Сложные производные. Логарифмическая производная.
Производная степенно-показательной функции

Продолжаем повышать свою технику дифференцирования. На данном уроке мы закрепим пройденный материал, рассмотрим более сложные производные, а также познакомимся с новыми приемами и хитростями нахождения производной, в частности, с логарифмической производной.

Тем читателям, у кого низкий уровень подготовки, следует обратиться к статье Как найти производную? Примеры решений , которая позволит поднять свои навыки практически с нуля. Далее необходимо внимательно изучить страницу Производная сложной функции , понять и прорешать все приведенные мной примеры. Данный урок логически третий по счету, и после его освоения Вы будете уверенно дифференцировать достаточно сложные функции. Нежелательно придерживаться позиции «Куда еще? Да и так хватит!», поскольку все примеры и приёмы решения взяты из реальных контрольных работ и часто встречаются на практике.

Начнем с повторения. На уроке Производная сложной функции мы рассмотрели ряд примеров с подробными комментариями. В ходе изучения дифференциального исчисления и других разделов математического анализа – дифференцировать придется очень часто, и не всегда бывает удобно (да и не всегда нужно) расписывать примеры очень подробно. Поэтому мы потренируемся в устном нахождении производных. Самым подходящими «кандидатами» для этого являются производные простейших из сложных функций, например:

По правилу дифференцирования сложной функции :

При изучении других тем матана в будущем такая подробная запись чаще всего не требуется, предполагается, что студент умеет находить подобные производные на автопилоте автомате. Представим, что в 3 часа ночи раздался телефонный звонок, и приятный голос спросил: «Чему равна производная тангенса двух икс?». На это должен последовать почти мгновенный и вежливый ответ: .

Первый пример будет сразу предназначен для самостоятельного решения.

Пример 1

Найти следующие производные устно, в одно действие, например: . Для выполнения задания нужно использовать только таблицу производных элементарных функций (если она еще не запомнилась). Если возникнут затруднения, рекомендую перечитать урок Производная сложной функции .

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Ответы в конце урока

Сложные производные

После предварительной артподготовки будут менее страшны примеры, с 3-4-5 вложениями функций. Возможно, следующие два примера покажутся некоторым сложными, но если их понять (кто-то и помучается), то почти всё остальное в дифференциальном исчислении будет казаться детской шуткой.

Пример 2

Найти производную функции

Как уже отмечалось, при нахождении производной сложной функции, прежде всего, необходимо правильно РАЗОБРАТЬСЯ во вложениях. В тех случаях, когда есть сомнения, напоминаю полезный приём: берем подопытное значение «икс», например, и пробуем (мысленно или на черновике) подставить данное значение в «страшное выражение».

1) Сначала нам нужно вычислить выражение , значит, сумма – самое глубокое вложение.

2) Затем необходимо вычислить логарифм:

4) Потом косинус возвести в куб:

5) На пятом шагу разность:

6) И, наконец, самая внешняя функция – это квадратный корень:

Формула дифференцирования сложной функции применятся в обратном порядке, от самой внешней функции, до самой внутренней. Решаем:

Вроде без ошибок….

(1) Берем производную от квадратного корня.

(2) Берем производную от разности, используя правило

(3) Производная тройки равна нулю. Во втором слагаемом берем производную от степени (куба).

(4) Берем производную от косинуса.

(5) Берем производную от логарифма.

(6) И, наконец, берем производную от самого глубокого вложения .

Может показаться слишком трудно, но это еще не самый зверский пример. Возьмите, например, сборник Кузнецова и вы оцените всю прелесть и простоту разобранной производной. Я заметил, что похожую штуку любят давать на экзамене, чтобы проверить, понимает студент, как находить производную сложной функции, или не понимает.

Следующий пример для самостоятельного решения.

Пример 3

Найти производную функции

Подсказка: Сначала применяем правила линейности и правило дифференцирования произведения

Полное решение и ответ в конце урока.

Настало время перейти к чему-нибудь более компактному и симпатичному.
Не редка ситуация, когда в примере дано произведение не двух, а трёх функций. Как найти производную от произведения трёх множителей?

Пример 4

Найти производную функции

Сначала смотрим, а нельзя ли произведение трех функций превратить в произведение двух функций? Например, если бы у нас в произведении было два многочлена, то можно было бы раскрыть скобки. Но в рассматриваемом примере все функции разные: степень, экспонента и логарифм.

В таких случаях необходимо последовательно применить правило дифференцирования произведения два раза

Фокус состоит в том, что за «у» мы обозначим произведение двух функций: , а за «вэ» – логарифм: . Почему так можно сделать? А разве – это не произведение двух множителей и правило не работает?! Ничего сложного нет:

Теперь осталось второй раз применить правило к скобке :

Можно еще поизвращаться и вынести что-нибудь за скобки, но в данном случае ответ лучше оставить именно в таком виде – легче будет проверять.

Рассмотренный пример можно решить вторым способом:

Оба способа решения абсолютно равноценны.

Пример 5

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения, в образце он решен первым способом.

Рассмотрим аналогичные примеры с дробями.

Пример 6

Найти производную функции

Здесь можно пойти несколькими путями:

Или так:

Но решение запишется более компактно, если в первую очередь использовать правило дифференцирования частного , приняв за весь числитель:

В принципе, пример решён, и если его оставить в таком виде, то это не будет ошибкой. Но при наличии времени всегда желательно проверить на черновике, а нельзя ли ответ упростить? Приведём выражение числителя к общему знаменателю и избавимся от трёхэтажности дроби :

Минус дополнительных упрощений состоит в том, что есть риск допустить ошибку уже не при нахождении производной, а при банальных школьных преобразованиях. С другой стороны, преподаватели нередко бракуют задание и просят «довести до ума» производную.

Более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти производную функции

Продолжаем осваивать приёмы нахождения производной, и сейчас мы рассмотрим типовой случай, когда для дифференцирования предложен «страшный» логарифм

Пример 8

Найти производную функции

Тут можно пойти длинным путём, используя правило дифференцирования сложной функции:

Но первый же шаг сразу повергает в уныние – предстоит взять неприятную производную от дробной степени , а потом ещё и от дроби .

Поэтому перед тем как брать производную от «навороченного» логарифма, его предварительно упрощают, используя известные школьные свойства:

! Если под рукой есть тетрадь с практикой, перепишите эти формулы прямо туда. Если тетради нет, перерисуйте их на листочек, поскольку оставшиеся примеры урока буду вращаться вокруг этих формул.

Само решение можно оформить примерно так:

Преобразуем функцию:

Находим производную:

Предварительное преобразование самой функции значительно упростило решение. Таким образом, когда для дифференцирования предложен подобный логарифм, то его всегда целесообразно «развалить».

А сейчас пара несложных примеров для самостоятельного решения:

Пример 9

Найти производную функции

Пример 10

Найти производную функции

Все преобразования и ответы в конце урока.

Логарифмическая производная

Если производная от логарифмов – это такая сладкая музыка, то возникает вопрос, а нельзя ли в некоторых случаях организовать логарифм искусственно? Можно! И даже нужно.

Пример 11

Найти производную функции

Похожие примеры мы недавно рассмотрели. Что делать? Можно последовательно применить правило дифференцирования частного, а потом правило дифференцирования произведения. Недостаток способа состоит в том, что получится огромная трехэтажная дробь, с которой совсем не хочется иметь дела.

Но в теории и практике есть такая замечательная вещь, как логарифмическая производная. Логарифмы можно организовать искусственно, «навесив» их на обе части:

Теперь нужно максимально «развалить» логарифм правой части (формулы перед глазами?). Я распишу этот процесс очень подробно:

Собственно приступаем к дифференцированию.
Заключаем под штрих обе части:

Производная правой части достаточно простая, её я комментировать не буду, поскольку если вы читаете этот текст, то должны уверенно с ней справиться.

Как быть с левой частью?

В левой части у нас сложная функция . Предвижу вопрос: «Почему, там же одна буковка «игрек» под логарифмом?».

Дело в том, что эта «одна буковка игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (если не очень понятно, обратитесь к статье Производная от функции, заданной неявно). Поэтому логарифм – это внешняя функция, а «игрек» – внутренняя функция. И мы используем правило дифференцирования сложной функции :

В левой части как по мановению волшебной палочки у нас «нарисовалась» производная . Далее по правилу пропорции перекидываем «игрек» из знаменателя левой части наверх правой части:

А теперь вспоминаем, о каком таком «игреке»-функции мы рассуждали при дифференцировании? Смотрим на условие:

Окончательный ответ:

Пример 12

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения. Образец оформления примера данного типа в конце урока.

С помощью логарифмической производной можно было решить любой из примеров №№4-7, другое дело, что там функции проще, и, может быть, использование логарифмической производной не слишком-то и оправдано.

Производная степенно-показательной функции

Данную функцию мы еще не рассматривали. Степенно-показательная функция – это функция, у которой и степень и основание зависят от «икс» . Классический пример, который вам приведут в любом учебнике или на любой лекции:

Как найти производную от степенно-показательной функции?

Необходимо использовать только что рассмотренный приём – логарифмическую производную. Навешиваем логарифмы на обе части:

Как правило, в правой части из-под логарифма выносится степень:

В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое будет дифференцироваться по стандартной формуле .

Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи:

Дальнейшие действия несложны:

Окончательно:

Если какое-то преобразование не совсем понятно, пожалуйста, внимательно перечитайте объяснения Примера №11.

В практических заданиях степенно-показательная функция всегда будет сложнее, чем рассмотренный лекционный пример.

Пример 13

Найти производную функции

Используем логарифмическую производную.

В правой части у нас константа и произведение двух множителей – «икса» и «логарифма логарифма икс» (под логарифм вложен еще один логарифм). При дифференцировании константу, как мы помним, лучше сразу вынести за знак производной, чтобы она не мешалась под ногами; и, конечно, применяем знакомое правило :

Как видите, алгоритм применения логарифмической производной не содержит в себе каких-то особых хитростей или уловок, и нахождение производной степенно-показательной функции обычно не связано с «мучениями».

И теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:

Пусть 1) функция $u=\varphi (x)$ имеет в некоторой точке $x_0$ производную $u_{x}"=\varphi"(x_0)$, 2) функция $y=f(u)$ имеет в соответствующей точке $u_0=\varphi (x_0)$ производную $y_{u}"=f"(u)$. Тогда сложная функция $y=f\left(\varphi (x) \right)$ в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций $f(u)$ и $\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_{u}"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

или, в более короткой записи: $y_{x}"=y_{u}"\cdot u_{x}"$.

В примерах этого раздела все функции имеют вид $y=f(x)$ (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной $x$). Соответственно, во всех примерах производная $y"$ берётся по переменной $x$. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной $x$, часто вместо $y"$ пишут $y"_x$.

В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.

Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.

Пример №1

Найти производную функции $y=e^{\cos x}$.

Нам нужно найти производную сложной функции $y"$. Так как $y=e^{\cos x}$, то $y"=\left(e^{\cos x}\right)"$. Чтобы найти производную $\left(e^{\cos x}\right)"$ используем формулу №6 из таблицы производных . Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае $u=\cos x$. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения $\cos x$ вместо $u$:

$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)" \tag {1.1}$$

Теперь нужно найти значение выражения $(\cos x)"$. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя $u=x$ в формулу №10, имеем: $(\cos x)"=-\sin x\cdot x"$. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:

$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)"= e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot x") \tag {1.2} $$

Так как $x"=1$, то продолжим равенство (1.2):

$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)"= e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot x")=e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^{\cos x} \tag {1.3} $$

Итак, из равенства (1.3) имеем: $y"=-\sin x\cdot e^{\cos x}$. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, - как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.

Ответ : $y"=-\sin x\cdot e^{\cos x}$.

Пример №2

Найти производную функции $y=9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x)$.

Нам необходимо вычислить производную $y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"$. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)" \tag {2.1} $$

Теперь обратимся к выражению $\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"$. Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{12}\right)"$. Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u"$. В эту формулу подставим $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ и $\alpha=12$:

Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag {2.2} $$

В этой ситуации часто допускается ошибка, когда решатель на первом шаге выбирает формулу $(\arctg \; u)"=\frac{1}{1+u^2}\cdot u"$ вместо формулы $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u"$. Дело в том, что первой должна находиться производная внешней функции. Чтобы понять, какая именно функция будет внешней для выражения $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$, представьте, что вы считаете значение выражения $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$ при каком-то значении $x$. Сначала вы посчитаете значение $5^x$, потом умножите результат на 4, получив $4\cdot 5^x$. Теперь от этого результата берём арктангенс, получив $\arctg(4\cdot 5^x)$. Затем возводим полученное число в двенадцатую степень, получая $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$. Последнее действие, - т.е. возведение в степень 12, - и будет внешней функцией. И именно с неё надлежит начинать нахождение производной, что и было сделано в равенстве (2.2).

Теперь нужно найти $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac{1}{1+(4\cdot \ln x)^2}\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Немного упростим полученное выражение, учитывая $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac{1}{1+(4\cdot \ln x)^2}\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Равенство (2.2) теперь станет таким:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)" \tag {2.3} $$

Осталось найти $(4\cdot \ln x)"$. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$. Для того, чтобы найти $(\ln x)"$ используем формулу №8, подставив в нее $u=x$: $(\ln x)"=\frac{1}{x}\cdot x"$. Так как $x"=1$, то $(\ln x)"=\frac{1}{x}\cdot x"=\frac{1}{x}\cdot 1=\frac{1}{x}$. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)"=\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot 4\cdot \frac{1}{x}=432\cdot \frac{\arctg^{11}(4\cdot \ln x)}{x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)}. $$

Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, - как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.

Ответ : $y"=432\cdot \frac{\arctg^{11}(4\cdot \ln x)}{x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)}$.

Пример №3

Найти $y"$ функции $y=\sqrt{\sin^3(5\cdot9^x)}$.

Для начала немного преобразим функцию $y$, выразив радикал (корень) в виде степени: $y=\sqrt{\sin^3(5\cdot9^x)}=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}$. Теперь приступим к нахождению производной. Так как $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}$, то:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)" \tag {3.1} $$

Используем формулу №2 из таблицы производных , подставив в неё $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac{3}{7}$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"= \frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}-1} (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))" \tag {3.2} $$

Теперь нужно найти $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" \tag {3.3} $$

Осталось найти $(5\cdot 9^x)"$. Для начала вынесем константу (число $5$) за знак производной, т.е. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9^x)"$. Для нахождения производной $(9^x)"$ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё $a=9$ и $u=x$: $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"$. Так как $x"=1$, то $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Теперь можно продолжить равенство (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)"= \frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}$ в виде $\frac{1}{\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{4}{7}}}=\frac{1}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}$. Тогда производная будет записана в такой форме:

$$ y"=\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \frac{\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}. $$

Ответ : $y"=\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \frac{\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}$.

Пример №4

Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.

В формуле №2 таблицы производных записана производная функции $u^\alpha$. Подставляя $\alpha=-1$ в формулу №2, получим:

$$(u^{-1})"=-1\cdot u^{-1-1}\cdot u"=-u^{-2}\cdot u"\tag {4.1}$$

Так как $u^{-1}=\frac{1}{u}$ и $u^{-2}=\frac{1}{u^2}$, то равенство (4.1) можно переписать так: $\left(\frac{1}{u} \right)"=-\frac{1}{u^2}\cdot u"$. Это и есть формула №3 таблицы производных.

Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё $\alpha=\frac{1}{2}$:

$$\left(u^{\frac{1}{2}}\right)"=\frac{1}{2}\cdot u^{\frac{1}{2}-1}\cdot u"=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\cdot u"\tag {4.2} $$

Так как $u^{\frac{1}{2}}=\sqrt{u}$ и $u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{u}}$, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:

$$ (\sqrt{u})"=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot u"=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u" $$

Полученное равенство $(\sqrt{u})"=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u"$ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения $\alpha$.

Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу

и сделать вот такое лицо:

Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь , старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.

Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот "сложнейший" процесс представлен на схеме ниже:

Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а \(x\), при этом «пакетами» и «коробками» служат разные .

Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию :

В результате получим, ясное дело, \(\cos⁡x\). Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» - запаковываем, например, в кубическую функцию.

Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».

Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» - «упаковка в упаковке».

В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре:

Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию . Получим:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в , а потом в :

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Просто, правда?

Напиши теперь сам функции, где икс:
- сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием \(3\);
- сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
- сначала в логарифм по основанию \(4\) , затем в степень \(-2\).

Ответы на это задание посмотри в конце статьи.

А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» \(4\) раза:

\(y=5^{\log_2⁡{\sin⁡(x^4)}}\)

Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше - у них может быть и посложнее☺).

«Распаковка» сложной функции

Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть - какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.

Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в \(4\)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию \(2\), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

Например, вот такая функция: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Еще пример: \(y=\cos⁡{(x^3)}\). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: \(x → x^3 → \cos⁡{(x^3)}\). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть \(\cos⁡{(x·x·x)})\), а там в кубе косинус \(x\) (то есть, \(\cos⁡x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».

Последний пример (с важной информацией в нем): \(y=\sin⁡{(2x+5)}\). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: \(x → 2x+5 → \sin⁡{(2x+5)}\). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.

Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных - два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) - тоже простая функция. Например, \(x^7\) – простая функция и \(ctg x\) - тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:

\(x^7+ ctg x\) - простая,
\(x^7· ctg x\) – простая,
\(\frac{x^7}{ctg x}\) – простая и т.д.

Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:

Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:
\(y=cos{⁡(sin⁡x)}\)
\(y=5^{x^7}\)
\(y=arctg⁡{11^x}\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Ответы опять в конце статьи.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция - это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.

Вот в этом примере: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), функция \(\log_2⁡x\) – внутренняя, а
- внешняя.

А в этом: \(y=\cos⁡{(x^3+2x+1)}\), \(x^3+2x+1\) - внутренняя, а
- внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось - будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

Производная сложной функции

Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Формула эта читается так:

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.

И сразу смотри схему разбора, по словам, чтобы, понимать, что к чему относиться:

Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» - мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?

Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.

Пусть у нас есть функция \(y=\sin⁡(x^3)\). Понятно, что внутренняя функция здесь \(x^3\), а внешняя
. Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.

В этой статье мы будем говорить о таком важном математическом понятии, как сложная функция, и учиться находить производную сложной функции.

Прежде чем учиться находить производную сложной функции, давайте разберемся с понятием сложной функции, что это такое, "с чем ее едят", и "как правильно ее готовить".

Рассмотрим произвольную функцию, например, такую:

Заметим, что аргумент , стоящий в правой и левой части уравнения функции - это одно и то же число, или выражение.

Вместо переменной мы можем поставить, например, такое выражение: . И тогда мы получим функцию

Назовем выражение промежуточным аргументом, а функцию - внешней функцией. Это не строгие математические понятия, но они помогают уяснить смысл понятия сложной функции.

Строгое определение понятия сложной функции звучит так:

Пусть функция определена на множестве и - множество значений этой функции. Пусть, множество (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим в соответствие каждому из число . Тем самым на множестве будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией, - внешняя функция, - промежуточный аргумент.

Производная сложной функции находится по такому правилу:

Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:

В этом выражении с помощью обозначена промежуточная функция.

Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно

1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.

2. Определить промежуточный аргумент.

В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:

а. Запишите уравнение функции.

б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.

Например, в функции

Последнее действие - возведение в степень.

Найдем производную этой функции. Для этого запишем промежуточный аргумент

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f"(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y". Отметим, что y" = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f"(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f"(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f"(x) \), т.е. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. Например, для функции \(y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f"(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f"(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции - дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C - постоянное число и f=f(x), g=g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования :

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ (Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac{f}{g} \right) " = \frac{f"g-fg"}{g^2} $$ $$ \left(\frac{C}{g} \right) " = -\frac{Cg"}{g^2} $$ Производная сложной функции:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Таблица производных некоторых функций

$$ \left(\frac{1}{x} \right) " = -\frac{1}{x^2} $$ $$ (\sqrt{x}) " = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^{a-1} $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac{1}{x} $$ $$ (\log_a x)" = \frac{1}{x\ln a} $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text{tg} x)" = \frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ (\text{ctg} x)" = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ $$ (\arcsin x)" = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\arccos x)" = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\text{arctg} x)" = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ (\text{arcctg} x)" = \frac{-1}{1+x^2} $$