एक जटिल फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न। ऑनलाइन कैलकुलेटर

परिभाषा।मान लीजिए कि फ़ंक्शन \(y = f(x)\) को बिंदु \(x_0\) वाले एक निश्चित अंतराल में परिभाषित किया गया है। आइए तर्क को एक वृद्धि दें \(\Delta x \) ताकि यह इस अंतराल को न छोड़े। आइए फ़ंक्शन \(\Delta y \) की संगत वृद्धि ज्ञात करें (बिंदु \(x_0 \) से बिंदु \(x_0 + \Delta x \) तक जाने पर) और संबंध बनाएं \(\frac(\Delta y)(\डेल्टा x) \). यदि इस अनुपात की कोई सीमा \(\Delta x \rightarrow 0\) पर है, तो निर्दिष्ट सीमा कहलाती है किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न\(y=f(x) \) बिंदु \(x_0 \) पर और \(f"(x_0) \) को निरूपित करें।

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

प्रतीक y का उपयोग अक्सर व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि y" = f(x) एक नया फ़ंक्शन है, लेकिन स्वाभाविक रूप से फ़ंक्शन y = f(x) से संबंधित है, जो सभी बिंदुओं x पर परिभाषित है, जिस पर उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस फ़ंक्शन को इस प्रकार कहा जाता है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y = f(x).

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थइस प्रकार है। यदि फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ पर भुज x=a वाले बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींचना संभव है, जो y-अक्ष के समानांतर नहीं है, तो f(a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है :
\(k = f"(a)\)

चूँकि \(k = tg(a) \), तो समानता \(f"(a) = tan(a) \) सत्य है।

आइए अब अनुमानित समानता के दृष्टिकोण से व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या करें। मान लीजिए कि फ़ंक्शन \(y = f(x)\) का एक विशिष्ट बिंदु \(x\) पर व्युत्पन्न है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास अनुमानित समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), यानी \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ डेल्टा x\). परिणामी अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक व्युत्पन्न का मूल्य है दिया गया बिंदुएक्स। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(y = x^2\) के लिए अनुमानित समानता \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) मान्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करें, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिदम शामिल है।

आइए इसे तैयार करें.

फ़ंक्शन y = f(x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?

1. \(x\) का मान ठीक करें, \(f(x)\) खोजें
2. तर्क \(x\) को वृद्धि \(\Delta x\) दें, एक नए बिंदु \(x+ \Delta x \) पर जाएं, \(f(x+ \Delta x) \) ढूंढें
3. फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करें: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. संबंध बनाएं \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा बिंदु x पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है।

यदि किसी फ़ंक्शन y = f(x) का एक बिंदु x पर अवकलज है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फलन y = f(x) का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है भेदभावफलन y = f(x).

आइए निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता और भिन्नता एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं?

मान लीजिए कि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है। फिर बिंदु M(x; f(x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है, और, याद रखें, स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक f "(x) के बराबर है। ऐसा ग्राफ़ "टूट" नहीं सकता है बिंदु M पर, अर्थात फ़ंक्शन बिंदु x पर निरंतर होना चाहिए।

ये "व्यावहारिक" तर्क थे। आइए हम और अधिक कठोर तर्क दें। यदि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है, तो अनुमानित समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) कायम रहती है। यदि इस समानता में \(\Delta x \) शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, तो \(\Delta y \) शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, और यह एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के लिए शर्त है।

इसलिए, यदि कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु x पर अवकलनीय है, तो यह उस बिंदु पर निरंतर है.

उलटा कथन सत्य नहीं है. उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| हर जगह निरंतर है, विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर, लेकिन "जंक्शन बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा नहीं खींची जा सकती है, तो उस बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

एक और उदाहरण. फ़ंक्शन \(y=\sqrt(x)\) संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है, जिसमें बिंदु x = 0 भी शामिल है। और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है। लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y-अक्ष के साथ मेल खाती है, यानी, यह भुज अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण का रूप x = 0 है। ढलान गुणांकऐसी कोई रेखा नहीं है, जिसका अर्थ है कि \(f"(0) \) का भी अस्तित्व नहीं है

तो, हम किसी फ़ंक्शन की एक नई संपत्ति - भिन्नता से परिचित हुए। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से कोई यह निष्कर्ष कैसे निकाल सकता है कि यह अवकलनीय है?

उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींचना संभव है जो भुज अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह भुज अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन भिन्न नहीं है।

विभेदीकरण के नियम

अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को निष्पादित करते समय, आपको अक्सर भागफल, योग, कार्यों के उत्पादों के साथ-साथ "कार्यों के कार्य", यानी जटिल कार्यों के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम विभेदन नियम प्राप्त कर सकते हैं जो इस कार्य को आसान बनाते हैं। यदि C एक स्थिर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ भिन्न फलन हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं विभेदन नियम:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ व्युत्पन्न जटिल कार्य:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

कुछ फ़ंक्शंस के डेरिवेटिव की तालिका

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

किसी जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न की गणना करने के उदाहरण दिए गए हैं।

यहां हम निम्नलिखित कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण देते हैं:
; ; ; ; .

यदि किसी फ़ंक्शन को एक जटिल फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है निम्नलिखित प्रपत्र:
,
तो इसका व्युत्पन्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
.
नीचे दिए गए उदाहरणों में, हम इस सूत्र को इस प्रकार लिखेंगे:
.
कहाँ ।
यहां, उपस्क्रिप्ट या, व्युत्पन्न चिह्न के नीचे स्थित, उन चर को दर्शाते हैं जिनके द्वारा भेदभाव किया जाता है।

आमतौर पर, डेरिवेटिव की तालिकाओं में, वेरिएबल x से फ़ंक्शन के डेरिवेटिव दिए जाते हैं। हालाँकि, x एक औपचारिक पैरामीटर है। वेरिएबल x को किसी अन्य वेरिएबल द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इसलिए, किसी फ़ंक्शन को किसी वेरिएबल से अलग करते समय, हम बस डेरिवेटिव की तालिका में, वेरिएबल x को वेरिएबल u में बदल देते हैं।

सरल उदाहरण

उदाहरण 1

किसी जटिल फलन का व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए
.

समाधान

आइए दिए गए फ़ंक्शन को समकक्ष रूप में लिखें:
.
डेरिवेटिव की तालिका में हम पाते हैं:
;
.

एक जटिल फलन के व्युत्पन्न के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है:
.
यहाँ ।

उत्तर

उदाहरण 2

व्युत्पन्न खोजें
.

समाधान

हम व्युत्पन्न चिह्न से स्थिरांक 5 निकालते हैं और व्युत्पन्न तालिका से हम पाते हैं:
.

.
यहाँ ।

उत्तर

उदाहरण 3

व्युत्पन्न खोजें
.

समाधान

हम एक स्थिरांक निकालते हैं -1 व्युत्पन्न के चिह्न के लिए और व्युत्पन्न की तालिका से हम पाते हैं:
;
डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं:
.

हम एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करते हैं:
.
यहाँ ।

उत्तर

अधिक जटिल उदाहरण

अधिक में जटिल उदाहरणहम एक जटिल फलन को विभेदित करने के नियम को कई बार लागू करते हैं। इस मामले में, हम अंत से व्युत्पन्न की गणना करते हैं। अर्थात्, हम फ़ंक्शन को उसके घटक भागों में तोड़ते हैं और उपयोग करके सबसे सरल भागों के व्युत्पन्न ढूंढते हैं डेरिवेटिव की तालिका. हम भी प्रयोग करते हैं योगों में अंतर करने के नियम, उत्पाद और अंश। फिर हम प्रतिस्थापन करते हैं और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करते हैं।

उदाहरण 4

व्युत्पन्न खोजें
.

समाधान

आइए सूत्र का सबसे सरल भाग चुनें और उसका व्युत्पन्न ज्ञात करें। .

.
यहां हमने संकेतन का प्रयोग किया है
.

हम प्राप्त परिणामों का उपयोग करके मूल फ़ंक्शन के अगले भाग का व्युत्पन्न ढूंढते हैं। हम योग को अलग करने के लिए नियम लागू करते हैं:
.

एक बार फिर हम जटिल फलनों के विभेदन का नियम लागू करते हैं।

.
यहाँ ।

उत्तर

उदाहरण 5

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
.

