उच्च गणित में समीकरण। बहुपदों की तर्कसंगत जड़ें। हॉर्नर योजना

वेबसाइट "प्रोफेशनल गणित ट्यूटर" शिक्षण के बारे में पद्धति संबंधी लेखों की श्रृंखला जारी रखती है। मैं स्कूली पाठ्यक्रम के सबसे जटिल और समस्याग्रस्त विषयों के साथ अपने काम के तरीकों का विवरण प्रकाशित करता हूं। यह सामग्री नियमित कार्यक्रम और गणित कक्षाओं के कार्यक्रम दोनों में कक्षा 8-11 के छात्रों के साथ काम करने वाले गणित के शिक्षकों और ट्यूटर्स के लिए उपयोगी होगी।

एक गणित शिक्षक हमेशा उस सामग्री की व्याख्या नहीं कर सकता जो पाठ्यपुस्तक में खराब ढंग से प्रस्तुत की गई है। दुर्भाग्य से, ऐसे विषय अधिक से अधिक होते जा रहे हैं, और मैनुअल के लेखकों के अनुसरण में प्रस्तुति संबंधी त्रुटियाँ सामूहिक रूप से की जा रही हैं। यह न केवल शुरुआती गणित ट्यूटर्स और अंशकालिक ट्यूटर्स (ट्यूटर्स छात्र और विश्वविद्यालय ट्यूटर्स हैं) पर लागू होता है, बल्कि अनुभवी शिक्षकों, पेशेवर ट्यूटर्स, अनुभव और योग्यता वाले ट्यूटर्स पर भी लागू होता है। सभी गणित शिक्षकों के पास स्कूल की पाठ्यपुस्तकों के खुरदरे पहलुओं को सक्षमता से ठीक करने की प्रतिभा नहीं होती है। हर कोई यह भी नहीं समझता कि ये सुधार (या परिवर्धन) आवश्यक हैं। इसके लिए सामग्री का अनुकूलन गुणात्मक धारणाकुछ ही लोग बच्चों की देखभाल करते हैं। दुर्भाग्य से, वह समय बीत चुका है जब गणित के शिक्षक, पद्धतिविदों और प्रकाशनों के लेखकों के साथ मिलकर पाठ्यपुस्तक के प्रत्येक अक्षर पर सामूहिक रूप से चर्चा करते थे। पहले, स्कूलों में पाठ्यपुस्तक जारी करने से पहले, सीखने के परिणामों का गंभीर विश्लेषण और अध्ययन किया जाता था। अब उन शौकीनों का समय आ गया है जो पाठ्यपुस्तकों को मजबूत गणित कक्षाओं के मानकों के अनुरूप समायोजित करके सार्वभौमिक बनाने का प्रयास करते हैं।

सूचना की मात्रा बढ़ाने की होड़ से केवल इसके आत्मसात करने की गुणवत्ता में कमी आती है और परिणामस्वरूप, गणित में वास्तविक ज्ञान के स्तर में कमी आती है। लेकिन इस पर कोई ध्यान नहीं देता. और हमारे बच्चों को, पहले से ही 8वीं कक्षा में, वह अध्ययन करने के लिए मजबूर किया जाता है जो हमने संस्थान में पढ़ा था: संभाव्यता सिद्धांत, उच्च-डिग्री समीकरणों को हल करना और कुछ और। एक बच्चे की पूर्ण धारणा के लिए पुस्तकों में सामग्री का अनुकूलन वांछित होने के लिए बहुत कुछ छोड़ देता है, और एक गणित शिक्षक को किसी तरह इससे निपटने के लिए मजबूर किया जाता है।

आइए ऐसे विशिष्ट विषय को पढ़ाने की पद्धति के बारे में बात करें जैसे "एक बहुपद को एक बहुपद को एक कोने से विभाजित करना", जिसे वयस्क गणित में "बेज़ाउट के प्रमेय और हॉर्नर की योजना" के रूप में जाना जाता है। अभी कुछ साल पहले, यह प्रश्न गणित शिक्षक के लिए इतना दबाव वाला नहीं था, क्योंकि यह मुख्य स्कूल पाठ्यक्रम का हिस्सा नहीं था। अब टेलीकोवस्की द्वारा संपादित पाठ्यपुस्तक के सम्मानित लेखकों ने, मेरी राय में, सबसे अच्छी पाठ्यपुस्तक के नवीनतम संस्करण में बदलाव किए हैं, और इसे पूरी तरह से खराब कर दिया है, केवल ट्यूटर के लिए अनावश्यक चिंताएँ बढ़ा दी हैं। जिन स्कूलों और कक्षाओं में गणित का दर्जा नहीं है, उनके शिक्षकों ने लेखकों के नवाचारों पर ध्यान केंद्रित करते हुए, अक्सर अपने पाठों में अतिरिक्त पैराग्राफ शामिल करना शुरू कर दिया, और जिज्ञासु बच्चे, अपनी गणित की पाठ्यपुस्तक के सुंदर पन्नों को देखकर, तेजी से सवाल पूछने लगे। शिक्षक: “कोने से यह विभाजन क्या है? क्या हम इससे गुज़रेंगे? एक कोना कैसे साझा करें? ऐसे सीधे सवालों से अब छिपने वाला नहीं है. ट्यूटर को बच्चे को कुछ बताना होगा।

