Бетон и раствор. Элемент, подверженный чистому изгибу Упругий и пластический моменты сопротивления
Внецентренное растяжение (сжатие) вызывается силой, параллельной оси бруса, но не совпадающей с ней. Внецентренное растяжение (сжатие) может быть сведено к осевому растяжению (сжатию) и косому изгибу, если перенести силу P в центр тяжести сечения. Внутренние силовые факторы в произвольном поперечном сечении бруса равны:
где y p , z p - координаты точки приложения силы. На основании принципа независимости действия сил напряжения в точках поперечного сечения при внецентренном растяжении (сжатии) определяются по формуле: или
Где - радиусы инерции сечения. Выражение в скобках в уравнении показывает во сколько раз напряжения при внецентренном растяжении (сжатии) больше напряжений центрального растяжения.
Определение напряжений и деформаций при ударе
Целью расчета сооружения на удар является определение наибольших деформаций и напряжений, возникающих в результате удара.
В курсе сопротивления материалов предполагается, что напряжения, возникающие в системе при ударе, не превышают пределов упругости и пропорциональности материала, а потому при изучении удара можно использовать закон Гука. F x = F упр = –kx . Это соотношение выражает экспериментально установленный закон Гука. Коэффициент k называется жесткостью тела. В системе СИ жесткость измеряется в ньютонах на метр (Н/м). Коэффициент жесткости зависит от формы и размеров тела, а также от материала. отношение σ = F / S = –Fупр / S , где S – площадь поперечного сечения деформированного тела, называется напряжением. Тогда закон Гука можно сформулировать так: относительная деформация ε пропорциональна напряжению
В основе приближенной теории удара, рассматриваемой в курсе сопротивления материалов, лежит гипотеза о том, что эпюра перемещений системы от груза Р при ударе (в любой момент времени) подобна эпюре перемещений, возникающих от этого же груза, но действующего статически.
Ой типичные кривые ползучести, построенные в экспериментах при одинаковой температуре, но при разных напряжениях; вторая – при одинаковых напряжениях, но различных температурах.
Пластический момент сопротивления
- пластический момент сопротивления, равный сумме статических моментов верхней и нижней частей сечения и имеющий для разных сечений различные значения. несколько больше обычного момента сопротивления ; так, для прямоугольного сечения = 1,5 
для прокатных двутавров и швеллеров 
Практические расчёты на ползучесть
Суть расчета конструкции на ползучесть заключается в том, что деформация деталей не будет превышать допустимого уровня, при котором нарушится конструктивная функция, т.е. взаимодействие узлов, за весь срок эксплуатации конструкции. При этом должно выполняться условие
разрешив которое, получаем уровень рабочих напряжений.
Подбор сечения стержней
При решении задач на подбор сечений в стержнях в большинстве случаев используется следующий план: 1) Через продольные силы в стержнях определяем расчётную нагрузку. 2) Далее через условие прочности осуществляем подбор сечений согласно ГОСТ. 3) Затем определяем абсолютные и относительные деформации.
При малых усилиях в сжатых стержнях подбор сечения производится по заданной предельной гибкости λ пр. Сначала определяется требуемый радиус инерции:
а по радиусу инерции подбираются соответствующие уголки. Для облегчения определения необходимых габаритов сечения, позволяющих наметить необходимые размеры уголков, в таблице “Приблеженные значения радиусов” инерций сечений элементов из уголков приведены приближенные значения радиусов инерции для различных сечений элементов из уголков.
Ползучесть материалов
Ползучесть материалов - медленная непрерывная пластическая деформация твёрдого тела под воздействием постоянной нагрузки или механического напряжения. Ползучести в той или иной мере подвержены все твёрдые тел, как кристаллические, так и аморфные. Ползучесть наблюдают при растяжении, сжатии, кручении и других видах нагружения. Ползучесть описывается так называемой кривой ползучести, которая представляет собой зависимость деформации от времени при постоянных температуре и приложенной нагрузке. Полная деформация в каждую единицу времени представляет собой сумму деформаций
ε = ε е + ε р + ε с,
где ε е - упругая составляющая; ε р - пластическая составляющая, возникающая при возрастании нагрузки от 0 до Р; ε с - деформация ползучести, возникающая с течением времени при σ = const.
Напряжение при изгибе в упругой стадии распределяется в сечении по линейному закону. Напряжения в крайних волокнах для симметричного сечения определяются формулой:
где М – изгибающий момент;
W - момент сопротивления сечения.
