Как решать десятичные дроби. Десятичные дроби: определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями

Чтобы рациональное число m/n записать в виде десятичной дроби, нужно числитель разделить на знаменатель. При этом частное записывается конечной или бесконечной десятичной дробью.

Записать данное число в виде десятичной дроби.

Решение. Разделим в столбик числитель каждой дроби на ее знаменатель: а) делим 6 на 25; б) делим 2 на 3; в) делим 1 на 2, а затем получившуюся дробь припишем к единице — целой части данного смешанного числа.

Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых не содержат других простых делителей, кроме 2 и 5 , записываются конечной десятичной дробью.

В примере 1 в случае а) знаменатель 25=5·5; в случае в) знаменатель равен 2, поэтому, мы получили конечные десятичные дроби 0,24 и 1,5 . В случае б) знаменатель равен 3, поэтому результат нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

А можно ли без деления в столбик обратить в десятичную дробь такую обыкновенную дробь, знаменатель которой не содержит других делителей, кроме 2 и 5? Разберемся! Какую дробь называют десятичной и записывают без дробной черты? Ответ: дробь со знаменателем 10; 100; 1000 и т.д. А каждое из этих чисел — это произведение равного количества «двоек» и «пятерок». На самом деле: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 и т.д.

Следовательно, знаменатель несократимой обыкновенной дроби нужно будет представить в виде произведения «двоек» и «пятерок», а затем домножить на 2 и (или) на 5 так, чтобы «двоек» и «пятерок» стало поровну. Тогда знаменатель дроби будет равен 10 или 100 или 1000 и т.д. Чтобы значение дроби не изменилось — числитель дроби умножим на то же число, на которое умножили знаменатель.

Представить в виде десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:

Решение. Каждая из данных дробей является несократимой. Разложим знаменатель каждой дроби на простые множители.

20=2·2·5. Вывод: не хватает одной «пятерки».

8=2·2·2. Вывод: не хватает трех «пятерок».

25=5·5. Вывод: не хватает двух «двоек».

Замечание. На практике чаще не используют разложение знаменателя на множители, а просто задаются вопросом: на сколько нужно умножить знаменатель, чтобы в результате получилась единица с нулями (10 или 100 или 1000 и т.д.). А затем на это же число умножают и числитель.

Так, в случае а) (пример 2 ) из числа 20 можно получить 100 умножением на 5, поэтому, на 5 нужно умножить числитель и знаменатель.

В случае б) (пример 2 ) из числа 8 число 100 не получится, но получится число 1000 умножением на 125. На 125 умножается и числитель (3) и знаменатель (8) дроби.

В случае в) (пример 2 ) из 25 получится 100, если умножить на 4. Значит, и числитель 8 нужно умножить на 4.

Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки.

В случае б) (пример 1 ) повторяющаяся цифра одна и равна 6. Поэтому, наш результат 0,66... запишется так: 0,(6) . Читают: нуль целых, шесть в периоде.

Если между запятой и первым периодом есть одна или несколько не повторяющихся цифр, то такая периодическая дробь называется смешанной периодической дробью.

Несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5 , обращается в смешанную периодическую дробь.

дробного числа.

Десятичная запись дробного числа представляет собой набор двух и более цифр от $0$ до $9$, между которыми находится так называемая \textit{десятичная запятая}.

Пример 1

Например, $35,02$; $100,7$; $123 \ 456,5$; $54,89$.

Крайняя левая цифра в десятичной записи числа не может быть нулем, исключением является только случай, когда десятичная запятая стоит сразу после первой цифры $0$.

Пример 2

Например, $0,357$; $0,064$.

Часто десятичную запятую заменяют десятичной точкой. Например, $35.02$; $100.7$; $123 \ 456.5$; $54.89$.

Определение десятичной дроби

Определение 1

Десятичные дроби -- это дробные числа, которые представлены в десятичной записи.

Например, $121,05$; $67,9$; $345,6700$.

Десятичные дроби используются для более компактной записи правильных обыкновенных дробей, знаменателями которых являются числа $10$, $100$, $1 \ 000$ и т.д. и смешанные числа, знаменателями дробной части которых являются числа $10$, $100$, $1 \ 000$ и т.д.

Например, обыкновенную дробь $\frac{8}{10}$ можно записать в виде десятичной дроби $0,8$, а смешанное число $405\frac{8}{100}$ -- в виде десятичной дроби $405,08$.

Чтение десятичных дробей

Десятичные дроби, которые соответствуют правильным обыкновенным дробям , читаются также как и обыкновенные дроби, только впереди добавляется фраза «ноль целых». Например, обыкновенной дроби $\frac{25}{100}$ (читается «двадцать пять сотых») отвечает десятичная дробь $0,25$ (читается «нуль целых двадцать пять сотых»).

Десятичные дроби, которые соответствуют смешанным числам, читаются также как и смешанные числа. Например, смешанному числу $43\frac{15}{1000}$ соответствует десятичная дробь $43,015$ (читается «сорок три целых пятнадцать тысячных»).

Разряды в десятичных дробях

В записи десятичной дроби значение каждой цифры зависит от ее позиции. Т.е. в десятичных дробях также имеет место понятие разряда .

Разряды в десятичных дробях до десятичной запятой называются так же, как и разряды в натуральных числах. Разряды в десятичных дробях после запятой вынесены в таблицу:

Рисунок 1.

Пример 3

Например, в десятичной дроби $56,328$ цифра $5$ стоит в разряде десятков, $6$ - в разряде единиц, $3$ - в разряде десятых, $2$ - в разряде сотых, $8$ -- в разряде тысячных.

