। ऐसा करने के लिए, आइए जाँचें कि क्या शर्त title='4-2x-x^2>0"> при .!}

शीर्षक='4-2(-1)-((-1))^2>0'>,

इसका मतलब है कि बिंदु ODZ फ़ंक्शन से संबंधित है

आइए बिंदु के दाएं और बाएं व्युत्पन्न के चिह्न की जांच करें:

हम देखते हैं कि फ़ंक्शन बिंदु पर अपना सबसे बड़ा मान लेता है। आइए अब फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

टिप्पणी 1. ध्यान दें कि इस समस्या में हमें फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र नहीं मिला: हमने केवल प्रतिबंध तय किए और जांच की कि क्या वह बिंदु जिस पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है। यह इस कार्य के लिए पर्याप्त साबित हुआ। हालांकि, यह मामला हमेशा नहीं होता है। यह कार्य पर निर्भर करता है.

नोट 2. व्यवहार का अध्ययन करते समय जटिल कार्यआप इस नियम का उपयोग कर सकते हैं:

• अगर बाह्य कार्यकिसी जटिल फ़ंक्शन का मान बढ़ रहा है, तो फ़ंक्शन उसी बिंदु पर अपना सबसे बड़ा मान लेता है, जिस बिंदु पर आंतरिक फ़ंक्शन अपना सबसे बड़ा मान लेता है। यह एक बढ़ते हुए फ़ंक्शन की परिभाषा का अनुसरण करता है: एक फ़ंक्शन अंतराल I पर बढ़ता है यदि इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।
• यदि किसी जटिल फ़ंक्शन का बाहरी फ़ंक्शन कम हो रहा है, तो फ़ंक्शन उसी बिंदु पर अपना सबसे बड़ा मान लेता है, जिस बिंदु पर आंतरिक फ़ंक्शन अपना सबसे छोटा मान लेता है . यह घटते फ़ंक्शन की परिभाषा से निम्नानुसार है: एक फ़ंक्शन अंतराल I पर घटता है यदि इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है

हमारे उदाहरण में, बाहरी फ़ंक्शन परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में बढ़ता है। लघुगणक के चिह्न के नीचे एक अभिव्यक्ति है - एक वर्ग त्रिपद, जो एक नकारात्मक अग्रणी गुणांक के साथ, बिंदु पर सबसे बड़ा मान लेता है . इसके बाद, हम x के इस मान को फ़ंक्शन के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसका सबसे बड़ा मूल्य ज्ञात करें।

कभी-कभी समस्या B15 में "खराब" फ़ंक्शन होते हैं जिनके लिए व्युत्पन्न खोजना मुश्किल होता है। पहले, यह केवल नमूना परीक्षणों के दौरान होता था, लेकिन अब ये कार्य इतने सामान्य हैं कि वास्तविक एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करते समय इन्हें अनदेखा नहीं किया जा सकता है।

इस मामले में, अन्य तकनीकें काम करती हैं, जिनमें से एक है एक लय.

एक फलन f (x) को खंड पर नीरस रूप से बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित हो:

एक्स 1< x 2 ⇒ f (एक्स 1) < f (एक्स 2).

एक फलन f (x) को खंड पर नीरस रूप से घटता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित हो:

एक्स 1< x 2 ⇒ f (एक्स 1) > एफ ( एक्स 2).

दूसरे शब्दों में, बढ़ते फलन के लिए, जितना बड़ा x, उतना बड़ा f(x)। घटते फलन के लिए विपरीत सत्य है: जितना बड़ा x, उतना कमएफ(एक्स).

उदाहरण के लिए, यदि आधार a > 1 है तो लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है, और यदि 0 है तो लघुगणक नीरस रूप से घटता है< a < 1. Не забывайте про область स्वीकार्य मूल्यलघुगणक: x > 0.