С увеличением нагрузки (или изгибающего момента М) напряжения будут увеличиваться и достигнут значения предела текучести R yn .
Ввиду того, что предела текучести достигли только крайние волокна сечения, а соединенные с ними менее напряженные волокна могут еще работать, несущая способность элемента не исчерпана. С дальнейшим увеличением изгибающего момента будет происходить удлинение волокон сечения, однако напряжения не могут быть больше R yn . Предельной эпюрой будет такая, в которой верхняя часть сечения до нейтральной оси равномерно сжата напряжением R yn . Несущая способность элемента при этом исчерпывается, а он может как бы поворачиваться вокруг нейтральной оси без увеличения нагрузки; образуется шарнир пластичности.
где W пл = 2S – пластический момент сопротивления
S – cтатический момент половины сечения относительно оси, проходящий через центр тяжести.
Пластический момент сопротивления, а следовательно предельный момент, отвечающий шарниру пластичности больше упругого. Нормами разрешается учитывать развитие пластических деформаций для разрезных прокатных балок, закрепленных от потери устойчивости и несущих статическую нагрузку. Значение пластических моментов сопротивления при этом принимаются: для прокатных двутавров и швеллеров:
W пл =1,12W – при изгибе в плоскости стенки
W пл = 1,2W – при изгибе параллельно полкам.
Для балок прямоугольного поперечного сечения W пл = 1,5 W.
По нормам проектирования развития пластических деформаций допускается учитывать для сварных балок постоянного сечения при отношениях ширины свеса сжатого пояса к толщине пояса и высоты стенки к ее толщине .
В местах наибольших изгибающих моментов недопустимы наибольшие касательные напряжения; они должны удовлетворять условию:
Если зона чистого изгиба имеет большую протяженность, соответствующий момент сопротивления во избежании чрезмерных деформаций принимается равным 0,5(W yn +W пл).
В неразрезных балках за предельное состояние принимается образование шарниров пластичности, но при условии сохранения системой своей неизменяемости. Нормами разрешается при расчете неразрезных балок (прокатных и сварных) определять расчетные изгибающие моменты исходя из выравнивания опорных и пролетных моментов (при условии, что смежные пролеты отличаются не больше чем на 20%).
Во всех случаях, когда расчетные моменты принимаются в предположении развития пластических деформаций (выравнивания моментов), проверку прочности следует производить по упругому моменту сопротивления по формуле:
При расчете балок из алюминиевых сплавов развитие пластических деформаций не учитывается. Пластические деформации пронизывают не только наиболее напряженное сечение балки в месте наибольшего изгибающего момента, но и распространяются по длине балки. Обычно в изгибаемых элементах кроме нормальных напряжений от изгибающего момента есть еще и касательное напряжение от поперечной силы. Поэтому условие начала перехода металла в пластическое состояние в этом случае должно определяться приведенными напряжениями че d:
Как уже отмечалось, начало текучести в крайних фибрах (волокнах) сечения еще не исчерпывает несущие способности изгибаемого элемента. При совместном действии и предельная несущая способность примерно на 15% выше чем при упругой работе, и условие образования шарнира пластичности записывается в виде:
При этом должно быть .
| " |
Mbt = Wpl Rbt,ser - обычная формула сопромата, в которую только внесена поправка на неупругие деформации бетона растянутой зоны: Wpl - упруго-пластический момент сопротивления приведенного сечения. Его можно определить по формулам Норм или из выражения Wpl = gWred , где Wred - упругий момент сопротивления приведенного сечения для крайнего растянутого волокна (в нашем случае - нижнего), g = (1,25...2,0) - зависит от формы сечения и определяется по таблицам справочников. Rbt,ser - расчетное сопротивление бетона растяжению для предельных состояний 2-й группы (численно равное нормативному Rbt, n ).
153. Почему неупругие свойства бетона увеличивают момент сопротивления сечения?