Разряды в десятичных дробях различают по старшинству. При чтении десятичной дроби движутся слева направо -- от старшего разряда к младшему .

Пример 4

Например, в десятичной дроби $56,328$ старшим (высшим) разрядом является разряд десятков, а младшим (низшим) -- разряд тысячных.

Десятичную дробь можно разложить по разрядам аналогично разложению по разрядам натурального числа.

Пример 5

Например, разложим по разрядам десятичную дробь $37,851$:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Конечные десятичные дроби

Определение 2

Конечными десятичными дробями называют десятичные дроби, в записях которых содержится конечное число знаков (цифр).

Например, $0,138$; $5,34$; $56,123456$; $350 972,54$.

Любую конечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную дробь или смешанное число.

Пример 6

Например, конечной десятичной дроби $7,39$ отвечает дробное число $7\frac{39}{100}$, а конечной десятичной дроби $0,5$ соответствует правильная обыкновенная дробь $\frac{5}{10}$ (или любая дробь, которая равна ей, например, $\frac{1}{2}$ или $\frac{10}{20}$.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь

Перевод обыкновенных дробей со знаменателями $10, 100, \dots$ в десятичные дроби

Перед переводом некоторых правильных обыкновенных дробей в десятичные их нужно предварительно «подготовить». Результатом такой подготовки должно быть одинаковое количество цифр в числителе и количество нулей в знаменателе.

Суть «предварительной подготовки» правильных обыкновенных дробей к переводу в десятичные дроби -- дописывание слева в числителе такого числа нулей, чтобы общее количество цифр стало равно числу нулей в знаменателе.

Пример 7

Например, подготовим обыкновенную дробь $\frac{43}{1000}$ к переводу в десятичную и получим $\frac{043}{1000}$. А обыкновенная дробь $\frac{83}{100}$ в подготовке не нуждается.

Сформулируем правило перевода правильной обыкновенной дроби со знаменателем $10$, или $100$, или $1 \ 000$, $\dots$ в десятичную дробь :

записать $0$;

после него поставить десятичную запятую;

записать число из числителя (вместе с дописанными нулями после подготовки, если она была нужна).

Пример 8

Перевести правильную обыкновенную дробь $\frac{23}{100}$ в десятичную.

Решение.

В знаменателе стоит число $100$, которое содержит $2$ два нуля. В числителе стоит число $23$, в записи которого $2$.цифры. значит, подготовку для этой дроби к переводу в десятичную проводить не нужно.

Запишем $0$, поставим десятичную запятую и запишем число $23$ из числителя. Получим десятичную дробь $0,23$.

Ответ : $0,23$.

Пример 9

Записать правильную дробь $\frac{351}{100000}$ в виде десятичной дроби.

Решение.

В числителе данной дроби $3$ цифры, а число нулей в знаменателе -- $5$, поэтому данную обыкновенную дробь нужно подготовить к переводу в десятичную. Для этого необходимо дописать $5-3=2$ нуля слева в числителе: $\frac{00351}{100000}$.

Теперь можем составить нужную десятичную дробь. Для этого запишем $0$, затем поставим запятую и запишем число из числителя. Получим десятичную дробь $0,00351$.

Ответ : $0,00351$.

Сформулируем правило перевода неправильных обыкновенных дробей со знаменателями $10$, $100$, $\dots$ в десятичные дроби :

записать число из числителя;

отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби.

Пример 10

Перевести неправильную обыкновенную дробь $\frac{12756}{100}$ в десятичную дробь.

Решение.

Запишем число из числителя $12756$, затем отделим десятичной запятой $2$ цифры справа, т.к. в знаменателе исходной дроби $2$ нуля. Получим десятичную дробь $127,56$.

В данной статье мы с Вами разберемся, что такое десятичная дробь, какие у нее есть особенности и свойства. Поехали! 🙂

Десятичная дробь является частным случаем обыкновенных дробей (у которой знаменатель кратен 10).

Определение

Десятичными называют дроби, знаменатели которых представляют собой числа, состоящие из единицы и некоторого количества следующих за нею нулей. То есть это дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. Иначе десятичную дробь можно охарактеризовать как дробь со знаменателем 10 или одной из степеней десятки.

Примеры дробей:

, ,

Десятичная дробь записывается иначе, чем обыкновенная. Операции с этими дробями также отличны от операций с обыкновенными. Правила действий над ними в значительной мере приближены к правилами действий над целыми числами. Этим, в частности, обусловлена их востребованность при решении практических задач.

Представление дроби в десятичной записи

В записи десятичной дроби нет знаменателя, в ней отображено число числителя. В общем виде запись десятичной дроби осуществляется по такой схеме:

где Х – целая часть дроби, Y – ее дробная часть, «,» – десятичная запятая.

Для правильного представления обыкновенной дроби в виде десятичной требуется, чтобы она была правильной, то есть с выделенной целой частью (если это возможно) и числителем, который меньше знаменателя. Тогда в десятичной записи целая часть записывается до десятичной запятой (Х), а числитель обыкновенной дроби – после десятичной запятой (Y).

Если в числителе представлено число с количеством знаков, меньшим, чем количество нулей в знаменателе, то в части Y недостающее количество знаков в десятичной записи заполняется нулями впереди цифр числителя.

Пример:

Если обыкновенная дробь меньше 1, т.е. не имеет целой части, то для Х в десятичном виде записывают 0.