परंतु जैसे? यदि विषय को पाठ्यपुस्तकों में सक्षमतापूर्वक प्रस्तुत किया गया होता तो शायद मैं उस विषय पर काम करने की विधि का वर्णन नहीं कर पाता। हमारे साथ सब कुछ कैसा चल रहा है? पाठ्यपुस्तकों को छापने और बेचने की जरूरत है। और इसके लिए उन्हें नियमित रूप से अपडेट करने की आवश्यकता है। क्या विश्वविद्यालय के शिक्षक शिकायत करते हैं कि बच्चे उनके पास खाली मन, ज्ञान और कौशल के बिना आते हैं? क्या गणितीय ज्ञान की आवश्यकताएं बढ़ रही हैं? महान! आइए कुछ अभ्यासों को हटा दें और उनके स्थान पर उन विषयों को शामिल करें जिनका अध्ययन अन्य कार्यक्रमों में किया जाता है। हमारी पाठ्यपुस्तक बदतर क्यों है? हम कुछ अतिरिक्त अध्याय शामिल करेंगे. स्कूली बच्चों को नहीं पता कोना बांटने का नियम? वही प्रारंभिक गणित. इस अनुच्छेद को वैकल्पिक बनाया जाना चाहिए, जिसका शीर्षक है "उन लोगों के लिए जो अधिक जानना चाहते हैं।" शिक्षक इसके ख़िलाफ़? हम आम तौर पर शिक्षकों की परवाह क्यों करते हैं? मेथडोलॉजिस्ट और स्कूल शिक्षक भी इसके खिलाफ हैं? हम सामग्री को जटिल नहीं बनाएंगे और इसके सबसे सरल भाग पर विचार करेंगे।

और यहीं से इसकी शुरुआत होती है. विषय की सरलता और उसके आत्मसात करने की गुणवत्ता, सबसे पहले, उसके तर्क को समझने में निहित है, न कि पाठ्यपुस्तक लेखकों के निर्देशों के अनुसार, संचालन का एक निश्चित सेट करने में जो स्पष्ट रूप से एक दूसरे से संबंधित नहीं हैं। . नहीं तो विद्यार्थी के दिमाग में धुंध छा जाएगी। यदि लेखक अपेक्षाकृत मजबूत छात्रों (लेकिन एक नियमित कार्यक्रम में अध्ययन कर रहे हैं) को लक्षित कर रहे हैं, तो आपको विषय को कमांड फॉर्म में प्रस्तुत नहीं करना चाहिए। हम पाठ्यपुस्तक में क्या देखते हैं? बच्चों, हमें इस नियम के अनुसार विभाजन करना चाहिए। कोण के नीचे बहुपद प्राप्त करें. इस प्रकार, मूल बहुपद का गुणनखंड किया जाएगा। हालाँकि, यह समझना स्पष्ट नहीं है कि कोने के नीचे के पदों को बिल्कुल इस तरह से क्यों चुना जाता है, क्यों उन्हें कोने के ऊपर बहुपद से गुणा किया जाना चाहिए, और फिर वर्तमान शेषफल से घटाया जाना चाहिए। और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह स्पष्ट नहीं है कि चयनित एकपदी को अंततः क्यों जोड़ा जाना चाहिए और परिणामी कोष्ठक मूल बहुपद का विस्तार क्यों होंगे। कोई भी सक्षम गणितज्ञ पाठ्यपुस्तक में दी गई व्याख्याओं पर एक साहसिक प्रश्नचिह्न लगाएगा।

मैं ट्यूटर्स और गणित शिक्षकों के ध्यान में समस्या का समाधान लाता हूं, जो व्यावहारिक रूप से पाठ्यपुस्तक में बताई गई हर बात को छात्र के लिए स्पष्ट कर देता है। वास्तव में, हम बेज़ाउट के प्रमेय को सिद्ध करेंगे: यदि संख्या a एक बहुपद का मूल है, तो इस बहुपद को गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से एक x-a है, और दूसरा मूल से तीन तरीकों में से एक में प्राप्त किया जाता है: परिवर्तनों के माध्यम से एक रैखिक कारक को अलग करके, एक कोने से विभाजित करके, या हॉर्नर की योजना द्वारा। इस फॉर्मूलेशन के साथ गणित शिक्षक के लिए काम करना आसान हो जाएगा।

शिक्षण पद्धति क्या है? सबसे पहले, यह स्पष्टीकरण और उदाहरणों के अनुक्रम में एक स्पष्ट क्रम है जिसके आधार पर गणितीय निष्कर्ष निकाले जाते हैं। यह विषय कोई अपवाद नहीं है. एक गणित शिक्षक के लिए बच्चे को बेज़ौट के प्रमेय से परिचित कराना बहुत महत्वपूर्ण है एक कोने से विभाजित करने से पहले. बहुत जरुरी है! समझ हासिल करने का सबसे अच्छा तरीका है विशिष्ट उदाहरण. आइए चयनित मूल के साथ कुछ बहुपद लें और पहचान परिवर्तन की विधि का उपयोग करके इसे कारकों में विभाजित करने की तकनीक दिखाएं, जो 7 वीं कक्षा के स्कूली बच्चों से परिचित है। गणित शिक्षक के उचित स्पष्टीकरण, जोर और युक्तियों के साथ, किसी भी सामान्य गणितीय गणना, मनमाने गुणांक और शक्तियों के बिना सामग्री को व्यक्त करना काफी संभव है।