Рассмотрим простейшее прямоугольное бетонное (без арматуры) сечение и обратимся к рис.75,в, на котором показана расчетная эпюра напряжений накануне образования трещин: прямоугольная в растянутой и треугольная в сжатой зоне сечения. По условию статики равнодействующие усилий в сжатой Nb и в растянутойNbt зонах равны между собой, значит равны и соответствующие площади эпюр, а это возможно, если напряжения в крайнем сжатом волокне вдвое больше растягивающих: s b= 2Rbt, ser . Равнодействующие усилий в сжатой и растянутой зонах Nb = = Nbt = Rbt, ser bh / 2, плечо между ними z = h / 4 + h / 3 = 7h / 12. Тогда момент, воспринимаемый сечением, равен M = Nbtz = (Rbt, ser bh/ 2)(7h/ 12)= = Rbt, ser bh 27/ 24 = Rbt, ser (7/4)bh 2/6, или M = Rbt, ser 1,75 W . То есть, для прямоугольного сечения g = 1,75. Таким образом, момент сопротивления сечения возрастает благодаря принятой в расчете прямоугольной эпюре напряжений в растянутой зоне, вызванной неупругими деформациями бетона.
154. Как рассчитывают нормальные сечения по образованию трещин при внецентренном сжатии и растяжении?
Принцип расчета тот же, что и при изгибе. Нужно только помнить, что моменты продольных сил N от внешней нагрузки принимают относительно ядровых точек (рис. 76, б, в):
при внецентренном сжатии Мr = N (eo - r ), при внецентренном растяжении Мr = N (eo + r ). Тогда условие трещиностойкости принимает вид: Mr ≤ Mcrc = Mrp + Mbt - то же, что и при изгибе. (Вариант центрального растяжения рассмотрен в вопросе 50.) Напомним, что отличительной особенностью ядровой точки является то, что приложенная в ней продольная сила вызывает на противоположной грани сечения нулевые напряжения (рис. 78).
155. Может ли трещиностойкость железобетонного изгибаемого элемента быть выше его прочности?
В практике проектирования действительно встречаются случаи, когда по расчету Mcrc > Mu . Чаще всего подобное происходит в преднапряженных конструкциях с центральным армированием (сваях, дорожных бортовых камнях и т.п.), которым арматура требуется только на период перевозки и монтажа и у которых она расположена по оси сечения, т.е. вблизи нейтральной оси. Объясняется это явление следующими причинами.
Рис. 77, Рис. 78
В момент образования трещины растягивающее усилие в бетоне передается арматуре при соблюдении условия: Mcrc= Nbt z1 = Ns z2 (рис. 77) – для простоты рассуждений работа арматуры до образования трещины здесь не учтена. Если окажется, что Ns = Rs As ≤ Nbt z1 / z2 , то одновременно с образованием трещин происходит и разрушение элемента, что подтверждается многочисленными экспериментами. Для некоторых конструкций такая ситуация может оказаться чреватой внезапным обрушением, поэтому Нормы проектирования в этих случаях предписывают увеличить на 15 % площадь сечения арматуры, если она подобрана расчетом по прочности. (Кстати, именно подобные сечения в Нормах именуются «слабо армированными», что вносит некоторую путаницу в давно устоявшуюся научно-техническую терминологию.)
156. В чем особенность расчета нормальных сечений по образованию трещин в стадии обжатия, транспортировки и монтажа?
Все зависит от того, трещиностойкость какой грани проверяют и какие при этом действуют усилия. Например, если при перевозке балки или плиты подкладки находятся на значительном расстоянии от торцов изделия, то в опорных сечениях действует отрицательный изгибающий момент Мw от собственного веса qw (с учетом коэффициента динамичности kД = 1,6 - см. вопрос 82). Сила обжатия Р1 (с учетом первых потерь и коэффициента точности натяжения gsp > 1) создает момент того же знака, поэтому ее рассматривают как внешнюю силу, которая растягивает верхнюю грань (рис.79), и при этом ориентируются на нижнюю ядровую точку r ´. Тогда условие трещиностойкости имеет вид:
Мw + P1 (eop - r ´ )≤ Rbt,ser W ´pl , где W ´pl - упруго-пластический момент сопротивления для верхней грани. Заметим еще, что величина Rbt,ser должна соответствовать передаточной прочности бетона.
157. Влияет ли наличие начальных трещин в зоне, сжатой от внешней нагрузки, на трещиностойкость растянутой зоны?
Влияет, причем отрицательно. Начальные трещины, образовавшиеся в стадии обжатия, перевозки или монтажа под воздействием момента от собственного веса Mw , уменьшают размеры поперечного сечения бетона (заштрихованная часть на рис. 80), т.е. уменьшают площадь, момент инерции и момент сопротивления приведенного сечения. За этим следует увеличение напряжений обжатия бетона sbp , увеличение деформаций ползучести бетона, рост потерь напряжений в арматуре от ползучести, уменьшение силы обжатия Р и снижение трещиностойкости той зоны, которая будет растянута от внешней (эксплуатационной) нагрузки.