В дробной части (Y), после последнего значимого (отличного от нуля) разряда, может быть вписано произвольное количество нулей. На значение дроби это не влияет. И наоборот: все нули в конце дробной части десятичной дроби можно опустить.

Прочтение десятичных дробей

Часть Х читается в общем случае так: «Х целых».

Часть Y прочитывается в соответствии с числом в знаменателе. Для знаменателя 10 следует читать: «Y десятых», для знаменателя 100: «Y сотых», для знаменателя 1000: «Y тысячных» и так далее… 😉

Более корректным считается другой подход к прочтению, основанный на подсчете количества разрядов дробной части. Для этого нужно понимать, что дробные разряды расположены в зеркальном отражении по отношению к разрядам целой части дроби.

Наименования для правильного прочтения приведены в таблице:

Исходя из этого, прочтение должно опираться на соответствие наименованию разряда последней цифры дробной части.

• 3,5 читается как «три целых пять десятых»
• 0,016 читается как «ноль целых шестнадцать тысячных»

Перевод произвольной обыкновенной дроби в десятичную

Если в знаменателе обыкновенной дроби стоит 10 или какая-нибудь степень десятки, то перевод дроби выполняется как описано выше. В остальных ситуациях необходимы дополнительные преобразования.

Существует 2 способа перевода.

Первый способ перевода

Числитель и знаменатель необходимо домножить на такое целое число, чтобы в знаменателе было получено число 10 или одна из степеней десятки. А далее дробь представляется в десятичной записи.

Этот способ применим для дробей, знаменатель которых раскладывается только на 2 и 5. Так, в предыдущем примере . Если же в разложении присутствуют другие простые множители (например, ), то придется прибегнуть ко 2-му способу.

Второй способ перевода

2-й способ заключается в делении числителя на знаменатель в столбик или на калькуляторе. Целая часть, если таковая имеется, в преобразовании не участвует.

Правило деления в столбик, приводящее в результате к десятичной дроби, описано ниже (см. Деление десятичных дробей).

Перевод десятичной дроби в обыкновенную

Для этого следует ее дробную часть (справа от запятой) записать в виде числителя, а результат прочтения дробной части – в виде соответствующего числа в знаменателе. Далее, если это возможно, нужно сократить полученную дробь.

Конечная и бесконечная десятичная дробь

Конечной называют десятичная дробь, дробная часть которой состоит из конечного количества цифр.

Выше все приведенные примеры содержат именно конечные десятичные дроби. Однако не всякую обыкновенную дробь возможно представить в виде конечной десятичной. Если 1-й способ перевода для данной дроби не применим, а 2-й способ демонстрирует, что деление невозможно завершить, значит, получена может быть только бесконечная десятичная дробь.

В полном виде бесконечную дробь записать невозможно. В неполном же виде такие дроби можно представить:

1. как результат сокращения до желательного количества разрядов после запятой;
2. в виде периодической дроби.

Периодической называется дробь, у которой после запятой можно выделить повторяющуюся бесконечно последовательность цифр.

Остальные дроби называются непериодическими. Для непериодических дробей допустим только 1-й способ представления (округление).

Пример периодической дроби: 0,8888888… Здесь налицо повторяющаяся цифра 8, которая, очевидно, будет повторяться до бесконечности, поскольку нет оснований предполагать иное. Эта цифра называется периодом дроби .

Периодические дроби бывают чистыми и смешанными. Чистой является десятичная дробь, у которой период начинается непосредственно после запятой. У смешанной дроби до периода после запятой имеется 1 или больше цифр.

54,33333… – периодическая чистая десят.дробь

2,5621212121… – периодическая смешанная дробь

Примеры записи бесконечных десятичных дробей:

Во 2-м примере показано, как правильно оформлять период в записи периодической дроби.

Перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные

Для перевода чистой периодической дроби в обыкновенную ее период записывают в числитель, а в знаменатель пишут число, состоящее из девяток в количестве, равном количеству цифр в периоде.

Смешанная периодическая десятичная дробь переводится следующим образом:

1. нужно сформировать число, состоящее из числа, стоящего после запятой до периода, и первого периода;
2. из полученного числа вычесть число, стоящее после запятой до периода. Итог составит числитель обыкновенной дроби;
3. в знаменателе требуется вписать число, состоящее из кол-ва девяток, равных кол-ву цифр периода, а за ними нулей, кол-во которых равно количеству цифр числа, стоящего после запятой до 1-го периода.

Сравнение десятичных дробей

Десятичные дроби сравнивают первоначально по их целым частям. Больше та дробь, у которой больше ее целая часть.

Если целые части одинаковы, то сравнивают цифры соответствующих разрядов дробной части, начиная с первого (с десятых). Здесь действует тот же принцип: больше та из дробей, у которой больше разряд десятых; при равенстве цифр разряда десятых сравнивают разряды сотых и так далее.

Поскольку

, поскольку при равных целых частях и равных десятых в дробной части у 2-й дроби больше цифра сотых.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Десятичные дроби складывают и вычитают так же, как и целые числа, записав соответствующие цифры друг под другом. Для этого нужно, чтобы друг под другом находились десятичные запятые. Тогда единицы (десятки и т.д.) целой части, а также десятые (сотые и т.д.) дробной окажутся в соответствии. Недостающие разряды дробной части заполняют нулями. Непосредственно процесс сложения и вычитания осуществляется так же, как и для целых чисел.