समाधान

आइए सूत्र का सबसे सरल भाग चुनें और डेरिवेटिव की तालिका से इसका व्युत्पन्न खोजें। .

हम जटिल कार्यों के विभेदन का नियम लागू करते हैं।
.
यहाँ
.

कार्य जटिल प्रकारहमेशा एक जटिल फ़ंक्शन की परिभाषा में फिट नहीं होते। यदि y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 के रूप का कोई फ़ंक्शन है, तो इसे y = sin 2 x के विपरीत, जटिल नहीं माना जा सकता है।

यह आलेख एक जटिल फ़ंक्शन की अवधारणा और उसकी पहचान दिखाएगा। आइए निष्कर्ष में समाधान के उदाहरणों के साथ व्युत्पन्न खोजने के सूत्रों के साथ काम करें। व्युत्पन्न तालिका और विभेदीकरण नियमों के उपयोग से व्युत्पन्न खोजने का समय काफी कम हो जाता है।

Yandex.RTB R-A-339285-1

बुनियादी परिभाषाएँ

परिभाषा 1

एक जटिल फलन वह होता है जिसका तर्क भी एक फलन होता है।

इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है: f (g (x)). हमारे पास यह है कि फ़ंक्शन g (x) को एक तर्क f (g (x)) माना जाता है।

परिभाषा 2

यदि कोई फलन f है और एक कोटैंजेंट फलन है, तो g(x) = ln x फलन है प्राकृतिक. हम पाते हैं कि सम्मिश्र फलन f (g (x)) को arctg(lnx) के रूप में लिखा जाएगा। या एक फ़ंक्शन f, जो चौथी घात तक उठाया गया एक फ़ंक्शन है, जहां g (x) = x 2 + 2 x - 3 को एक संपूर्ण तर्कसंगत फ़ंक्शन माना जाता है, हम पाते हैं कि f (g (x)) = (x 2 + 2 एक्स - 3) 4 .

स्पष्टतः g(x) जटिल हो सकता है। उदाहरण y = syn 2 x + 1 x 3 - 5 से यह स्पष्ट है कि g का मान भिन्न का घनमूल है। इस अभिव्यक्ति को y = f (f 1 (f 2 (x))) के रूप में दर्शाया जा सकता है। जहां से हमें पता चलता है कि f एक साइन फ़ंक्शन है, और f 1 नीचे स्थित एक फ़ंक्शन है वर्गमूल, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - भिन्नात्मक परिमेय फलन।

परिभाषा 3

घोंसले के शिकार की डिग्री किसी से भी निर्धारित होती है प्राकृतिक संख्याऔर इसे y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) के रूप में लिखा जाता है।

परिभाषा 4

फ़ंक्शन संरचना की अवधारणा समस्या की स्थितियों के अनुसार नेस्टेड फ़ंक्शंस की संख्या को संदर्भित करती है। हल करने के लिए, फॉर्म के किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करें

(एफ (जी (एक्स))) " = एफ " (जी (एक्स)) जी " (एक्स)

उदाहरण

उदाहरण 1

y = (2 x + 1) 2 के रूप के एक जटिल फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान

शर्त दर्शाती है कि f एक वर्ग फलन है, और g(x) = 2 x + 1 को एक रैखिक फलन माना जाता है।

आइए एक जटिल फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न सूत्र लागू करें और लिखें:

एफ " (जी (एक्स)) = ((जी (एक्स)) 2) " = 2 (जी (एक्स)) 2 - 1 = 2 जी (एक्स) = 2 (2 एक्स + 1) ; जी " (एक्स) = (2 एक्स + 1) " = (2 एक्स) " + 1 " = 2 एक्स " + 0 = 2 1 एक्स 1 - 1 = 2 ⇒ (एफ (जी (एक्स))) " = एफ " (जी (एक्स)) जी " (एक्स) = 2 (2 एक्स + 1) 2 = 8 एक्स + 4

फ़ंक्शन के सरलीकृत मूल रूप के साथ व्युत्पन्न को ढूंढना आवश्यक है। हम पाते हैं:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

यहां से हमारे पास वह है

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

परिणाम वही थे.