Чистый изгиб в одной из главных плоскостей
Сеченые с двумя осями симметрии.
Пусть в сечении действует изгибающий момент Mx от нагрузки (рис. 2.2), который возрастает до предельного значения. При этом сечение будет последовательно находиться в упругом, упруго пластическом и пластическом состояниях.
При упругой работе напряжения σ и относительные деформации ε в сечении распределены линейно (рис. 2.2, а). Это состояние ограничено достижением предела текучести σfl в крайних волокнах сечения. Соответствующий изгибающий момент
Назовем его предельным упругим изгибающим моментом.
При достижении предела текучести в крайних волокнах несущая способность сечения еще не исчерпана. При дальнейшем возрастании изгибающего момента относительные деформации в сечении увеличиваются, и их эпюра остается линейной. Напряжения при этом увеличиваются в тех волокнах, в которых они еще не достигали предела текучести σfl. В зонах текучести напряжения сохраняют постоянное значение σfl (рис. 2.2, b). Изгибающий момент в таком упругопластическом состоянии с относительной деформацией ε1 на крайнем волокне сечения равен
Дальнейшая стадия упругопластической работы сечения показана на рис. 2.2, с. В этом состоянии упругая часть относительно мала и сосредоточена возле нейтральной оси. Для вычисления изгибающего момента приближенно принимается прямоугольное распределение напряжений в растянутой и сжатой частях сечения. В этом случае упругая часть сечения становится равной нулю (Wel=0).
Изгибающий момент, соответствующий полной текучести сечения, называется предельным пластическим изгибающим моментом и определяется по формуле
Формулы для вычисления пластического момента сопротивления Z для некоторых характерных сечений и значения коэффициентов формы сечения при изгибе f=Z/W приведены в табл. 2.1.
Предельный пластический изгибающий момент Mpl характеризует предельную пластическую несущую способность сечений при изгибе.
Оценим погрешность, которая возникает в результате допущения о распределении напряжений в виде двух прямоугольников. Для этого сделаем анализ теоретического выражения для упруго пластического момента в случае, когда относительная деформация в крайнем волокне ε1 достаточно велика (например, равна относительной деформации упрочнения реальной стали). Рассматриваемое распределение напряжений в упругопластическом состоянии (рис. 2.3, а), представим двумя эпюрами (рис. 2.3, b, с). Тогда изгибающий момент Мεx можно записать в виде
Для прямоугольного сечения имеем
Для двутаврового сечения в соответствии с рис. 2.2,b находим
Из подобия треугольников для деформаций ε получим зависимости
Поскольку предел текучести является случайной переменной величиной, относительная деформация εfl для определенной стали может принимать разные значения. В результате статистического анализа предела текучести в работах, получено, что большая часть значений σfl находится в следующих интервалах:
- для стали класса 37
230Н/мм2 ≤ σfl ≤ 330 Н/мм2;
- для стали класса 52
330Н/мм2 ≤ σfl ≤ 430Н/мм2.
При этом соответствующие относительные деформации εfl равны:
для стали класса 37
0,0011 ≤ εfl ≤ 0,0016;
для стали класса 52
0,0016 ≤ εfl ≤ 0,0020.
Значение относительной деформации ε1 и ε1,s в крайних волокнах сечения и стенки принимаем ε1=ε1,s=0,012, что примерно соответствует деформации начала упрочнения стали при испытании ее на растяжение.
С учетом формул (2.21) получим:
- для стали класса 37
0,046 ≤ Уel/h ≤ 0,067;
- для стали класса 52
0,067 ≤ Уel/h ≤ 0,083.
Отношение Ml,x/Мpl,x в уравнении (2.17) дня прямоугольного сечения изменяется в пределах:
- для стали класса 37
0,0028 ≤ Мl,x/Mpl,x ≤ 0,0060;
- для стали класса 52
0,0060 ≤ Ml,x/Mpl,x ≤ 0,0092.
Для двутаврового сечения эти значения зависят не только от класса стали, но и от размеров поперечного сечения, которые могут быть охарактеризованы обобщенным параметром ρ, примерно равным отношению площади пояса к площади стенки. Для часто применяемых размеров сечений значения ρ даны на рис. 2.4.