Умножение десятичных дробей

Для умножения десятичных дробей нужно записать их друг под другом, выровняв по последней цифре и не обращая внимания на местоположение десятичных запятых. Затем нужно перемножить числа так же, как и при умножении целых чисел. После получения результата следует пересчитать количество цифр после запятой в обоих дробях и отделить запятой в результирующем числе суммарное количество дробных разрядов. Если разрядов не хватает, то они заменяются нулями.

Умножение и деление десятичных дробей на 10 n

Эти действия просты и сводятся к переносу десятичной запятой. При умножении запятая переносится вправо (дробь увеличивается) на количество знаков, равных количеству нулей в 10 n , где n – произвольная целая степень. То есть некоторое количество цифр переносится из дробной части в целую. При делении, соответственно, запятая переносится влево (число уменьшается), и некоторая часть цифр переносится из целой части в дробную. Если цифр для переноса оказывается недостаточно, то недостающие разряды заполняются нулями.

Деление десятичной дроби и целого числа на целое число и на десятичную дробь

Деление в столбик десятичной дроби на целое число выполняется аналогично делению двух целых чисел. Дополнительно требуется только учет положения десятичной запятой: при сносе цифры разряда, за которым следует запятая, необходимо поставить запятую после текущей цифры формируемого ответа. Далее нужно продолжать делить до получения нуля. Если знаков в делимом для полного деления недостает, в их качестве следует использовать нули.

Аналогично делятся в столбик 2 целых числа, если снесены все цифры делимого, а полное деление еще не завершено. В этом случае после сноса последней цифры делимого ставится десят.запятая в формирующемся ответе, а в качестве сносимых цифр используют нули. Т.е. делимое здесь, по сути, представляют как десятичную дробь с нулевой дробной частью.

Для деления десят.дроби (или целого числа) на десят.число необходимо домножить делимое и делитель на число 10 n , в котором количество нулей равно количеству цифр после десят.запятой в делителе. Таким способом избавляются от десят.запятой в дроби, на которую требуется делить. Далее процесс деления совпадает с описанным выше.

Графическое представление десятичных дробей

Графически десятичные дроби изображаются посредством координатной прямой. Для этого единичные отрезки делят дополнительно на 10 равных долей подобно тому, как на линейке откладываются одновременно сантиметры и миллиметры. Это обеспечивает точное отображение десятичных дробей и возможность объективного их сравнения.

Чтобы дольные деления на единичных отрезках были одинаковыми, следует тщательно продумывать длину самого единичного отрезка. Она должна быть такой, чтобы можно было обеспечить удобство дополнительного деления.

§ 102. Предварительные разъяснения.

В предыдущей части мы рассматривали дроби со всевозможными знаменателями и называли их обыкновенными дробями. Нас интересовала всякая дробь, которая возникала в процессе измерения или деления, независимо от того, какой у нас получался знаменатель.

Теперь из всего множества дробей мы выделим дроби со знаменателями: 10, 100, 1 000, 10 000 и т. д., т. е. такие дроби, знаменателями которых являются только числа, изображаемые единицей (1) с последующими нулями (одним или несколькими). Такие дроби называются десятичными.

Вот примеры десятичных дробей:

С десятичными дробями мы встречались и раньше, но не указывали никаких особых присущих им свойств. Теперь мы покажем, что они обладают некоторыми замечательными свойствами, вследствие чего упрощаются все вычисления с дробями.

§ 103. Изображение десятичной дроби без знаменателя.

Десятичные дроби обычно записывают не так, как обыкновенные, а по тем правилам, по которым записываются целые числа.

Чтобы понять, каким образом записать десятичную дробь без знаменателя, нужно припомнить, как пишется по десятичной системе любое целое число. Если, например, мы напишем трёхзначное число при помощи одной только цифры 2, т. е. число 222, то каждая из этих двоек будет иметь особое значение в зависимости от того места, какое она занимает в числе. Первая двойка с права обозначает единицы, вторая - десятки, третья - сотни. Таким образом, всякая цифра, стоящая влево от какой-либо другой цифры, обозначает единицы, в десять раз большие, чем те, которые обозначены предыдущей цифрой. Если какой-либо разряд отсутствует, то на его месте пишут нуль.

Итак, в целом числе на первом месте справа стоят единицы, на втором месте - десятки и т. д.

Теперь поставим вопрос, какого разряда единицы получатся, если мы, например, в числе 222 с правой стороны припишем ещё одну цифру. Чтобы ответить на этот вопрос, нужно принять во внимание, что последняя двойка (первая справа) обозначает единицы.

Следовательно, если после двойки, обозначающей единицы, мы, немного отступя, напишем ещё какую-нибудь цифру, например 3, то она будет обозначать единицы, в десять раз меньшие предыдущих , иными словами, она будет обозначать десятые доли единицы; получится число, содержащее 222 целых единицы и 3 десятые доли единицы.

Принято между целой и дробной частью числа ставить запятую, т. е. писать так:

Если мы после тройки в этом числе припишем ещё цифру, например 4, то она будет обозначать 4 сотых доли единицы; число примет вид:

и произносится: двести двадцать две целых, тридцать четыре сотых.

Новая цифра, например 5, будучи приписана к этому числу, даёт нам тысячные доли : 222,345 (двести двадцать две целых, триста сорок пять тысячных).

Для большей ясности расположение в числе целых и дробных разрядов можно представить в виде таблицы:

Таким образом, мы разъяснили, как пишутся десятичные дроби без знаменателя. Напишем несколько таких дробей.

Чтобы написать без знаменателя дробь 5 / 10 , нужно принять во внимание, что у неё нет целых и, значит, место целых должно быть занято нулём, т. е. 5 / 10 = 0,5.