इस प्रकार की समस्याओं को हल करते समय, यह समझना महत्वपूर्ण है कि फॉर्म f और g (x) का फ़ंक्शन कहाँ स्थित होगा।

उदाहरण 2

आपको y = पाप 2 x और y = पाप x 2 के रूप के जटिल कार्यों के व्युत्पन्न खोजने चाहिए।

समाधान

पहला फ़ंक्शन नोटेशन कहता है कि f स्क्वेरिंग फ़ंक्शन है और g(x) साइन फ़ंक्शन है। तब हमें वह मिलता है

y " = (पाप 2 x) " = 2 पाप 2 - 1 x (पाप x) " = 2 पाप x cos x

दूसरी प्रविष्टि से पता चलता है कि f एक साइन फ़ंक्शन है, और g(x) = x 2 को दर्शाया गया है ऊर्जा समीकरण. इसका तात्पर्य यह है कि हम एक जटिल फ़ंक्शन के उत्पाद को इस प्रकार लिखते हैं

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

व्युत्पन्न y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) के लिए सूत्र को y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 ()) के रूप में लिखा जाएगा। . )) )) · . . . एफएन "(एक्स)

उदाहरण 3

फलन y = syn (ln 3 a r c t g (2 x)) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान

यह उदाहरण लिखने और फ़ंक्शंस का स्थान निर्धारित करने की कठिनाई को दर्शाता है। फिर y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) इंगित करें कि f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) साइन फ़ंक्शन है, बढ़ाने का फ़ंक्शन है 3 डिग्री तक, लघुगणक और आधार ई, आर्कटेंजेंट और रैखिक फ़ंक्शन के साथ कार्य करें।

एक जटिल फलन को परिभाषित करने के सूत्र से हमारे पास वह है

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (एक्स)) एफ 3 " (एफ 4 (एक्स)) एफ 4 " (एक्स)

हमें वही मिलता है जो हमें खोजना होता है

1. एफ " (एफ 1 (एफ 2 (एफ 3 (एफ 4 (एक्स))))) डेरिवेटिव की तालिका के अनुसार साइन के व्युत्पन्न के रूप में, फिर एफ " (एफ 1 (एफ 2 (एफ 3 (एफ 4) x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ।
2. एफ 1 " (एफ 2 (एफ 3 (एफ 4 (एक्स)))) एक पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में, फिर एफ 1 " (एफ 2 (एफ 3 (एफ 4 (एक्स)))) = 3 एलएन 3 - 1 ए आर सी टी जी (2 एक्स) = 3 एलएन 2 ए आर सी टी जी (2 एक्स)।
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) एक लघुगणकीय व्युत्पन्न के रूप में, फिर f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) ।
4. f 3 " (f 4 (x)) चाप स्पर्शरेखा के व्युत्पन्न के रूप में, फिर f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. व्युत्पन्न f 4 (x) = 2 x ज्ञात करते समय, 1 के बराबर घातांक वाले घात फलन के व्युत्पन्न के सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न के चिह्न से 2 हटा दें, फिर f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

हम मध्यवर्ती परिणामों को जोड़ते हैं और उसे प्राप्त करते हैं

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

ऐसे कार्यों का विश्लेषण घोंसले बनाने वाली गुड़िया की याद दिलाता है। विभेदीकरण नियमों को हमेशा व्युत्पन्न तालिका का उपयोग करके स्पष्ट रूप से लागू नहीं किया जा सकता है। अक्सर आपको जटिल कार्यों के व्युत्पन्न खोजने के लिए एक सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

जटिल स्वरूप और जटिल कार्यों के बीच कुछ अंतर हैं। इसे अलग करने की स्पष्ट क्षमता के साथ, डेरिवेटिव ढूंढना विशेष रूप से आसान हो जाएगा।

उदाहरण 4

ऐसा उदाहरण देने पर विचार करना जरूरी है. यदि y = t g 2 x + 3 t g x + 1 के रूप का कोई फलन है, तो इसे g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 के रूप का एक जटिल फलन माना जा सकता है। . जाहिर है, जटिल व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करना आवश्यक है:

एफ " (जी (एक्स)) = (जी 2 (एक्स) + 3 जी (एक्स) + 1) " = (जी 2 (एक्स)) " + (3 जी (एक्स)) " + 1 " = = 2 · जी 2 - 1 (एक्स) + 3 जी " (एक्स) + 0 = 2 जी (एक्स) + 3 1 जी 1 - 1 (एक्स) = = 2 जी (एक्स) + 3 = 2 टीजी एक्स + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 के रूप का एक फ़ंक्शन जटिल नहीं माना जाता है, क्योंकि इसमें t g x 2, 3 t g x और 1 का योग होता है। हालाँकि, t g x 2 को एक जटिल फलन माना जाता है, तो हमें g (x) = x 2 और f के रूप का एक घात फलन प्राप्त होता है, जो एक स्पर्शरेखा फलन है। ऐसा करने के लिए, राशि के आधार पर अंतर करें. हमें वह मिल गया

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 कोस 2 एक्स

आइए एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए आगे बढ़ें (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

हम पाते हैं कि y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

जटिल प्रकार के कार्यों को जटिल कार्यों में शामिल किया जा सकता है, और जटिल कार्य स्वयं जटिल प्रकार के कार्यों के घटक हो सकते हैं।

उदाहरण 5

उदाहरण के लिए, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) के रूप के एक जटिल फलन पर विचार करें।

इस फ़ंक्शन को y = f (g (x)) के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां f का मान आधार 3 लघुगणक का एक फ़ंक्शन है, और g (x) को h (x) = के रूप के दो कार्यों का योग माना जाता है। x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 और k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . जाहिर है, y = f (h (x) + k (x)).

फ़ंक्शन h(x) पर विचार करें। यह अनुपात है l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 से m (x) = e x 2 + 3 3

हमारे पास यह है कि l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) दो फलनों n (x) = x 2 + 7 और p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , जहां p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) संख्यात्मक गुणांक 3 के साथ एक जटिल फ़ंक्शन है, और p 1 एक घन फ़ंक्शन है, कोज्या फलन द्वारा p 2, रैखिक फलन द्वारा p 3 (x) = 2 x + 1।

हमने पाया कि m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) दो फलनों q (x) = e x 2 और r (x) = 3 3 का योग है, जहाँ q (x) = q 1 (q 2 (x)) एक जटिल फलन है, q 1 एक घातांक वाला फलन है, q 2 (x) = x 2 एक घात फलन है।

इससे पता चलता है कि h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) के रूप की अभिव्यक्ति की ओर बढ़ने पर, यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन को एक जटिल s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) एक परिमेय पूर्णांक t (x) = x 2 + 1 के साथ, जहां s 1 एक वर्ग फलन है, और s 2 (x) = ln x लघुगणकीय है आधार ई.

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अभिव्यक्ति k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) का रूप लेगी।

तब हमें वह मिलता है

y = लॉग 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

फ़ंक्शन की संरचनाओं के आधार पर, यह स्पष्ट हो गया कि अभिव्यक्ति को विभेदित करते समय अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए कैसे और किन सूत्रों का उपयोग किया जाना चाहिए। ऐसी समस्याओं से परिचित होने और उनके समाधान की अवधारणा के लिए, किसी फ़ंक्शन को विभेदित करने के बिंदु पर जाना आवश्यक है, अर्थात उसका व्युत्पन्न खोजना।

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प्रारंभिक तोपखाने की तैयारी के बाद, कार्यों के 3-4-5 नेस्टिंग वाले उदाहरण कम डरावने होंगे। शायद निम्नलिखित दो उदाहरण कुछ लोगों को जटिल लगेंगे, लेकिन यदि आप उन्हें समझते हैं (किसी को कष्ट होगा), तो लगभग बाकी सब कुछ अंतर कलनयह बच्चों का मजाक जैसा लगेगा.