Полученные результаты показывают, что для рассмотренных поперечных сечений значения отношений Ml,x/Mpl,x в уравнении (2.17) значительно меньше 1,0 и их можно не учитывать. Имеются сечения, для которых численные значения Ml,x/Mpl,x не являются столь малыми, например, двутавровое сечение, нагруженное перпендикулярно стенке. Если в расчете учитывать площадь стенки, сосредоточенную возле нейтральной оси, то в принятой эпюре напряжений появляется скачок. В связи с этим более правильно учитывать в расчете только два пояса, т.е. прямоугольное сечение.
В заключение необходимо отметить, что если предельный пластический изгибающий момент Mpl,x определяют в предположении распределения напряжений по двум прямоугольникам в сжатой и растянутой областях сечения (см. рис. 2.3, b), то несущая способность оказывается преувеличенной незначительно. С другой стороны, в этом случае можно принимать допущение о малых деформациях и не учитывать эффект упрочнения материала.
Полностью пластифицированное сечение не может воспринимать дальнейшее увеличение изгибающего момента и при постоянной предельной нагрузке поворачивается, т.е. ведет себя как шарнир. Поэтому такое состояние сечения также называют пластическим шарниром.
Пластический шарнир качественно отличается от обычного шарнира. Необходимо отметить два основных отличия:
- обычный шарнир не способен воспринимать изгибающий момент, а в пластическом шарнире изгибающий момент равен Mpl;
- обычный шарнир допускает поворот в двух направлениях, а пластический шарнир только в направлении действующего момента Mpl. Приуменьшении изгибающего момента упруго пластический материал снова начинает работать как упругое тело.
В изложенных выводах учитывалось только действие изгибающих моментов. Наряду с этим должно быть выполнено и условие равновесия продольных сил, которое для пластического состояния выражается уравнением
Это условие определяет положение нейтральной оси, дня нахождения которого сечение необходимо разделить на две равновеликие части. Для сечений с двумя осями симметрии нейтральная ось в пластическом состоянии совпадает с центральной осью сечения.
Как уже отмечалось, разгрузка происходит упруго, что определенным образом влияет на напряженное состояние сечения.
В дальнейшем мы не будем исследовать случаи разгрузки в упругопластическом состоянии, а остановимся на анализе полной разгрузки пластифицированного сечения.
Если при нагружении предельный пластический изгибающей момент равен Mpl,x=σflZx, то полная разгрузка сечения произойдет при действии изгибающего момента противоположного знака -Mpl,x=σWx (рис. 25, а, b), откуда
Из формулы (2.24) следует, что условное напряжение при разгрузке можно определить по формуле
Остаточные напряжения в крайних волокнах сечения при этом равны
Распределение остаточных напряжений по высоте сечения приведено на рис. 2.5, с и d. Таким образом, напряжения в крайних волокнах сечения изменяют знак, а у нейтральной оси остаточные напряжения равны пределу текучести σfl.
Из уравнения (2.26) следует, что принятое предположение об упругой разгрузке выполняется при fx=Zx/Wx ≤ 2,0; в противном случае было бы σ1≥σfl. Сечения стальных конструкций в большинстве случаев соответствуют указанному значению отношений моментов сопротивления сечения.
Сечение с одной осью симметрии.
Пусть ось Y является осью симметрии сечения и изгибающий момент действует в плоскости УZ (рис. 2.6, а). В процессе его увеличения текучесть появляется в первую очередь в нижних, а затем и в верхних волокнах сечения. Процесс развития пластических деформаций зависит от положения центральной оси X.
Условия равновесия для упруго пластического состояния с одной осью симметрии приведены в работах. Здесь рассмотрим только случай полной пластификации сечения (рис. 2.6, b) и его разгрузки (рис. 2.6, с, d).
Условие равновесия нормальных сил
приводит к тому же результату, как и в предыдущем случае, т.е. к формуле, аналогичной (2.23):
Отличием является то, что нейтральная ось X- не совпадает с центральной осью X. Уравнение (2.28) является условием для определения положения нейтральной оси в сечении с одной осью симметрии.
Условие равновесия моментов в сечении имеет вид
Таким образом, пластический момент сопротивления сечения может быть определен как сумма абсолютных значений статических моментов половин площади сечения относительно нейтральной оси:
Разгрузка сечения, в котором образовался пластический шарнир, происходит неупруго. Упругая разгрузка сечения с одной осью симметрии возможна только в том случае, когда сечение находится в определенной стадии упругопластического состояния.