Дробь 2 9 / 100 без знаменателя напишется так: 2,09, т. е. на месте десятых нужно поставить нуль. Если бы мы пропустили этот 0, то получили бы совсем другую дробь, а именно 2,9, т. е. две целых и девять десятых.

Значит, при написании десятичных дробей нужно обозначать нулём недостающие целые и дробные разряды:

0,325 - нет целых,
0,012 - нет целых и нет десятых,
1,208 - нет сотых,
0,20406 - нет целых, нет сотых и нет десятитысячных.

Цифры, стоящие правее запятой, принято называть десятичными знаками.

Чтобы не допустить ошибки при написании десятичных дробей, нужно помнить, что после запятой в изображении десятичной дроби должно быть столько цифр, сколько будет нулей в знаменателе, если бы эту дробь мы написали со знаменателем, т. е.

0,1 = 1 / 10 (в знаменателе один нуль и после запятой одна цифра);

§ 104. Приписывание нулей к десятичной дроби.

В предыдущем параграфе было рассказано, как изображаются десятичные дроби без знаменателей. Большое значение при написании десятичных дробей имеет нуль. Всякая правильная десятичная дробь имеет нуль на месте целых для обозначения того, что целые у такой дроби отсутствуют. Мы напишем сейчас несколько различных десятичных дробей с помощью цифр: 0, 3 и 5.

0,35 - 0 целых, 35 сотых,
0,035 - 0 целых, 35 тысячных,
0,305 - 0 целых, 305 тысячных,
0,0035 - 0 целых, 35 десятитысячных.

Выясним теперь, какое значение имеют н у л и, поставленные в конце десятичной дроби, т. е. справа .

Если мы возьмём целое число, например 5, поставим после него запятую, а затем после запятой напишем нуль, то этот нуль будет обозначать нуль десятых. Следовательно, этот приписанный справа нуль на величину числа не повлияет, т. е.

Возьмём теперь число 6,1 и припишем к нему справа нуль, получим 6,10, т. е. у нас после запятой была 1 / 10 , а стало 10 / 100 , но 10 / 100 равны 1 / 10 . Значит, величина числа не изменилась, а от приписывания справа нуля изменился только вид числа и произношение (6,1 - шесть целых одна десятая; 6,10 - шесть целых десять сотых).

Подобными рассуждениями мы можем убедиться в том, что приписывание справа нулей к десятичной дроби не изменяет её величины. Следовательно, можно написать такие равенства:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6,7 = 6,70000 и т. д.

Если же мы припишем нули слева от десятичной дроби, то они не будут иметь никакого значения. В самом деле, если слева от числа 4,6 мы напишем нуль, то число примет вид04,6. На каком месте стоит нуль? Он стоит на месте десятков, т. е. показывает, что в этом числе нет десятков, но это ясно и без нуля.

Следует, однако, запомнить, что иногда к десятичным дробям приписываются справа нули. Например, имеется четыре дроби: 0,32; 2,5; 13,1023; 5,238. Приписываем справа нули к тем дробям, у которых меньше десятичных знаков после запятой: 0,3200; 2,5000; 13,1023; 5,2380.

Для чего это сделано? Приписывая справа нули, мы получили у каждого числа после запятой четыре цифры, значит, у каждой дроби знаменатель будет 10 000, а до приписывания нулей у первой дроби знаменатель был 100, у второй 10, у третьей 10 000 и у четвёртой 1 000. Таким образом, приписыванием нулей мы уравняли число десятичных знаков наших дробей, т. е. привели их к общему знаменателю. Следовательно, приведение десятичных дробей к общему знаменателю осуществляется посредством приписывания нулей к этим дробям.

С другой стороны, если у какой-нибудь десятичной дроби имеются справа нули, то мы можем их отбросить, не изменяя её величины, например: 2,60 = 2,6; 3,150 = 3,15; 4,200 = 4,2.

Как нужно понимать такое отбрасывание нулей справа от десятичной дроби? Оно равносильно её сокращению, и это видно, если мы данные десятичные дроби запишем с знаменателем:

§ 105. Сравнение десятичных дробей по величине.

При употреблении десятичных дробей очень важно уметь сравнивать между собой дроби и отвечать на вопрос, какие из них равны, какие больше и какие меньше. Сравнение десятичных дробей выполняется иначе, чем сравнение целых чисел. Например, целое двузначное число всегда больше однозначного, сколько бы единиц ни было в однозначном числе; трёхзначное число больше двузначного и тем более однозначного. Но при сравнении десятичных дробей было бы ошибочно подсчитывать все знаки, при помощи которых написаны дроби.

Возьмём две дроби: 3,5 и 2,5, и сравним их по величине. Десятичные знаки у них одинаковые, но у первой дроби 3 целых, а у второй 2. Первая дробь больше второй, т. е.

Возьмём иные дроби: 0,4 и 0,38. Для сравнения этих дробей полезно приписать справа к первой дроби нуль. Тогда мы будем сравнивать дроби 0,40 и 0,38. Каждая из них имеет после запятой две цифры: значит, у этих дробей один и тот же знаменатель 100.

Нам нужно только сравнить их числители, но числитель 40 больше 38. Значит, первая дробь больше второй, т. е.

У первой дроби число десятых долей больше, чем у второй, правда, вторая дробь имеет ещё 8 сотых, но они меньше одной десятои, потому что 1 / 10 = 10 / 100 .