गणित शिक्षक के लिए महत्वपूर्ण सलाह- शुरू से अंत तक निर्देशों का पालन करें और इस क्रम को न बदलें।

तो, मान लीजिए कि हमारे पास एक बहुपद है। यदि हम इसके X के स्थान पर संख्या 1 रखें तो बहुपद का मान शून्य के बराबर होगा। इसलिए x=1 इसका मूल है। आइए इसे दो पदों में विघटित करने का प्रयास करें ताकि उनमें से एक रैखिक अभिव्यक्ति और कुछ एकपदी का गुणनफल हो, और दूसरे की डिग्री इससे एक कम हो। अर्थात् इसे रूप में प्रस्तुत करते हैं

हम लाल क्षेत्र के लिए एकपदी का चयन करते हैं ताकि जब अग्रणी पद से गुणा किया जाए, तो यह मूल बहुपद के अग्रणी पद से पूरी तरह मेल खाए। यदि छात्र सबसे कमजोर नहीं है, तो वह गणित शिक्षक को आवश्यक अभिव्यक्ति बताने में काफी सक्षम होगा:। ट्यूटर को तुरंत इसे लाल फ़ील्ड में डालने और यह दिखाने के लिए कहा जाना चाहिए कि जब उन्हें खोला जाएगा तो क्या होगा। इस आभासी अस्थायी बहुपद पर तीरों के नीचे (छोटी तस्वीर के नीचे) हस्ताक्षर करना सबसे अच्छा है, इसे किसी रंग से उजागर करना, उदाहरण के लिए, नीला। इससे आपको लाल फ़ील्ड के लिए एक शब्द चुनने में मदद मिलेगी, जिसे चयन का शेष भाग कहा जाता है। मैं शिक्षकों को यहां यह बताने की सलाह दूंगा कि यह शेषफल घटाव द्वारा पाया जा सकता है। इस ऑपरेशन को करने पर हमें मिलता है:

गणित शिक्षक को छात्र का ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहिए कि इस समानता में एक को प्रतिस्थापित करने पर, हमें इसके बाईं ओर शून्य प्राप्त करने की गारंटी है (क्योंकि 1 मूल बहुपद की जड़ है), और दाईं ओर, जाहिर है, हम प्रथम पद को भी शून्य कर देगा। इसका मतलब यह है कि बिना किसी सत्यापन के हम कह सकते हैं कि "हरित शेष" की जड़ एक है।

आइए इसके साथ उसी तरह से निपटें जैसे हमने मूल बहुपद के साथ किया था, उसी रैखिक गुणनखंड को इससे अलग करते हुए। गणित शिक्षक छात्र के सामने दो फ्रेम बनाता है और उन्हें बाएं से दाएं भरने के लिए कहता है।

छात्र ट्यूटर के लिए लाल क्षेत्र के लिए एक एकपदी का चयन करता है ताकि, जब रैखिक अभिव्यक्ति के अग्रणी पद से गुणा किया जाए, तो यह विस्तारित बहुपद का अग्रणी पद दे। हम इसे फ्रेम में फिट करते हैं, तुरंत ब्रैकेट खोलते हैं और नीले रंग में उस अभिव्यक्ति को हाइलाइट करते हैं जिसे फोल्डिंग से घटाया जाना चाहिए। इस ऑपरेशन को करने पर हमें यह मिलता है

और अंत में, अंतिम शेषफल के साथ भी ऐसा ही करें

हम अंततः इसे प्राप्त कर लेंगे

अब अभिव्यक्ति को कोष्ठक से बाहर निकालें और हम मूल बहुपद के गुणनखंडों में अपघटन देखेंगे, जिनमें से एक है "x घटा चयनित मूल।"

छात्र को यह न सोचने के लिए कि अंतिम "हरा शेष" गलती से आवश्यक कारकों में विघटित हो गया था, गणित शिक्षक को सभी हरे अवशेषों की एक महत्वपूर्ण संपत्ति को इंगित करना चाहिए - उनमें से प्रत्येक की जड़ 1 है। चूंकि की डिग्री ये शेष कम हो जाते हैं, फिर प्रारंभिक की जो भी डिग्री हो, चाहे हमें कितना भी बहुपद दिया जाए, देर-सबेर हमें मूल 1 के साथ एक रैखिक "हरा शेष" मिलेगा, और इसलिए यह आवश्यक रूप से एक निश्चित के उत्पाद में विघटित हो जाएगा संख्या और एक अभिव्यक्ति.

इसके बा प्रारंभिक कार्यएक गणित शिक्षक के लिए किसी छात्र को यह समझाना मुश्किल नहीं होगा कि कोने से भाग देने पर क्या होता है। यह वही प्रक्रिया है, केवल छोटे और अधिक संक्षिप्त रूप में, बिना समान चिह्नों के और समान हाइलाइट किए गए शब्दों को दोबारा लिखे बिना। जिस बहुपद से रैखिक कारक निकाला जाता है उसे कोने के बाईं ओर लिखा जाता है, चयनित लाल एकपदी को एक कोण पर एकत्र किया जाता है (अब यह स्पष्ट हो जाता है कि उन्हें क्यों जोड़ना चाहिए), "नीला बहुपद" प्राप्त करने के लिए, "लाल" '' को x-1 से गुणा किया जाना चाहिए, और फिर वर्तमान में चयनित से घटाया जाना चाहिए कि यह संख्याओं के सामान्य विभाजन में एक कॉलम में कैसे किया जाता है (यहां पहले अध्ययन किए गए के साथ एक सादृश्य है)। परिणामी "हरे अवशेष" नए अलगाव और "लाल मोनोमियल" के चयन के अधीन हैं। और इसी तरह जब तक आपको शून्य "हरित संतुलन" न मिल जाए। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि छात्र कोण के ऊपर और नीचे लिखे बहुपदों के आगे के भाग्य को समझता है। जाहिर है, ये कोष्ठक हैं जिनका गुणनफल मूल बहुपद के बराबर है।