На рис. 2.6 показано распределение напряжений при разгрузке полностью пластифицированного сечения. Если бы разгрузка происходила упруго, распределение напряжений от разгружающего изгибающего момента имело бы вид, показанный на рис. 2.6, с штриховой линией. При этом суммарные напряжения от нагрузки и разгрузки (рис. 2.6, b, с) между центральной осью X и нейтральной X оказались бы большими, чем σfl. Эта область в процессе разгрузки исключена из рассмотрения. В ней действуют только пластические деформации. В результате уменьшения активной площади поперечного сечения должны возрасти напряжения от разгрузки, как это изображено сплошной линией на рис. 2.6, с. Нейтральная ось при разгрузке, совпадающая с центральной осью сечения (точка 1), перемещается в новое положение (точка 3).
Суммарная эпюра остаточных напряжений от нагрузки и условных в результате разгрузки изображена на рис. 2.6, d. Напряжения σl в верхних волокнах не всегда изменяют знак, что определяется положением оси, проходящей через центр тяжести сечения. Если ось расположена близко от верхнего крайнего волокна, то напряжения σl меньше, чем σfl.
Примеры.
Приведем примеры вычисления пластических моментов сопротивления сечений Zx или Zy.
Зависимость для определения пластического момента сопротивления дана уравнением (2.30) , в которое входят статические моменты половин площади сечения относительно нейтральной оси. Преобразуем эту формулу. Рассмотрим сечение с одной осью симметрии У (рис. 2.7), для которого X - центральная, а X- - нейтральная оси. Положение нейтральной оси X- определяется из условия (2.28).
Центр тяжести верхней половины площади сечения находится в точке Th, нижней - в точке Td. Пластический момент сопротивления Zх, определяемый уравнением (2.30), согласно рис. 2.7, можно выразить формулой
Поскольку точка T является центром тяжести всего сечения, то расстояние между точками Th и T или Td и T равно r/2. Из этого следует другое определение, которое естественно распространяется и на сечения с двумя осями симметрии. Пластический момент сопротивления сечения равен удвоенному абсолютному значению статического момента половины площади сечения относительно оси X, проходящей через центр тяжести сечения.
Чистый изгиб в одной из главных плоскостей балки неоднородного сечения.
Общие решения.
Пусть сечения балки состоят из верхнего и нижнего поясов и стенки, которые имеют разные пределы текучести, но одинаковый модуль упругости.
При увеличении изгибающего момента вначале текучесть появляется в крайнем волокне одной части сечения, а затем она распространяется по всему сечению. Место, в котором возникнут первые пластические деформации, зависит от отношения значений пределов текучести и геометрических размеров сечения.
При решении задач не будем заниматься анализом упруго пластического состояния, а рассмотрим только случай полного пластического шарнира.
Поперечное сечение балки и значения пределов текучести стали приведены на рис. 2.10, а. Распределение напряжений в упругом состоянии изображено на рис. 2.10, b, в пластическом шарнире на рис. 2.10, с.
Условие равновесия продольных сил в пластическом шарнире
Его можно записать в виде
Уравнение (2.33) является условием для определения положения нейтральной оси X-.
Условие равновесия изгибающих моментов имеет следующий вид:
Правая часть этого уравнения выражает предельный пластический изгибающий момент, который можно записать следующим образом:
Запишем его в следующем виде:
Часто применяется симметричное сечение F1=F2, в котором оба пояса имеют одинаковый предел текучести σfl,p. Тогда предельный изгибающий момент
В практике обычно проектируют так, что стенка имеет меньший предел текучести, чем пояса. При этом необходимо тщательно проверить стенку на местную устойчивость с учетом влияния поперечных сил на несущую способность. Эти проблемы будут рассмотрены позднее.
По нормам ЧСН 73 1401 для сечений, в которых применены стали одного класса с разными расчетными сопротивлениями (например, сталь класса 37 - пояса толщиной более 25 мм с R=200 Н/мм2 и стенка толщиной до 25 мм с R=210 Н/мм2), не требуется выполнять расчет как для комбинированных сечений. В этом случае расчет проводят как для однородного сечения с меньшим расчетным сопротивлением.
Чистый изгиб в двух главных плоскостях.