Сравним теперь такие дроби: 1,347 и 1,35. Припишем справа ко второй дроби нуль и будем сравнивать десятичные дроби: 1,347 и 1,350. Целые части у них одинаковы, значит, нужно сравнить только дробные части: 0,347 и 0,350. Знаменатель у этих дробей общий, но числитель второй дроби больше числителя первой, значит, вторая дробь больше первой, т. е. 1,35 > 1,347.

Сравним, наконец, ещё две дроби: 0,625 и 0,62473. Припишем к первой дроби два нуля, чтобы уравнялись разряды, и сравним полученные дроби: 0,62500 и 0,62473. Знаменатели у них одинаковы, но числитель первой дроби 62 500 больше числителя второй дроби 62 473. Следовательно, первая дробь больше второй, т. е. 0,625 > 0,62473.

На основании изложенного мы можем сделать такой вывод: из двух десятичных дробей та больше, у которой число целых больше; при равенстве целых та дробь больше, у которой число десятых больше; при равенстве целых и десятых та дробь больше, у которой число сотых больше, и т. д.

§ 106. Увеличение и уменьшение десятичной дроби в 10, в 100, в 1 000 и т. д. раз.

Мы уже знаем, что приписывание нулей к десятичной дроби не влияет на её величину. Когда же мы изучали целые числа, то видели, что всякий приписанный справа нуль увеличивал число в 10 раз. Нетрудно понять, почему это происходило. Если мы возьмём целое число, например 25, и припишем к нему справа нуль, то число увеличится в 10 раз, число 250 в 10 раз больше 25. Когда справа появился нуль, то число 5, которое раньше обозначало единицы, теперь стало обозначать десятки, а число 2, которое раньше обозначало десятки, теперь стало обозначать сотни. Значит, благодаря появлению нуля, прежние разряды заменились новыми, они укрупнились, они передвинулись на одно место влево. Когда нужно увеличить десятичную дробь, например, в 10 раз, то мы тоже должны передвинуть разряды на одно место влево, но такое передвижение не может быть достигнуто при помощи нуля. Десятичная дробь состоит из целой и дробной частей и границей между ними служит запятая. Слева от запятой стоит наинизший целый разряд, справа - наивысший дробный. Рассмотрим дробь:

Как нам передвинуть в ней разряды, хотя бы на одно место, т. е., другими словами, как нам увеличить её в 10 раз? Если мы передвинем запятую на одно место вправо, то прежде всего это отразится на судьбе пятёрки: она из области дробных чисел попадает в область целых. Число тогда примет вид: 12345,678. Изменение произошло и со всеми другими цифрами, а не только с пятёркой. Все входящие в число цифры стали играть новую роль, произошло следующее (см. таблицу):

Все разряды изменили своё наименование, и все разрядные единицы, так сказать, повысились на одно место. От этого всё число увеличилось в 10 раз. Таким образом, перенесение запятой на один знак вправо увеличивает число в 10 раз.

Рассмотрим ещё примеры:

1) Возьмём дробь 0,5 и перенесём запятую на одно место вправо; получим число 5, которое в 10 раз больше 0,5, потому что раньше пятёрка обозначала десятые доли единицы, а теперь она обозначает целые единицы.

2) Перенесём в числе 1,234 запятую на два знака вправо; число примет вид 123,4. Это число в 100 раз больше прежнего потому что в нём цифра 3 стала обозначать единицы, цифра 2 - десятки, а цифра 1 - сотни.

Таким образом, чтобы увеличить десятичную дробь в 10 раз, нужно перенести запятую в ней на один знак вправо; чтобы увеличить её в 100 раз, нужно перенести запятую на два знака вправо; чтобы увеличить в 1 000 раз - на три знака вправо, и т. д.

Если при этом не хватает знаков у числа, то приписывают к нему справа нули. Например, увеличим дробь 1,5 в 100 раз, перенеся запятую на два знака; получим 150. Увеличим дробь 0,6 в 1 000 раз; получим 600.

Обратно, если требуется уменьшить десятичную дробь в 10, в 100, в 1 000 и т. д. раз, то нужно перенести в ней запятую влево на один, два, три и т. д. знака. Пусть дана дробь 20,5; уменьшим её в 10 раз; для этого перенесём запятую на один знак влево, дробь примет вид 2,05. Уменьшим дробь 0,015 в 100 раз; получим 0,00015. Уменьшим число 334 в 10 раз; получим 33,4.

Мы уже говорили, что дроби бывают обыкновенные и десятичные . На данный момент мы немного изучили обыкновенные дроби. Мы узнали, что обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. Также мы узнали, что обыкновенные дроби можно сокращать, складывать, вычитать умножать и делить. И ещё мы узнали, что бывают так называемые смешанные числа, которые состоят из целой и дробной части.

Мы ещё не до конца изучили обыкновенные дроби. Есть немало тонкостей и деталей, о которых следует поговорить, но уже сегодня мы начнём изучать десятичные дроби, поскольку обыкновенные и десятичные дроби достаточно часто приходиться сочетать. То есть, при решении задач приходиться применять оба вида дробей.

Этот урок возможно покажется сложным и непонятным. Это вполне нормально. Такого рода уроки требуют, чтобы их именно изучали, а не просматривали поверхностно.

Содержание урока

Выражение величин в дробном виде

Иногда удобно бывает показать что-либо в дробном виде. Например, одна десятая часть дециметра записывается так:

Это выражение означает, что один дециметр был поделен на десять частей, и от этих десяти частей была взята одна часть:

Как видно на рисунке, одна десятая часть дециметра это один сантиметр.

Рассмотрим следующий пример. Показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах в дробном виде.