गणित शिक्षक के कार्य का अगला चरण बेज़ौट के प्रमेय का निर्माण है। वास्तव में, ट्यूटर के इस दृष्टिकोण के साथ इसका सूत्रीकरण स्पष्ट हो जाता है: यदि संख्या ए एक बहुपद की जड़ है, तो इसे गुणनखंडित किया जा सकता है, जिनमें से एक है, और दूसरा तीन तरीकों में से एक में मूल से प्राप्त किया जाता है :

• प्रत्यक्ष अपघटन (समूहन विधि के अनुरूप)
• एक कोने से विभाजित करना (एक कॉलम में)
• हॉर्नर सर्किट के माध्यम से

यह कहा जाना चाहिए कि सभी गणित शिक्षक छात्रों को हॉर्नर आरेख नहीं दिखाते हैं, और सभी स्कूल शिक्षक (सौभाग्य से स्वयं शिक्षकों के लिए) पाठ के दौरान विषय में इतनी गहराई से नहीं जाते हैं। हालाँकि, गणित कक्षा के एक छात्र के लिए, मुझे लंबे विभाजन पर रुकने का कोई कारण नहीं दिखता। इसके अलावा, सबसे सुविधाजनक और तेज़अपघटन तकनीक बिल्कुल हॉर्नर की योजना पर आधारित है। एक बच्चे को यह समझाने के लिए कि यह कहाँ से आता है, एक कोने से विभाजन के उदाहरण का उपयोग करके, हरे अवशेषों में उच्च गुणांक की उपस्थिति का पता लगाना पर्याप्त है। यह स्पष्ट हो जाता है कि प्रारंभिक बहुपद के अग्रणी गुणांक को पहले "लाल एकपदी" के गुणांक में ले जाया जाता है, और वर्तमान ऊपरी बहुपद के दूसरे गुणांक से आगे ले जाया जाता है कटौती"लाल मोनोमियल" के वर्तमान गुणांक को गुणा करने का परिणाम। इसलिए यह संभव है जोड़नासे गुणा करने का परिणाम. गुणांक के साथ कार्यों की विशिष्टताओं पर छात्र का ध्यान केंद्रित करने के बाद, एक गणित शिक्षक यह दिखा सकता है कि ये क्रियाएं आमतौर पर चर को रिकॉर्ड किए बिना कैसे की जाती हैं। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित तालिका में प्राथमिकता के क्रम में मूल बहुपद के मूल और गुणांक को दर्ज करना सुविधाजनक है:

यदि किसी बहुपद में कोई डिग्री गायब है, तो उसका शून्य गुणांक तालिका में डाला जाता है। "लाल बहुपद" के गुणांक "हुक" नियम के अनुसार निचली पंक्ति में बारी-बारी से लिखे जाते हैं:

मूल को अंतिम लाल गुणांक से गुणा किया जाता है, शीर्ष पंक्ति में अगले गुणांक में जोड़ा जाता है, और परिणाम नीचे की पंक्ति में लिखा जाता है। अंतिम कॉलम में हमें अंतिम "हरित शेष" का उच्चतम गुणांक, यानी शून्य प्राप्त करने की गारंटी दी जाती है। प्रक्रिया पूरी होने के बाद नंबर सुमेलित मूल और शून्य शेषफल के बीच सैंडविच किया गयादूसरे (अरेखीय) कारक के गुणांक बनें।

चूँकि मूल a निचली पंक्ति के अंत में एक शून्य देता है, हॉर्नर की योजना का उपयोग बहुपद के मूल के शीर्षक के लिए संख्याओं की जाँच करने के लिए किया जा सकता है। यदि विशेष चयन प्रमेय तर्कसंगत जड़. इसकी सहायता से प्राप्त इस शीर्षक के सभी उम्मीदवारों को बस बाईं ओर से हॉर्नर के आरेख में डाला जाता है। जैसे ही हमें शून्य प्राप्त होगा, परीक्षित संख्या एक मूल होगी, और साथ ही हमें इसकी रेखा पर मूल बहुपद के गुणनखंडन के गुणांक प्राप्त होंगे। बहुत आराम से.