При косом изгибе в сечении действуют изгибающие моменты Mx и My. В лом случае предельное состояние сечения определяется не каким-либо одним из предельных пластических изгибающих моментов Мpl,x или Mpl,y в отдельности, а кривой взаимодействия между этими предельными изгибающими моментами
Теоретическим решением задачи о косом изгибе занимался А.Р. Ржаницын. Его решение относится к произвольному поперечному сечению и основано на определении кривой центров тяжести половин площадей сечения при изменении направления плоскости изгиба.
Исследованием упругопластического и пластического состояний двутаврового и швеллерного сечений занималась А.И. Стрельбицкая. Приведем ее основные результаты для двутаврового сечения и оценим точность, получаемую при идеализации распределения напряжений в пластическом состоянии.
Зависимости между изгибающими моментами в упругопластическом состоянии.
При косом изгибе двутаврового сечения могут иметь место четыре случая распределения напряжений (рис. 2.11). В случаях, показанных на рис. 2.11, а и 5, пластические деформации возникают только в отдельных частях поясов, а в случаях, представленных на рис. 2.11, с и d, в поясах и в стенке.
Целью решения является определение упруго пластических моментов Mε,x и Mε,y. Распределение относительных деформаций и напряжений, показаное на рис. 2.11, b, с, характеризуется значениями относительной деформации крайнего волокна пояса ε=kεfl и размерами а, с, u. C учетом задаваемого параметра k, определяющего превышение относительной деформации крайнего волокна по сравнению с εfl, для решения зада чи остается пять неизвестных.
Теоретическое решение для относительных изгибающих моментов Mε,x/Mpl,x и Мε,у/Mpl,y приведем только для случаев, показанных на рис. 2.11, b и d. Вместе с тем результаты, полученные для всех случаев развития пластических деформаций и нескольких значений k для характерного двутаврового сечения, покажем на графике.
Для случая, когда u>а (рис. 2.11, d), из подобия треугольников для эпюры относительных деформаций получим
После простых преобразований находим
Подобным образом определяем
Из условия равновесия изгибающих моментов Мх=Мε,х и Му=Мε,у пол учим следующие два уравнения:
Для случая, когда u≤а (рис. 2.11,b), выполняется условие (2.40) и для изгибающих моментов имеем
Отношение u/(b/2) выполняет здесь роль параметра. Принимая его значения в интервале для рассматриваемого сечения с характеристикой р=dpbh0/(ds hs2) и заданного значения относительной деформацией kεfl, можем определить значения отношений изгибающих моментов. С помощью полученных таким образом точек можно построить кривую их взаимодействия.
Граница между случаями, когда стенки находятся в упругом и пластическом состояниях, определяется условием u=а. Подставляя u вместо а в уравнение (2.40), получим граничное значение
Если параметр u/(b/2) меньше, чем это значение, то стенка находится в упругом состоянии, если больше - то в пластическом.
Кривые взаимодействия изгибающих моментов Mε,x и Мε,y для сечений с геометрическим параметром p=1,0 для k от 1,0 (упругое состояние) до ∞ (пластический шарнир) приведены на рис. 2.12.
Им соответствуют наибольшие относительные деформации крайнего волокна пояса ε=kεfl, меньшие или равные относительной деформации в начале упрочнения стали при растяжении.
Зависимости между изгибающими моментами в пластическом состоянии.
Пластическое состояние соответствует распределению напряжений, показанному на рис. 2.11, d. Определим предельные изгибающие моменты Mpl,x и Мpl,у и установим влияние принятого распределения напряжений на кривые взаимодействия по сравнению с распределением конечных деформаций в упруго пластическом состоянии.
Из условия равновесия изгибающих моментов получим
Первые части этих уравнений, выражающие предельные изгибающие моменты Mpl,x и Мpl,у с учетом параметра p можно записать в виде
Полученные уравнения являются частными случаями уравнений (2.42) и (2.43) при k=∞.
Вычисляя параметр u/(b/2) из первого уравнения (2.48) и подставляя его во второе, получим выражение для предельной кривой взаимодействия изгибающих моментов
Графики этих кривых для разных значений р приведены на рис. 2.13.
Оценку влияния принятого распределения напряжений, показанного на рис. 2.11, d, на кривые взаимодействия изгибающих моментов Мpl,x и Mpl,y выполним путем сравнения кривой для p=1,0, приведенной на рис. 2.13 и справедливой при k=∞, с кривыми, показанными на рис. 2.12. При k=10,20 и ∞ кривые взаимодействия очень близко расположены одна к другой, а для двух последних значений k они практически сливаются. На этом основании можно сделать вывод, что, если за предельное пластическое состояние сечения принять достижение относительной деформации (10-20) которая соответствует относительной деформации в начале упрочнения наиболее часто применяемых сталей, то для кривой взаимодействия изгибающих моментов с достаточной точностью можно принимать уравнение (2.49), строго справедливое при k=∞.
Подбор сечений, согласно ЧСН 73 1401, при чистом изгибе.
Расчеты, согласно нормам ЧСН 73 1401/1966 "Проектирование стальных конструкций" впервые выполнялись на основе метода предельных состояний. При изгибе в одной из главных плоскостей предельный изгибающий момент определялся по формуле
При этом для сечений, в которых изгибающий момент от расчетной нагрузки равен M, должно выполняться условие
Для предотвращения чрезмерных прогибов нормы ограничивали значение пластического момента сопротивления сечения. При этом в расчетах допускалось принимать наибольшее его значение, которое не должно было превышать 1,2 упругого момента сопротивления сечения. При наличии области чистого изгиба на длине, составляющей более 1/5 пролета балки, нормы требовали принимать среднее значение упругого и пластического моментов сопротивлений, однако не более 1,1W.
В пересмотренных нормах ЧСН 73 1401/1976 пластические расчеты существенно усовершенствованы и дополнены. Новые нормы, так же как и старые, требуют проверки только несущей способности конструкций. Чтобы исключить чрезмерные деформации, в нормах введен коэффициент условий работы m=0,95, что снижает вероятность достижения предельного состояния конструкций.
В новых нормах, как и в старых, пластический изгибающий момент определяется из зависимости (2.50). Условие несущей способности сечения при изгибе в одной из главных плоскостей имеет вид
Пластический момент сопротивления Z должен составлять не более 1,5 упругого момента сопротивления сечения W. Если элемент конструкции подвержен действию чистого изгиба на длине балки, составляющей более 1/5 ее пролета, то пластический момент сопротивления сечения не должен превышать 0,5 (Z+W).
Следует отметить, что требование, ограничивающее значение пластического момента сопротивления, может не выполняться, если будет доказано, что пластические деформации не нарушают работу конструкций. В этом случае нормы допускают выполнение более детального расчета.
Для неоднородного двутаврового сечения предельный пластический изгибающий момент относительно оси X определяется по формуле
Уравнение (2.53) применяется при условии
Похожие статьи
-
Замораживаем рыжики на зиму Хранение соленых рыжиков
Вкусные, питательные и полезные рыжики отлично подходят для добавления в повседневные блюда или в качестве изысканного угощения к праздничному столу. Наиболее популярным вариантом их приготовления является засолка холодным способом,...
-
Золотые кони хана батыя - легендарные сокровища, точное местонахождение
из Энциклопедии чудес, загадок и тайн ЗОЛОТЫЕ КОНИ ХАНА БАТЫЯ - легендарные сокровища, точное местонахождение которых до сих пор неизвестно. История коней примерно такова: После того, как хан Батый разорил Рязань и Киев, он...
-
Какую говядину лучше варить
Покупка мяса - это самая существенная часть продовольственного бюджета любой семьи (за исключением вегетарианской). Кто-то предпочитает свинину, кто-то птицу, однако наиболее полезной и питательной считается говядина. Это мясо не самое...
-
Какие социальные сети существуют для общения с друзьями и родственниками
Сегодня соцсети настолько прочно укоренились в нашей жизни, что состав пятерки самых популярных социальных площадок практически не меняется из года в год. Тем не менее, масштабы проникновения и использования этих соцсетей отличаются в...
-
Обзор самых новых лекарств от рака
Предлагаю вашему вниманию простые, проверенные временем, средства народной медицины, которые помогут при онкологических заболеваниях .Звездчатка (мокрица). Сок растения, крепкий настой и отвар применяется для местных ванн и примочек при...
-
Самые действенные способы защиты от сглаза, порчи, колдовства, зависти
Признаками магического нападения могут являться: любые физические, психоэмоциональные отклонения без особой на-то причины. С целью защиты в отражения удара в той же самой магии выработаны довольно мощные приемы, которые отрабатывались не...