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी जटिल फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करते समय, सबसे पहले, यह आवश्यक है सहीअपने निवेश को समझें. ऐसे मामलों में जहां संदेह हैं, मैं आपको एक उपयोगी तकनीक की याद दिलाता हूं: उदाहरण के लिए, हम "x" का प्रयोगात्मक मान लेते हैं, और प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं (मानसिक रूप से या ड्राफ्ट में) दिया गया मूल्यएक "भयानक अभिव्यक्ति" में।

1) सबसे पहले हमें अभिव्यक्ति की गणना करने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि योग सबसे गहरा एम्बेडिंग है।

2) फिर आपको लघुगणक की गणना करने की आवश्यकता है:

4) फिर कोज्या का घन करें:

5) पांचवें चरण में अंतर:

6) और अंत में, सबसे बाहरी कार्य वर्गमूल है:

किसी जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने का सूत्र सबसे विपरीत क्रम में लागू किया जाएगा बाह्य कार्य, अंतरतम तक। हमने निर्णय किया:

ऐसा लगता है कि कोई त्रुटि नहीं है:

1) वर्गमूल का अवकलज लीजिए।

2) नियम का उपयोग करके अंतर का व्युत्पन्न लें

3) त्रिक का व्युत्पन्न शून्य है। दूसरे पद में हम घात (घन) का अवकलज लेते हैं।

4) कोसाइन का व्युत्पन्न लें।

6) और अंत में, हम सबसे गहरे एम्बेडिंग का व्युत्पन्न लेते हैं।

यह बहुत कठिन लग सकता है, लेकिन यह सबसे क्रूर उदाहरण नहीं है। उदाहरण के लिए, कुज़नेत्सोव के संग्रह को लें और आप विश्लेषण किए गए व्युत्पन्न की सभी सुंदरता और सादगी की सराहना करेंगे। मैंने देखा कि वे परीक्षा में इसी तरह की चीज़ देना पसंद करते हैं ताकि यह जांचा जा सके कि क्या कोई छात्र किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना समझता है या नहीं समझता है।

निम्नलिखित उदाहरण के लिए है स्वतंत्र निर्णय.

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

संकेत: सबसे पहले हम रैखिकता नियम और उत्पाद विभेदन नियम लागू करते हैं

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

अब कुछ छोटी और अच्छी चीज़ की ओर बढ़ने का समय आ गया है।
किसी उदाहरण में दो नहीं, बल्कि तीन कार्यों का गुणनफल दिखाना कोई असामान्य बात नहीं है। तीन कारकों के उत्पाद का व्युत्पन्न कैसे खोजें?

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

पहले हम देखते हैं, क्या तीन कार्यों के उत्पाद को दो कार्यों के उत्पाद में बदलना संभव है? उदाहरण के लिए, यदि हमारे उत्पाद में दो बहुपद हैं, तो हम कोष्ठक खोल सकते हैं। लेकिन विचाराधीन उदाहरण में, सभी फ़ंक्शन अलग-अलग हैं: डिग्री, घातांक और लघुगणक।

ऐसे में यह जरूरी है क्रमिक रूप सेउत्पाद विभेदन नियम लागू करें दो बार

चाल यह है कि "y" से हम दो कार्यों के उत्पाद को दर्शाते हैं:, और "ve" से हम लघुगणक को दर्शाते हैं:। ऐसा क्यों किया जा सकता है? सच्ची में - यह दो कारकों का उत्पाद नहीं है और नियम काम नहीं करता?! इसमें कुछ भी जटिल नहीं है:

अब नियम को दूसरी बार लागू करना बाकी है ब्रैकेट में:

आप मोड़ भी सकते हैं और कोष्ठक से बाहर भी कुछ डाल सकते हैं, लेकिन इस मामले में उत्तर को ठीक इसी रूप में छोड़ना बेहतर है - इसे जांचना आसान होगा।

विचारित उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है:

दोनों समाधान बिल्कुल समतुल्य हैं.

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है; नमूने में इसे पहली विधि का उपयोग करके हल किया गया है।

आइए भिन्नों वाले समान उदाहरण देखें।

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

आप यहां कई तरीकों से जा सकते हैं:

या इस तरह:

लेकिन यदि हम पहले भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग करें तो समाधान अधिक सघनता से लिखा जाएगा , संपूर्ण अंश के लिए लेते हुए:

सिद्धांत रूप में, उदाहरण हल हो गया है, और यदि इसे वैसे ही छोड़ दिया जाए, तो कोई त्रुटि नहीं होगी। लेकिन यदि आपके पास समय है, तो यह हमेशा सलाह दी जाती है कि ड्राफ्ट पर जांच कर लें कि क्या उत्तर को सरल बनाया जा सकता है?

आइए अंश की अभिव्यक्ति को एक सामान्य हर तक कम करें और भिन्न की तीन मंजिला संरचना से छुटकारा पाएं:

अतिरिक्त सरलीकरण का नुकसान यह है कि व्युत्पन्न खोजते समय गलती करने का जोखिम नहीं होता है, बल्कि सामान्य स्कूल परिवर्तनों के दौरान गलती होने का जोखिम होता है। दूसरी ओर, शिक्षक अक्सर असाइनमेंट को अस्वीकार कर देते हैं और व्युत्पन्न को "दिमाग में लाने" के लिए कहते हैं।

स्वयं हल करने के लिए एक सरल उदाहरण:

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम व्युत्पन्न खोजने के तरीकों में महारत हासिल करना जारी रखते हैं, और अब हम एक विशिष्ट मामले पर विचार करेंगे जब विभेदन के लिए एक "भयानक" लघुगणक प्रस्तावित किया जाता है

इस लेख में हम एक जटिल फलन जैसी महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा के बारे में बात करेंगे, और सीखेंगे कि एक जटिल फलन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए।

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजना सीखने से पहले, आइए एक जटिल फ़ंक्शन की अवधारणा को समझें, यह क्या है, "इसके साथ क्या खाया जाता है," और "इसे सही तरीके से कैसे पकाया जाए।"

एक मनमाना फ़ंक्शन पर विचार करें, उदाहरण के लिए, यह:

ध्यान दें कि फ़ंक्शन समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों पर तर्क एक ही संख्या या अभिव्यक्ति है।

एक वेरिएबल के बजाय, हम, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति डाल सकते हैं:। और फिर हमें फ़ंक्शन मिलता है

आइए अभिव्यक्ति को एक मध्यवर्ती तर्क और फ़ंक्शन को एक बाहरी फ़ंक्शन कहें। ये सख्त गणितीय अवधारणाएँ नहीं हैं, लेकिन ये एक जटिल फ़ंक्शन की अवधारणा के अर्थ को समझने में मदद करते हैं।

एक जटिल फ़ंक्शन की अवधारणा की सख्त परिभाषा इस प्रकार है:

मान लीजिए कि किसी फ़ंक्शन को एक सेट पर परिभाषित किया गया है और यह इस फ़ंक्शन के मानों का सेट है। मान लीजिए कि समुच्चय (या उसका उपसमुच्चय) फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र है। आइए उनमें से प्रत्येक को एक नंबर निर्दिष्ट करें। इस प्रकार, फ़ंक्शन को सेट पर परिभाषित किया जाएगा। इसे फ़ंक्शन संरचना या जटिल फ़ंक्शन कहा जाता है।

इस परिभाषा में, यदि हम अपनी शब्दावली का उपयोग करते हैं, तो एक बाहरी फ़ंक्शन एक मध्यवर्ती तर्क है।

एक जटिल फलन का व्युत्पन्न निम्नलिखित नियम के अनुसार पाया जाता है:

इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए, मैं इस नियम को इस प्रकार लिखना चाहता हूँ:

इस अभिव्यक्ति में, उपयोग एक मध्यवर्ती फ़ंक्शन को दर्शाता है।

इसलिए। किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको इसकी आवश्यकता है

1. निर्धारित करें कि कौन सा फ़ंक्शन बाहरी है और डेरिवेटिव की तालिका से संबंधित व्युत्पन्न ढूंढें।

2. एक मध्यवर्ती तर्क को परिभाषित करें।

इस प्रक्रिया में, सबसे बड़ी कठिनाई बाहरी फ़ंक्शन को ढूंढना है। इसके लिए एक सरल एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है:

एक। फ़ंक्शन का समीकरण लिखिए.

बी। कल्पना करें कि आपको x के कुछ मान के लिए किसी फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आप इस x मान को फ़ंक्शन समीकरण में प्रतिस्थापित करें और अंकगणित करें। आपके द्वारा की जाने वाली अंतिम क्रिया बाहरी कार्य है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन में

अंतिम क्रिया घातांक है।

आइए इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें। ऐसा करने के लिए, हम एक मध्यवर्ती तर्क लिखते हैं