अंत में, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि हॉर्नर की योजना को सटीक रूप से पेश करने के साथ-साथ विषय को व्यावहारिक रूप से समेकित करने के लिए, एक गणित शिक्षक के पास पर्याप्त संख्या में घंटे होने चाहिए। "सप्ताह में एक बार" व्यवस्था के साथ काम करने वाले शिक्षक को कोने के विभाजन में संलग्न नहीं होना चाहिए। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा और गणित में राज्य गणित अकादमी में, यह संभावना नहीं है कि पहले भाग में आपको कभी भी तीसरी डिग्री का समीकरण मिलेगा जिसे इस तरह से हल किया जा सकता है। यदि कोई ट्यूटर मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी में किसी बच्चे को गणित की परीक्षा के लिए तैयार कर रहा है, तो विषय का अध्ययन अनिवार्य हो जाता है। विश्वविद्यालय के शिक्षक, एकीकृत राज्य परीक्षा के संकलनकर्ताओं के विपरीत, वास्तव में एक आवेदक के ज्ञान की गहराई का परीक्षण करना पसंद करते हैं।

कोलपाकोव अलेक्जेंडर निकोलाइविच, गणित शिक्षक मॉस्को, स्ट्रोगिनो

स्लाइड 3

हॉर्नर विलियम्स जॉर्ज (1786-22.9.1837) - अंग्रेजी गणितज्ञ। ब्रिस्टल में पैदा हुए. उन्होंने वहां अध्ययन किया और काम किया, फिर बाथ के स्कूलों में। बीजगणित पर बुनियादी कार्य. 1819 में एक बहुपद की वास्तविक जड़ों की अनुमानित गणना के लिए एक विधि प्रकाशित की, जिसे अब रफ़िनी-हॉर्नर विधि कहा जाता है (यह विधि 13 वीं शताब्दी में चीनियों को ज्ञात थी) एक बहुपद को द्विपद x-a द्वारा विभाजित करने की योजना का नाम दिया गया है हॉर्नर के बाद.

स्लाइड 4

हॉर्नर योजना

विभाजन विधि nवाँ बहुपदएक रैखिक द्विपद पर डिग्री - ए, इस तथ्य के आधार पर कि अपूर्ण भागफल और शेष के गुणांक विभाज्य बहुपद के गुणांक और सूत्रों से संबंधित हैं:

स्लाइड 5

हॉर्नर की योजना के अनुसार गणनाएँ तालिका में रखी गई हैं:

उदाहरण 1. विभाजित करें आंशिक भागफल x3-x2+3x - 13 है और शेष 42=f(-3) है।

स्लाइड 6

इस पद्धति का मुख्य लाभ अंकन की सघनता और एक बहुपद को शीघ्रता से द्विपद में विभाजित करने की क्षमता है। वास्तव में, हॉर्नर की योजना समूहीकरण विधि को रिकॉर्ड करने का दूसरा रूप है, हालांकि, बाद वाले के विपरीत, यह पूरी तरह से गैर-दृश्य है। उत्तर (कारकीकरण) यहाँ स्वयं ही प्राप्त हो जाता है, और हम इसे प्राप्त करने की प्रक्रिया नहीं देखते हैं। हम हॉर्नर की योजना की कठोर पुष्टि में संलग्न नहीं होंगे, बल्कि केवल यह दिखाएंगे कि यह कैसे काम करती है।

स्लाइड 7

उदाहरण 2.

आइए सिद्ध करें कि बहुपद P(x)=x4-6x3+7x-392 x-7 से विभाज्य है, और विभाजन का भागफल ज्ञात करें। समाधान। हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हुए, हम P(7) पाते हैं: यहां से हम P(7)=0 प्राप्त करते हैं, अर्थात। किसी बहुपद को x-7 से विभाजित करने पर शेषफल शून्य के बराबर होता है और, इसलिए, बहुपद P(x) (x-7) का गुणज होता है। इसके अलावा, तालिका की दूसरी पंक्ति में संख्याएँ के गुणांक हैं P(x) के भागफल को (x-7) से विभाजित किया जाता है, इसलिए P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

स्लाइड 8

बहुपद x3 – 5x2 – 2x + 16 का गुणनखंड करें।

इस बहुपद में पूर्णांक गुणांक हैं। यदि एक पूर्णांक इस बहुपद का मूल है, तो यह संख्या 16 का भाजक है। इस प्रकार, यदि किसी दिए गए बहुपद के मूल पूर्णांक हैं, तो ये केवल संख्याएँ ±1 हो सकती हैं; ±2; ±4; ±8; ±16. प्रत्यक्ष सत्यापन से हम आश्वस्त हैं कि संख्या 2 इस बहुपद का मूल है, अर्थात, x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)Q(x), जहां Q(x) दूसरी डिग्री का बहुपद है

स्लाइड 9

परिणामी संख्याएँ 1, −3, −8 बहुपद के गुणांक हैं, जो मूल बहुपद को x - 2 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। इसका मतलब है कि विभाजन का परिणाम है: 1 x2 + (-3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. विभाजन से उत्पन्न बहुपद की घात हमेशा मूल की घात से 1 कम होती है। तो: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

पाठ मकसद:

• विद्यार्थियों को समीकरण हल करना सिखाएं उच्च डिग्रीहॉर्नर की योजना का उपयोग करना;
• जोड़ियों में काम करने की क्षमता विकसित करना;
• पाठ्यक्रम के मुख्य अनुभागों के साथ मिलकर, छात्रों की क्षमताओं के विकास के लिए एक आधार तैयार करें;
• छात्र को उसकी क्षमता का आकलन करने, गणित में रुचि विकसित करने, सोचने की क्षमता विकसित करने और विषय पर बोलने में मदद करें।

उपकरण:समूह कार्य के लिए कार्ड, हॉर्नर के चित्र वाला पोस्टर।

पढ़ाने का तरीका:व्याख्यान, कहानी, स्पष्टीकरण, प्रशिक्षण अभ्यास करना।

नियंत्रण का स्वरूप:कार्यों की जाँच करना स्वतंत्र निर्णय, स्वतंत्र काम।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण

2. विद्यार्थियों के ज्ञान को अद्यतन करना

कौन सा प्रमेय आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि कोई संख्या किसी दिए गए समीकरण का मूल है (एक प्रमेय तैयार करें)?