Итак, требуется выразить 6 см и 3 мм в сантиметрах, но в дробном виде. 6 целых сантиметров у нас уже есть:

но осталось еще 3 миллиметра. Как показать эти 3 миллиметра, при этом в сантиметрах? На помощь приходят дроби. 3 миллиметра это третья часть сантиметра. А третья часть сантиметра записывается как см

Дробь означает, что один сантиметр был разделен на десять равных частей, и от этих десяти частей взяли три части (три из десяти).

В результате имеем шесть целых сантиметров и три десятых сантиметра:

При этом 6 показывает число целых сантиметров, а дробь — число дробных сантиметров. Эта дробь читается как «шесть целых и три десятых сантиметра» .

Дроби, в знаменателе которых присутствуют числа 10, 100, 1000 можно записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целая часть отделяется от числителя дробной части запятой.

Например, запишем без знаменателя. Для этого сначала запишем целую часть. Целая часть это число 6. Записываем сначала это число:

Целая часть записана. Сразу же после написания целой части ставим запятую:

И теперь записываем числитель дробной части. В смешанном числе числитель дробной части это число 3. Записываем после запятой тройку:

Любое число, которое представляется в таком виде, называется десятичной дробью .

Поэтому показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах можно с помощью десятичной дроби:

6,3 см

Выглядеть это будет следующим образом:

На самом деле десятичные дроби это те же самые обыкновенные дроби и смешанные числа. Особенность таких дробей заключается в том, что в знаменателе их дробной части стоят числа 10, 100, 1000 или 10000.

Как и смешанное число, десятичная дробь имеет целую часть и дробную. Например, в смешанном числе целая часть это 6, а дробная часть это .

В десятичной дроби 6,3 целая часть это число 6, а дробная часть это числитель дроби , то есть число 3.

Бывает и так, что обыкновенные дроби в знаменателе которых числа 10, 100, 1000 даны без целой части. Например, дробь дана без целой части. Чтобы записать такую дробь как десятичную, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части. Дробь без знаменателя будет записана следующим образом:

Читается как «ноль целых, пять десятых» .

Перевод смешанных чисел в десятичные дроби

Когда мы записываем смешанные числа без знаменателя, мы тем самым переводим их в десятичные дроби. При переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби нужно знать несколько моментов, о которых мы сейчас поговорим.

После того, как записана целая часть, обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части, поскольку количество нулей дробной части и количество цифр после запятой в десятичной дроби должно быть одинаковым. Что это значит? Рассмотрим следующий пример:

Сначала

И можно бы сразу записать числитель дробной части и десятичная дробь готова, но обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части.

Итак, считаем количество нулей в дробной части смешанного числа . В знаменателе дробной части один ноль. Значит в десятичной дроби после запятой будет одна цифра и это цифра будет числитель дробной части смешанного числа , то есть число 2

Таким образом, смешанное число при переводе в десятичную дробь обращается в 3,2.

Эта десятичная дробь читается так:

«Три целых, две десятых»

«Десятых» потому что в дробной части смешанного числа находится число 10.

Пример 2. Перевести смешанное число в десятичную дробь.

Записываем целую часть и ставим запятую:

И можно бы сразу записать числитель дробной части и получить десятичную дробь 5,3 но правило говорит, что после запятой должно быть столько цифр сколько нулей в знаменателе дробной части смешанного числа . А мы видим, что в знаменателе дробной части два нуля. Значит в нашей десятичной дроби после запятой должно быть две цифры, а не одна.

В таких случаях числитель дробной части нужно немного видоизменить: добавить ноль перед числителем, то есть перед числом 3

Теперь можно перевести это смешанное число в десятичную дробь. Записываем целую часть и ставим запятую:

И записываем числитель дробной части:

Десятичная дробь 5,03 читается так:

«Пять целых, три сотых»

«Сотых» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа находится число 100.

Пример 3. Перевести смешанное число в десятичную дробь.

Из предыдущих примеров мы узнали, что для успешного перевода смешанного числа в десятичную дробь, количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части должно быть одинаковым.

Перед переводом смешанного числа в десятичную дробь, его дробную часть нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части было одинаковым.

В первую очередь смотрим на количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там три нуля:

Наша задача организовать в числителе дробной части три цифры. Одна цифра у нас уже есть — это число 2. Осталось добавить ещё две цифры. Ими будут два нуля. Добавим их перед число 2. В результате количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе станет одинаковым:

Теперь можно заняться переводом этого смешанного числа в десятичную дробь. Записываем сначала целую часть и ставим запятую:

и сразу записываем числитель дробной части

3,002

Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа одинаково.

Десятичная дробь 3,002 читается так:

«Три целых, две тысячных»

«Тысячных» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа находится число 1000.

Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби

Обыкновенные дроби, у которых в знаменателе числа 10, 100, 1000 или 10000, тоже можно перевести в десятичные дроби. Поскольку у обыкновенной дроби целая часть отсутствует, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части.

Здесь также количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе должно быть одинаковым. Поэтому следует быть внимательным.

Пример 1.

Целая часть отсутствует, значит сначала записываем 0 и ставим запятую:

Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там один ноль. И в числителе одна цифра. Значит можно спокойно продолжить десятичную дробь, записав после запятой число 5

В полученной десятичной дроби 0,5 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.

Десятичная дробь 0,5 читается так:

«Ноль целых, пять десятых»

Пример 2. Перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь.