एफ (एक्स) = लॉग ए एक्स (ए > 0; ए ≠ 1; एक्स > 0)

अंकगणितीय वर्ग (और केवल वर्ग नहीं) मूल परिभाषा के पूरे क्षेत्र में एकरस रूप से बढ़ता है:

घातांकीय फ़ंक्शन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह > 1 के लिए बढ़ता है और 0 के लिए घटता है< a < 1. Но в отличие от логарифма, घातांक प्रकार्यसभी संख्याओं के लिए परिभाषित, न कि केवल x > 0 के लिए:

एफ (एक्स) = ए एक्स (ए > 0)

अंत में, एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री। आप इन्हें भिन्न के रूप में लिख सकते हैं. उनके पास एक विराम बिंदु है जहां एकरसता टूट जाती है।

ये सभी फ़ंक्शन कभी नहीं पाए जाते हैं शुद्ध फ़ॉर्म. वे बहुपद, भिन्न और अन्य बकवास जोड़ते हैं, जिससे व्युत्पन्न की गणना करना मुश्किल हो जाता है। आइए देखें कि इस मामले में क्या होता है।

परवलय शीर्ष निर्देशांक

अक्सर फ़ंक्शन तर्क को इसके साथ बदल दिया जाता है द्विघात त्रिपद y = ax 2 + bx + c के रूप का। इसका ग्राफ़ एक मानक परवलय है जिसमें हमारी रुचि है:

1. परवलय की शाखाएँ ऊपर (a > 0 के लिए) या नीचे (a) जा सकती हैं< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. परवलय का शीर्ष एक द्विघात फलन का चरम बिंदु होता है जिस पर यह फलन अपना न्यूनतम (a > 0 के लिए) या अधिकतम (a) लेता है< 0) значение.

सबसे बड़ी दिलचस्पी है एक परवलय का शीर्ष, जिसके भुज की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

तो, हमने द्विघात फलन का चरम बिंदु ढूंढ लिया है। लेकिन यदि मूल फलन मोनोटोनिक है, तो इसके लिए बिंदु x 0 भी एक चरम बिंदु होगा। इस प्रकार, आइए मुख्य नियम बनाएं:

एक द्विघात त्रिपद के चरम बिंदु और वह जटिल फलन जिसमें यह शामिल है, मेल खाते हैं। इसलिए, आप द्विघात त्रिपद के लिए x 0 की तलाश कर सकते हैं, और फ़ंक्शन के बारे में भूल सकते हैं।

उपरोक्त तर्क से, यह स्पष्ट नहीं है कि हमें कौन सा बिंदु मिलता है: अधिकतम या न्यूनतम। हालाँकि, कार्य विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए हैं ताकि इससे कोई फर्क न पड़े। अपने लिए जज करें:

1. समस्या कथन में कोई खंड नहीं है. इसलिए, f(a) और f(b) की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है। यह केवल चरम बिंदुओं पर विचार करने के लिए बना हुआ है;
2. लेकिन ऐसा केवल एक ही बिंदु है - यह परवलय x 0 का शीर्ष है, जिसके निर्देशांक की गणना शाब्दिक रूप से मौखिक रूप से और बिना किसी व्युत्पन्न के की जाती है।

इस प्रकार, समस्या को हल करना बहुत सरल हो गया है और केवल दो चरणों तक सीमित हो गया है:

1. परवलय y = ax 2 + bx + c का समीकरण लिखें और सूत्र का उपयोग करके इसका शीर्ष ज्ञात करें: x 0 = −b /2a ;
2. इस बिंदु पर मूल फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें: f (x 0)। अगर कोई नहीं अतिरिक्त शर्तोंनहीं, यही उत्तर होगा.

पहली नज़र में, यह एल्गोरिथम और इसका औचित्य जटिल लग सकता है। मैं जानबूझकर "नंगे" समाधान आरेख पोस्ट नहीं करता, क्योंकि ऐसे नियमों का विचारहीन अनुप्रयोग त्रुटियों से भरा होता है।

आइए वास्तविक समस्याओं पर नजर डालें परीक्षण एकीकृत राज्य परीक्षागणित में - यहीं पर यह तकनीक सबसे अधिक पाई जाती है। साथ ही, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि इस तरह से कई बी15 समस्याएं लगभग मौखिक हो जाएं।

जड़ के नीचे खड़ा है द्विघात फंक्शन y = x 2 + 6x + 13. इस फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a = 1 > 0 है।

परवलय का शीर्ष:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

चूँकि परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, बिंदु x 0 = −3 पर फ़ंक्शन y = x 2 + 6x + 13 अपना न्यूनतम मान लेता है।

मूल एकरस रूप से बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि x 0 संपूर्ण फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है। हमारे पास है:

काम। फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें:

y = लॉग 2 (x 2 + 2x + 9)

लघुगणक के अंतर्गत फिर से एक द्विघात फलन है: y = x 2 + 2x + 9. ग्राफ़ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है, क्योंकि ए = 1 > 0.

परवलय का शीर्ष:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

तो, बिंदु x 0 = −1 पर द्विघात फलन अपना न्यूनतम मान ले लेता है। लेकिन फ़ंक्शन y = log 2 x मोनोटोनिक है, इसलिए:

y मिनट = y (−1) = लॉग 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = लॉग 2 8 = 3

घातांक में द्विघात फलन y = 1 − 4x − x 2 शामिल है। आइए इसे सामान्य रूप में फिर से लिखें: y = −x 2 − 4x + 1.

जाहिर है, इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर हैं (a = −1)।< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

मूल फ़ंक्शन घातीय है, यह मोनोटोनिक है, इसलिए सबसे बड़ा मान पाए गए बिंदु x 0 = −2 पर होगा:

एक चौकस पाठक शायद नोटिस करेगा कि हमने मूल और लघुगणक के अनुमेय मूल्यों की सीमा नहीं लिखी है। लेकिन इसकी आवश्यकता नहीं थी: अंदर ऐसे फ़ंक्शन होते हैं जिनके मान हमेशा सकारात्मक होते हैं।

किसी फ़ंक्शन के डोमेन से परिणाम

कभी-कभी केवल परवलय का शीर्ष ज्ञात करना ही समस्या B15 को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं होता है। वांछित मूल्य झूठ हो सकता है खंड के अंत में, और चरम बिंदु पर बिल्कुल नहीं। यदि समस्या किसी खंड को बिल्कुल भी निर्दिष्ट नहीं करती है, तो देखें स्वीकार्य मूल्यों की सीमामूल कार्य. अर्थात्:

कृपया फिर से ध्यान दें: शून्य मूल के नीचे हो सकता है, लेकिन अंश के लघुगणक या हर में कभी नहीं। आइए देखें कि यह विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करता है:

काम। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें:

मूल के नीचे फिर से एक द्विघात फलन है: y = 3 − 2x − x 2। इसका ग्राफ एक परवलय है, लेकिन शाखाएं नीचे की ओर हैं क्योंकि a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический वर्गमूलऋणात्मक संख्या मौजूद नहीं है.

हम अनुमेय मूल्यों की सीमा (एपीवी) लिखते हैं:

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

आइए अब परवलय का शीर्ष ज्ञात करें:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

बिंदु x 0 = −1 खंड ODZ से संबंधित है - और यह अच्छा है। अब हम बिंदु x 0 के साथ-साथ ODZ के सिरों पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं:

y(−3) = y(1) = 0

तो, हमें संख्याएँ 2 और 0 मिलीं। हमें सबसे बड़ी संख्या खोजने के लिए कहा गया है - यह संख्या 2 है।

काम। फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें:

y = लॉग 0.5 (6x − x 2 − 5)

लघुगणक के अंदर एक द्विघात फलन y = 6x − x 2 − 5 है। यह नीचे की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है, लेकिन लघुगणक में ऋणात्मक संख्याएँ नहीं हो सकती हैं, इसलिए हम ODZ लिखते हैं:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

कृपया ध्यान दें: असमानता सख्त है, इसलिए अंत ODZ से संबंधित नहीं है। यह लघुगणक को मूल से भिन्न करता है, जहां खंड के सिरे हमारे लिए काफी उपयुक्त होते हैं।

हम परवलय के शीर्ष की तलाश कर रहे हैं:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

परवलय का शीर्ष ODZ के अनुसार फिट बैठता है: x 0 = 3 ∈ (1; 5)। लेकिन चूँकि हमें खंड के सिरों में कोई दिलचस्पी नहीं है, हम फ़ंक्शन के मान की गणना केवल बिंदु x 0 पर करते हैं:

वाई मिनट = वाई (3) = लॉग 0.5 (6 3 - 3 2 - 5) = लॉग 0.5 (18 - 9 - 5) = लॉग 0.5 4 = -2