बेज़ाउट का प्रमेय. बहुपद P(x) को विभाजित करने पर शेषफल द्विपद x-c P(c) के बराबर है, यदि P(c)=0 है तो संख्या c को बहुपद P(x) का मूल कहा जाता है। प्रमेय, विभाजन संक्रिया निष्पादित किए बिना, यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि क्या दिया गया नंबरबहुपद की जड़.

कौन से कथन जड़ों को ढूंढना आसान बनाते हैं?

ए) यदि किसी बहुपद का अग्रणी गुणांक एक के बराबर है, तो बहुपद की जड़ों को मुक्त पद के विभाजकों के बीच खोजा जाना चाहिए।

ख) यदि एक बहुपद के गुणांकों का योग 0 है, तो मूलों में से एक 1 है।

ग) यदि सम स्थानों के गुणांकों का योग विषम स्थानों के गुणांकों के योग के बराबर है, तो मूलों में से एक -1 के बराबर है।

घ) यदि सभी गुणांक धनात्मक हैं, तो बहुपद के मूल ऋणात्मक संख्याएँ हैं।

ई) विषम डिग्री वाले बहुपद में कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

3. नई सामग्री सीखना

पूर्णांकों को हल करते समय बीजगणितीय समीकरणआपको बहुपदों के मूलों का मान ज्ञात करना होगा। यदि हॉर्नर योजना नामक एक विशेष एल्गोरिदम का उपयोग करके गणना की जाती है तो इस ऑपरेशन को काफी सरल बनाया जा सकता है। इस सर्किट का नाम अंग्रेजी वैज्ञानिक विलियम जॉर्ज हॉर्नर के नाम पर रखा गया है। हॉर्नर की योजना बहुपद P(x) को x-c से विभाजित करने के भागफल और शेषफल की गणना करने के लिए एक एल्गोरिदम है। संक्षेप में यह कैसे काम करता है।

मान लीजिए एक मनमाना बहुपद P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n दिया गया है। इस बहुपद को x-c से विभाजित करने पर इसका निरूपण P(x)=(x-c)g(x) + r(x) के रूप में होता है। आंशिक g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, जहां 0 =a 0, in n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. शेष r(x)= st n-1 +a n. इस गणना पद्धति को हॉर्नर योजना कहा जाता है। एल्गोरिथम के नाम में "स्कीम" शब्द इस तथ्य के कारण है कि इसका कार्यान्वयन आमतौर पर निम्नानुसार स्वरूपित किया जाता है। सबसे पहले, तालिका 2(n+2) बनाएं। निचले बाएँ कक्ष में संख्या c लिखें, और शीर्ष पंक्ति में बहुपद P(x) के गुणांक लिखें। उसी समय, वाम शीर्ष कक्षखाली छोड़ दिया.

	0 में =ए 0	इन 1 =सेंट 1 +ए 1	2 = एसवी में 1 + ए 2		n-1 =st n-2 +a n-1 में	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

एल्गोरिथ्म को निष्पादित करने के बाद, जो संख्या निचले दाएं सेल में लिखी जाती है, वह बहुपद P(x) को x-c से विभाजित करने का शेष भाग है। 0 में, 1 में, 2 में,... निचली पंक्ति में अन्य संख्याएँ भागफल के गुणांक हैं।

उदाहरण के लिए: बहुपद P(x)= x 3 -2x+3 को x-2 से विभाजित करें।

हम पाते हैं कि x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन

उदाहरण 1:बहुपद P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 को पूर्णांक गुणांक वाले गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

हम मुक्त पद -1:1 के विभाजकों के बीच पूर्ण मूलों की तलाश कर रहे हैं; -1. आइए एक तालिका बनाएं:

एक्स = -1 - जड़

पी(एक्स)= (एक्स+1) (2एक्स 3 -9एक्स 2 +6एक्स -1)

चलिए 1/2 चेक करते हैं.

					एक्स=1/2 - जड़

इसलिए, बहुपद P(x) को इस रूप में दर्शाया जा सकता है

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

उदाहरण 2:समीकरण 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 को हल करें

चूँकि समीकरण के बाईं ओर लिखे बहुपद के गुणांकों का योग शून्य के बराबर है, तो जड़ों में से एक 1 है। आइए हॉर्नर की योजना का उपयोग करें:

						एक्स=1 - जड़

हमें P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2) मिलता है। हम मुक्त पद 2 के विभाजकों के बीच मूलों की तलाश करेंगे।

हमें पता चला कि अब कोई अक्षुण्ण जड़ें नहीं बची हैं। आइए 1/2 की जाँच करें; -1/2.

					एक्स= -1/2 - जड़

उत्तर 1; -1/2.

उदाहरण 3:समीकरण 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0 को हल करें।

हम मुक्त पद 5: 1;-1;5;-5 के विभाजकों के बीच इस समीकरण की जड़ों की तलाश करेंगे। x=1 समीकरण का मूल है, क्योंकि गुणांकों का योग शून्य है। आइए हॉर्नर की योजना का उपयोग करें:

आइए समीकरण को तीन कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करें: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. निर्णय लेने से द्विघात समीकरण 5x 2 -7x+5=0, हमें D=49-100=-51 मिला, कोई जड़ें नहीं हैं।

कार्ड 1

1. बहुपद का गुणनखंड करें: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. समीकरण हल करें: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

कार्ड 2

1. बहुपद का गुणनखंड करें: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. समीकरण हल करें: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

कार्ड 3

1. गुणनखंड: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. समीकरण हल करें: x 3 -2x 2 +4x-8=0

कार्ड 4

1. कारक: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. समीकरण हल करें: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. सारांश

जोड़ियों में हल करते समय ज्ञान का परीक्षण कक्षा में कार्रवाई की विधि और उत्तर के नाम को पहचानकर किया जाता है।

गृहकार्य:

समीकरण हल करें:

ए) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

बी) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

ग) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

घ) x 4 +2x 3 -x-2=0

साहित्य

1. एन.या. विलेनकिन एट अल., बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (गणित का गहन अध्ययन): ज्ञानोदय, 2005।
2. यू.आई. सखारचुक, एल.एस. सगाटेलोवा, उच्च डिग्री के समीकरणों का समाधान: वोल्गोग्राड, 2007।
3. एस.बी. गशकोव, संख्या प्रणालियाँ और उनका अनुप्रयोग।

हॉर्नर की योजना - एक बहुपद को विभाजित करने की एक विधि

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

द्विपद $x-a$ पर। आपको एक तालिका के साथ काम करना होगा, जिसकी पहली पंक्ति में किसी दिए गए बहुपद के गुणांक शामिल हैं। दूसरी पंक्ति का पहला तत्व संख्या $a$ होगा, जो द्विपद $x-a$ से लिया गया है:

nवीं घात वाले बहुपद को द्विपद $x-a$ से विभाजित करने पर, हमें एक बहुपद प्राप्त होता है जिसकी घात मूल से एक कम होती है, अर्थात। $n-1$ के बराबर है। हॉर्नर की योजना का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग उदाहरणों के साथ प्रदर्शित करना सबसे आसान है।

उदाहरण क्रमांक 1

हॉर्नर की योजना का उपयोग करके $5x^4+5x^3+x^2-11$ को $x-1$ से विभाजित करें।

आइए दो पंक्तियों की एक तालिका बनाएं: पहली पंक्ति में हम बहुपद $5x^4+5x^3+x^2-11$ के गुणांकों को लिखते हैं, जो चर $x$ की शक्तियों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित होते हैं। ध्यान दें कि इस बहुपद में पहली डिग्री तक $x$ शामिल नहीं है, यानी। पहली घात के लिए $x$ का गुणांक 0 है। चूँकि हम $x-1$ से विभाजित कर रहे हैं, हम दूसरी पंक्ति में एक लिखते हैं:

आइए दूसरी पंक्ति में रिक्त कक्षों को भरना शुरू करें। दूसरी पंक्ति के दूसरे सेल में हम संख्या $5$ लिखते हैं, बस इसे पहली पंक्ति के संबंधित सेल से ले जाते हैं:

आइए अगले सेल को इस सिद्धांत के अनुसार भरें: $1\cdot 5+5=10$:

आइए दूसरी पंक्ति के चौथे सेल को इसी तरह भरें: $1\cdot 10+1=11$:

पांचवें सेल के लिए हमें मिलता है: $1\cdot 11+0=11$:

और अंत में, अंतिम, छठे सेल के लिए, हमारे पास है: $1\cdot 11+(-11)=0$:

समस्या हल हो गई है, जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी पंक्ति में स्थित संख्याएँ (एक और शून्य के बीच) $5x^4+5x^3+x^2-11$ को $x-1$ से विभाजित करने के बाद प्राप्त बहुपद के गुणांक हैं। स्वाभाविक रूप से, चूंकि मूल बहुपद $5x^4+5x^3+x^2-11$ की डिग्री चार के बराबर थी, परिणामी बहुपद $5x^3+10x^2+11x+11$ की डिग्री एक है कम, यानी. तीन के बराबर है. दूसरी पंक्ति में अंतिम संख्या (शून्य) का अर्थ बहुपद $5x^4+5x^3+x^2-11$ को $x-1$ से विभाजित करने पर शेषफल है। हमारे मामले में, शेषफल शून्य है, अर्थात। बहुपद समान रूप से विभाज्य होते हैं। इस परिणाम को इस प्रकार भी दर्शाया जा सकता है: $x=1$ के लिए बहुपद $5x^4+5x^3+x^2-11$ का मान शून्य के बराबर है।

निष्कर्ष इस रूप में भी तैयार किया जा सकता है: चूँकि $x=1$ पर बहुपद $5x^4+5x^3+x^2-11$ का मान शून्य के बराबर है, तो एकता बहुपद का मूल है $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

उदाहरण क्रमांक 2

हॉर्नर की योजना का उपयोग करके बहुपद $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ को $x+3$ से विभाजित करें।

आइए हम तुरंत निर्धारित करें कि अभिव्यक्ति $x+3$ को $x-(-3)$ के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। हॉर्नर की योजना में बिल्कुल $-3$ शामिल होंगे। चूँकि मूल बहुपद $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ की डिग्री चार के बराबर है, तो विभाजन के परिणामस्वरूप हमें तीसरी डिग्री का बहुपद प्राप्त होता है:

परिणाम का मतलब यही है

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

इस स्थिति में, $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ को $x+3$ से विभाजित करने पर शेषफल $4$ होता है। या, वही, $x=-3$ के लिए बहुपद $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ का मान $4$ के बराबर है। वैसे, दिए गए बहुपद में सीधे $x=-3$ प्रतिस्थापित करके इसे दोबारा जांचना आसान है:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

वे। यदि आपको किसी चर के दिए गए मान के लिए बहुपद का मान ज्ञात करना हो तो हॉर्नर की योजना का उपयोग किया जा सकता है। यदि हमारा लक्ष्य एक बहुपद के सभी मूल ज्ञात करना है, तो हॉर्नर की योजना को लगातार कई बार लागू किया जा सकता है जब तक कि हम सभी मूल समाप्त नहीं कर लेते, जैसा कि उदाहरण संख्या 3 में चर्चा की गई है।

उदाहरण संख्या 3

हॉर्नर की योजना का उपयोग करके बहुपद $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ के सभी पूर्णांक मूल ज्ञात करें।

प्रश्न में बहुपद के गुणांक पूर्णांक हैं, और चर की उच्चतम शक्ति का गुणांक (यानी, $x^6$) एक के बराबर है। इस मामले में, बहुपद की पूर्णांक जड़ों को मुक्त पद के विभाजकों के बीच खोजा जाना चाहिए, अर्थात। संख्या 45 के विभाजकों के बीच। किसी दिए गए बहुपद के लिए, ऐसी जड़ें संख्या $45 हो सकती हैं; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ और $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. आइए, उदाहरण के लिए, संख्या $1$ की जाँच करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, $x=1$ के साथ बहुपद $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ का मान $192$ के बराबर है (अंतिम संख्या दूसरी पंक्ति में), और $0 $ नहीं, इसलिए एकता इस बहुपद का मूल नहीं है। चूँकि एक की जाँच विफल हो गई, आइए मूल्य $x=-1$ की जाँच करें। हम इसके लिए कोई नई तालिका नहीं बनाएंगे, लेकिन तालिका का उपयोग जारी रखेंगे। क्रमांक 1, इसमें एक नई (तीसरी) पंक्ति जोड़ रहे हैं। दूसरी पंक्ति, जिसमें $1$ का मूल्य जांचा गया था, लाल रंग में हाइलाइट की जाएगी और आगे की चर्चाओं में इसका उपयोग नहीं किया जाएगा।

बेशक, आप तालिका को दोबारा लिख ​​सकते हैं, लेकिन इसे मैन्युअल रूप से भरने में बहुत समय लगेगा। इसके अलावा, ऐसे कई नंबर हो सकते हैं जिनका सत्यापन विफल हो जाएगा, और हर बार एक नई तालिका लिखना मुश्किल होगा। "कागज पर" गणना करते समय, लाल रेखाओं को आसानी से पार किया जा सकता है।

तो, $x=-1$ पर बहुपद $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ का मान शून्य के बराबर है, यानी। संख्या $-1$ इस बहुपद का मूल है। बहुपद $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ को द्विपद $x-(-1)=x+1$ से विभाजित करने के बाद हमें बहुपद $x प्राप्त होता है ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, जिसके गुणांक तालिका की तीसरी पंक्ति से लिए गए हैं। क्रमांक 2 (उदाहरण क्रमांक 1 देखें)। गणना का परिणाम इस रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है:

\begin(समीकरण)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(समीकरण)

आइए पूर्णांक मूलों की खोज जारी रखें। अब हमें बहुपद $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ के मूल खोजने होंगे। पुनः, इस बहुपद के पूर्णांक मूलों को इसके मुक्त पद के विभाजकों, संख्याओं $45$ के बीच खोजा जाता है। आइए $-1$ संख्या को फिर से जाँचने का प्रयास करें। हम कोई नई तालिका नहीं बनाएंगे, लेकिन पिछली तालिका का उपयोग जारी रखेंगे। नंबर 2, यानी आइए इसमें एक और पंक्ति जोड़ें:

तो, संख्या $-1$ बहुपद $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ का मूल है। यह परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\begin(समीकरण)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(समीकरण)

समानता (2) को ध्यान में रखते हुए, समानता (1) को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

\begin(समीकरण)\begin(संरेखित) और x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(संरेखित)\end(समीकरण)

अब हमें बहुपद $x^4-22x^2+24x+45$ के मूलों को, स्वाभाविक रूप से, इसके मुक्त पद के विभाजकों (संख्या $45$) के बीच खोजने की आवश्यकता है। आइए संख्या $-1$ को दोबारा जांचें:

संख्या $-1$ बहुपद $x^4-22x^2+24x+45$ का मूल है। यह परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\begin(समीकरण)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(समीकरण)

समानता (4) को ध्यान में रखते हुए, हम समानता (3) को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखते हैं:

\begin(समीकरण)\begin(संरेखित) और x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(संरेखित)\end(समीकरण)

अब हम बहुपद $x^3-x^2-21x+45$ के मूलों की तलाश कर रहे हैं। आइए संख्या $-1$ को फिर से जांचें:

चेक विफलता में समाप्त हो गया. आइए छठी पंक्ति को लाल रंग से हाइलाइट करें और किसी अन्य संख्या की जांच करने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए, संख्या $3$:

शेषफल शून्य है, इसलिए संख्या $3$ विचाराधीन बहुपद का मूल है। तो, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. अब समानता (5) को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है।