Целая часть отсутствует. Записываем сначала 0 и ставим запятую:

Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там два нуля. А в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество цифр и количество нулей одинаковым, добавим в числителе перед числом 2 один ноль. Тогда дробь примет вид . Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь:

В полученной десятичной дроби 0,02 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.

Десятичная дробь 0,02 читается так:

«Ноль целых, две сотых».

Пример 3. Перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь.

Записываем 0 и ставим запятую:

Теперь считаем количество нулей в знаменателе дроби . Видим, что там пять нулей, а в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаковым, нужно в числителе перед числом 5 дописать четыре нуля:

Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь. Записываем после запятой числитель дроби

В полученной десятичной дроби 0,00005 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.

Десятичная дробь 0,00005 читается так:

«Ноль целых, пять стотысячных».

Перевод неправильных дробей в десятичную дробь

Неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Встречаются неправильные дроби, у которых в знаменателе находятся числа 10, 100, 1000 или 10000. Такие дроби можно переводить в десятичные дроби. Но перед переводом в десятичную дробь, у таких дробей необходимо выделять целую часть.

Пример 1.

Дробь является неправильной дробью. Чтобы перевести такую дробь в десятичную дробь, нужно в первую очередь выделить у нее целую часть. Вспоминаем, как выделять целую часть у неправильных дробей. Если забыли, советуем вернуться к и изучить его.

Итак, выделим целую часть в неправильной дроби . Напомним, что дробь означает деление — в данном случае деление числа 112 на число 10

Посмотрим на этот рисунок и соберём новое смешанное число, подобно детскому конструктору. Число 11 будет целой частью, число 2 — числителем дробной части, число 10 — знаменателем дробной части.

Мы получили смешанное число . Его и переведём в десятичную дробь. А как переводить такие числа в десятичные дроби мы уже знаем. Сначала записываем целую часть и ставим запятую:

Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там один ноль. И в числителе дробной части одна цифра. Значит количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:

В полученной десятичной дроби 11,2 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.

Значит неправильная дробь при переводе в десятичную дробь обращается в 11,2

Десятичная дробь 11,2 читается так:

«Одиннадцать целых, две десятых».

Пример 2. Перевести неправильную дробь в десятичную дробь.

Это неправильная дробь, поскольку числитель больше знаменателя. Но её можно перевести в десятичную дробь, поскольку в знаменателе находится число 100.

В первую очередь выделим целую часть этой дроби. Для этого разделим 450 на 100 уголком:

Соберём новое смешанное число — получим . А как переводить смешанные числа в десятичные дроби мы уже знаем.

Записываем целую часть и ставим запятую:

Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части. Видим, что количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:

В полученной десятичной дроби 4,50 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена верно.

Значит неправильная дробь при переводе в десятичную дробь обращается в 4,50

При решении задач, если в конце десятичной дроби оказываются нули, их можно отбросить. Давайте и мы отбросим ноль в нашем ответе. Тогда мы получим 4,5

Это одна из интересных особенностей десятичных дробей. Она заключается в том, что нули которые стоят в конце дроби, не придают этой дроби никакого веса. Другими словами, десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Поставим между ними знак равенства:

4,50 = 4,5

Возникает вопрос: а почему так происходит? Ведь на вид 4,50 и 4,5 разные дроби. Весь секрет кроется в основном свойстве дроби, котором мы изучали ранее. Мы попробуем доказать, почему равны десятичные дроби 4,50 и 4,5, но после изучения следующей темы, которая называется «перевод десятичной дроби в смешанное число».

Перевод десятичной дроби в смешанное число

Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в смешанное число. Для этого достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 6,3 в смешанное число. 6,3 это шесть целых и три десятых. Записываем сначала шесть целых:

и рядом три десятых:

Пример 2. Перевести десятичную дробь 3,002 в смешанное число

3,002 это три целых и две тысячных. Записываем сначала три целых

и рядом записываем две тысячных:

Пример 3. Перевести десятичную дробь 4,50 в смешанное число

4,50 это четыре целых и пятьдесят сотых. Записываем четыре целых

и рядом пятьдесят сотых:

Кстати, давайте вспомним последний пример из предыдущей темы. Мы сказали, что десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Также мы сказали, что ноль можно отбросить. Попробуем доказать, что десятичные 4,50 и 4,5 равны. Для этого переведем обе десятичные дроби в смешанные числа.

После перевода в смешанное число десятичная дробь 4,50 обращается в , а десятичная дробь 4,5 обращается в

Имеем два смешанных числа и . Переведём эти смешанные числа в неправильные дроби:

Теперь имеем две дроби и . Настало время вспомнить основное свойство дроби, которое говорит, что при умножении (или делении) числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, значение дроби не изменяется.

Давайте разделим первую дробь на 10

Получили , а это вторая дробь. Значит и равны между собой и равны одному и тому же значению:

Попробуйте на калькуляторе разделить сначала 450 на 100, а затем 45 на 10. Забавная штука получится.

Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь

Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в обыкновенную дробь. Для этого опять же достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 0,3 в обыкновенную дробь. 0,3 это ноль целых и три десятых. Записываем сначала ноль целых:

и рядом три десятых 0 . Ноль по традиции не записывают, поэтому окончательный ответ будет не 0, а просто .

Пример 2. Перевести десятичную дробь 0,02 в обыкновенную дробь.

0,02 это ноль целых и две сотых. Ноль по не записываем, поэтому сразу записываем две сотых

Пример 3. Перевести 0,00005 в обыкновенную дробь

0,00005 это ноль целых и пять сто тысячных. Ноль не записываем, поэтому сразу записываем пять сто тысячных

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках