Дискриминант корни уравнения. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Библиографическое описание: Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Ельков А. А., Шильненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмелева О. В. Способы решения квадратных уравнений // Юный ученый. — 2016. — №6.1. — С. 17-20..02.2019).



Наш проект посвящен способам решения квадратных уравнений. Цель проекта: научиться решать квадратные уравнения способами, не входящими в школьную программу. Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться их использовать самим и познакомить одноклассников с этими способами.

Что же такое «квадратные уравнения»?

Квадратное уравнение - уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где a , b , c - некоторые числа (a ≠ 0 ), x - неизвестное.

Числа a, b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.

• a называется первым коэффициентом;
• b называется вторым коэффициентом;
• c - свободным членом.

А кто же первый "изобрёл" квадратные уравнения?

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения. Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был индийский ученый Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).

Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax2 + bх = с, а>0

В этом уравнении коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах2 = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи . Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья,Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:

1. Разложение левой части уравнения на множители.
2. Метод выделения полного квадрата.
3. Решение квадратных уравнений по формуле.
4. Графическое решение квадратного уравнения.
5. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Остановимся подробнее на решение приведенных и не приведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения приведенных квадратных уравнений достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма - второму коэффициенту с противоположным знаком.

Пример. x 2 -5x+6=0

Нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Такими числами будут 3 и 2.

Ответ: x 1 =2, x 2 =3.

Но можно использовать этот способ и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице.

Пример. 3x 2 +2x-5=0

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x 2 +2x-15=0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно - 15, а сумма равна - 2. Эти числа - 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент.

Ответ: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Решение уравнений способом "переброски".

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а≠0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильному данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 2 = у 2 /а.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы "перебрасывается" к нему, поэтому его называют способом "переброски". Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример. 2х 2 - 11х + 15 = 0.

"Перебросим" коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у 2 - 11у + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

у 1 = 5, х 1 = 5/2, х 1 =2,5 ;у 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Ответ: х 1 =2,5; х 2 = 3.

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1. Если a+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х 1 = 1.

2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = - 1.

Пример. 345х 2 - 137х - 208 = 0.

Так как а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = -208/345.

Ответ: х 1 =1; х 2 = -208/345 .

Пример. 132х 2 + 247х + 115 = 0

Т.к. a-b+с = 0 (132 - 247 +115=0), то х 1 = - 1, х 2 = - 115/132

Ответ: х 1 = - 1; х 2 =- 115/132

Существуют и другие свойства коэффициентов квадратного уравнения. но ихиспользование более сложное.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Рис 1. Номограмма

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис. 1):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см), из рис.1 подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Рис. 2 Решение квадратных уравнения с помощью номограммы

Примеры.

1) Для уравнения z 2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

Ответ:8,0; 1,0.

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

9. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Пример. х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: "Квадрат и десять корней равны 39".

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5x. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2,5, а площадь 6,25

Рис. 3 Графический способ решения уравнения х 2 + 10х = 39

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4∙2,5x = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25∙ 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х = 25. Заменяя х 2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

10. Решение уравнений с использованием теоремы Безу.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x - α равен P(α) (т.е. значению P(x) при x = α).

Если число α является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на x -α без остатка.

Пример. х²-4х+3=0

Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Разделим Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0

х-1=0; х=1, или х-3=0, х=3; Ответ: х 1 =2, х 2 =3.

Вывод: Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения просто необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений. Изучив все найденные способы решения квадратных уравнений, мы можем посоветовать одноклассникам, кроме стандартных способов, решение способом переброски (6) и решение уравнений по свойству коэффициентов (7), так как они являются более доступными для понимания.

Литература:

1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990.
2. Алгебра 8 класс: учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. под ред. С. А. Теляковского 15-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. / Под ред. В.Н. Молодшего. - М.: Просвещение, 1964.

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье "Решение неполных квадратных уравнений".

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0 , где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b 2 – 4ас.

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D < 0),то корней нет.

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х 1 = (-b - √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х 2 – 4х + 4= 0.

D = 4 2 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х 2 + х + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет .

Решить уравнение 2х 2 + 5х – 7 = 0 .

D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 - √81)/(2·2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1 .

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах 2 + bx + c, иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2 , затем с меньшим – bx , а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2 равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0 . Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а , стоящий при х 2 .

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х 2 + 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 - 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3 . Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
уравнения рисунок 3.

D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Более простым способом. Для этого вынесите z за скобки. Вы получите : z(аz + b) = 0. Множители можно расписать: z=0 и аz + b = 0, так как оба могут давать в результате ноль. В записи аz + b = 0 перенесем второй вправо с другим знаком. Отсюда получаем z1 = 0 и z2 = -b/а. Это и есть корни исходного .

Если же имеется неполное уравнение вида аz² + с = 0, в данном случае находятся простым переносом свободного члена в правую часть уравнения. Также поменяйте при этом его знак. Получится запись аz² = -с. Выразите z² = -с/а. Возьмите корень и запишите два решения - положительное и отрицательное значение корня квадратного.

Обратите внимание

При наличии в уравнении дробных коэффициентов помножьте все уравнение на соответствующий множитель так, чтобы избавиться от дробей.

Знание о том, как решать квадратные уравнения, необходимо и школьникам, и студентам, иногда это может помочь и взрослому человеку в обычной жизни. Существует несколько определенных методов решений.

Решение квадратных уравнений

Квадратным уравнение вида a*x^2+b*x+c=0. Коэффициент х является искомой переменной, a, b, c - числовые коэффициенты. Помните, что знак «+» может меняться на знак «-».

Для того чтобы решить данное уравнение, необходимо воспользоваться теоремой Виета или найти дискриминант. Самым распространенным способом является нахождение дискриминанта, так как при некоторых значениях a, b, c воспользоваться теоремой Виета не представляется возможным.

Чтобы найти дискриминант (D), необходимо записать формулу D=b^2 - 4*a*c. Значение D может быть больше, меньше или равно нулю. Если D больше или меньше нуля, то корня будет два, если D=0, то остается всего один корень, более точно можно сказать, что D в этом случае имеет два равнозначных корня. Подставьте известные коэффициенты a, b, c в формулу и вычислите значение.

После того как вы нашли дискриминант, для нахождения х воспользуйтесь формулами: x(1) = (- b+sqrt{D})/2*a; x(2) = (- b-sqrt{D})/2*a, где sqrt - это функция, означающая извлечение квадратного корня из данного числа. Посчитав эти выражения, вы найдете два корня вашего уравнения, после чего уравнение считается решенным.

Если D меньше нуля, то он все равно имеет корни. В школе данный раздел практически не изучается. Студенты вузов должны знать о том, что появляется отрицательное число под корнем. От него избавляются выделяя мнимую часть, то есть -1 под корнем всегда равно мнимому элементу «i», который умножается на корень с таким же положительным числом. К примеру, если D=sqrt{-20}, после преобразования получается D=sqrt{20}*i. После этого преобразования, решение уравнения сводится к такому же нахождению корней, как было описано выше.

Теорема Виета заключается в подборе значений x(1) и x(2). Используется два тождественных уравнения: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Причем очень важным моментом является знак перед коэффициентом b, помните, что этот знак противоположен тому, который стоит в уравнении. С первого взгляда кажется, что посчитать x(1) и x(2) очень просто, но при решении вы столкнетесь с тем, что числа придется именно подбирать.

Элементы решения квадратных уравнений

По правилам математики некоторые можно разложить на множители: (a+x(1))*(b-x(2))=0, если вам посредством формул математики удалось преобразовать подобным образом данное квадратное уравнение, то смело записывайте ответ. x(1) и x(2) будут равны рядом стоящим коэффициентам в скобках, но с противоположным знаком.

Также не стоит забывать про неполные квадратные уравнения. У вас может отсутствовать какое-то из слагаемых, если это так, то все его коэффициенты просто равны нулю. Если перед x^2 или x ничего не стоит, то коэффициенты а и b равны 1.

Продолжаем изучение темы «решение уравнений ». Мы уже познакомились с линейными уравнениями и переходим к знакомству с квадратными уравнениями .

Сначала мы разберем, что такое квадратное уравнение, как оно записывается в общем виде, и дадим связанные определения. После этого на примерах подробно разберем, как решаются неполные квадратные уравнения. Дальше перейдем к решению полных уравнений, получим формулу корней, познакомимся с дискриминантом квадратного уравнения и рассмотрим решения характерных примеров. Наконец, проследим связи между корнями и коэффициентами.

Навигация по странице.

Что такое квадратное уравнение? Их виды

Для начала надо отчетливо понимать, что такое квадратное уравнение. Поэтому разговор о квадратных уравнениях логично начать с определения квадратного уравнения, а также связанных с ним определений. После этого можно рассмотреть основные виды квадратных уравнений: приведенные и неприведенные, а также полные и неполные уравнения.

Определение и примеры квадратных уравнений

Определение.

Квадратное уравнение – это уравнение вида a·x 2 +b·x+c=0 , где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a отлично от нуля.

Сразу скажем, что квадратные уравнения часто называют уравнениями второй степени. Это связано с тем, что квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени.

Озвученное определение позволяет привести примеры квадратных уравнений. Так 2·x 2 +6·x+1=0 , 0,2·x 2 +2,5·x+0,03=0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Определение.

Числа a , b и c называют коэффициентами квадратного уравнения a·x 2 +b·x+c=0 , причем коэффициент a называют первым, или старшим, или коэффициентом при x 2 , b – вторым коэффициентом, или коэффициентом при x , а c – свободным членом.

Для примера возьмем квадратное уравнение вида 5·x 2 −2·x−3=0 , здесь старший коэффициент есть 5 , второй коэффициент равен −2 , а свободный член равен −3 . Обратите внимание, когда коэффициенты b и/или c отрицательные, как в только что приведенном примере, то используется краткая форма записи квадратного уравнения вида 5·x 2 −2·x−3=0 , а не 5·x 2 +(−2)·x+(−3)=0 .

Стоит отметить, что когда коэффициенты a и/или b равны 1 или −1 , то они в записи квадратного уравнения обычно не присутствуют явно, что связано с особенностями записи таких . Например, в квадратном уравнении y 2 −y+3=0 старший коэффициент есть единица, а коэффициент при y равен −1 .

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

В зависимости от значения старшего коэффициента различают приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1 , называют приведенным квадратным уравнением . В противном случае квадратное уравнение является неприведенным .

Согласно данному определению, квадратные уравнения x 2 −3·x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 и т.п. – приведенные, в каждом из них первый коэффициент равен единице. А 5·x 2 −x−1=0 , и т.п. - неприведенные квадратные уравнения, их старшие коэффициенты отличны от 1 .

От любого неприведенного квадратного уравнения с помощью деления его обеих частей на старший коэффициент можно перейти к приведенному. Это действие является равносильным преобразованием , то есть, полученное таким способом приведенное квадратное уравнение имеет те же корни, что и исходное неприведенное квадратное уравнение, или, так же как оно, не имеет корней.

Разберем на примере, как выполняется переход от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

Пример.

От уравнения 3·x 2 +12·x−7=0 перейдите к соответствующему приведенному квадратному уравнению.

Решение.

Нам достаточно выполнить деление обеих частей исходного уравнения на старший коэффициент 3 , он отличен от нуля, поэтому мы можем выполнить это действие. Имеем (3·x 2 +12·x−7):3=0:3 , что то же самое, (3·x 2):3+(12·x):3−7:3=0 , и дальше (3:3)·x 2 +(12:3)·x−7:3=0 , откуда . Так мы получили приведенное квадратное уравнение, равносильное исходному.

Ответ:

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения присутствует условие a≠0 . Это условие нужно для того, чтобы уравнение a·x 2 +b·x+c=0 было именно квадратным, так как при a=0 оно фактически становится линейным уравнением вида b·x+c=0 .

Что касается коэффициентов b и c , то они могут быть равны нулю, причем как по отдельности, так и вместе. В этих случаях квадратное уравнение называют неполным.

Определение.

Квадратное уравнение a·x 2 +b·x+c=0 называют неполным , если хотя бы один из коэффициентов b , c равен нулю.

В свою очередь

Определение.

Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Такие названия даны не случайно. Из следующих рассуждений это станет понятно.

Если коэффициент b равен нулю, то квадратное уравнение принимает вид a·x 2 +0·x+c=0 , и оно равносильно уравнению a·x 2 +c=0 . Если c=0 , то есть, квадратное уравнение имеет вид a·x 2 +b·x+0=0 , то его можно переписать как a·x 2 +b·x=0 . А при b=0 и c=0 мы получим квадратное уравнение a·x 2 =0 . Полученные уравнения отличаются от полного квадратного уравнения тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с переменной x, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название – неполные квадратные уравнения.

Так уравнения x 2 +x+1=0 и −2·x 2 −5·x+0,2=0 – это примеры полных квадратных уравнений, а x 2 =0 , −2·x 2 =0 , 5·x 2 +3=0 , −x 2 −5·x=0 – это неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Из информации предыдущего пункта следует, что существует три вида неполных квадратных уравнений :

• a·x 2 =0 , ему отвечают коэффициенты b=0 и c=0 ;
• a·x 2 +c=0 , когда b=0 ;
• и a·x 2 +b·x=0 , когда c=0 .

Разберем по порядку, как решаются неполные квадратные уравнения каждого из этих видов.

a·x 2 =0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида a·x 2 =0 . Уравнению a·x 2 =0 равносильно уравнение x 2 =0 , которое получается из исходного делением его обеих частей на отличное от нуля число a . Очевидно, корнем уравнения x 2 =0 является нуль, так как 0 2 =0 . Других корней это уравнение не имеет, что объясняется , действительно, для любого отличного от нуля числа p имеет место неравенство p 2 >0 , откуда следует, что при p≠0 равенство p 2 =0 никогда не достигается.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x 2 =0 имеет единственный корень x=0 .

В качестве примера приведем решение неполного квадратного уравнения −4·x 2 =0 . Ему равносильно уравнение x 2 =0 , его единственным корнем является x=0 , следовательно, и исходное уравнение имеет единственный корень нуль.

Краткое решение в этом случае можно оформить следующим образом:
−4·x 2 =0 ,
x 2 =0 ,
x=0 .

a·x 2 +c=0

Теперь рассмотрим, как решаются неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b равен нулю, а c≠0 , то есть, уравнения вида a·x 2 +c=0 . Мы знаем, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число дают равносильное уравнение. Поэтому можно провести следующие равносильные преобразования неполного квадратного уравнения a·x 2 +c=0 :

• перенести c в правую часть, что дает уравнение a·x 2 =−c ,
• и разделить обе его части на a , получаем .

Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях. В зависимости от значений a и c значение выражения может быть отрицательным (например, если a=1 и c=2 , то ) или положительным, (к примеру, если a=−2 и c=6 , то ), оно не равно нулю, так как по условию c≠0 . Отдельно разберем случаи и .

Если , то уравнение не имеет корней. Это утверждение следует из того, что квадрат любого числа есть число неотрицательное. Из этого вытекает, что когда , то ни для какого числа p равенство не может быть верным.

Если , то дело с корнями уравнения обстоит иначе. В этом случае, если вспомнить о , то сразу становится очевиден корень уравнения , им является число , так как . Несложно догадаться, что и число тоже является корнем уравнения , действительно, . Других корней это уравнение не имеет, что можно показать, например, методом от противного. Сделаем это.

Обозначим только что озвученные корни уравнения как x 1 и −x 1 . Предположим, что уравнение имеет еще один корень x 2 , отличный от указанных корней x 1 и −x 1 . Известно, что подстановка в уравнение вместо x его корней обращает уравнение в верное числовое равенство . Для x 1 и −x 1 имеем , а для x 2 имеем . Свойства числовых равенств нам позволяют выполнять почленное вычитание верных числовых равенств, так вычитание соответствующих частей равенств и дает x 1 2 −x 2 2 =0 . Свойства действий с числами позволяют переписать полученное равенство как (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 . Мы знаем, что произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Следовательно, из полученного равенства следует, что x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0 , что то же самое, x 2 =x 1 и/или x 2 =−x 1 . Так мы пришли к противоречию, так как вначале мы сказали, что корень уравнения x 2 отличен от x 1 и −x 1 . Этим доказано, что уравнение не имеет других корней, кроме и .

Обобщим информацию этого пункта. Неполное квадратное уравнение a·x 2 +c=0 равносильно уравнению , которое

• не имеет корней, если ,
• имеет два корня и , если .

Рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений вида a·x 2 +c=0 .

Начнем с квадратного уравнения 9·x 2 +7=0 . После переноса свободного члена в правую часть уравнения, оно примет вид 9·x 2 =−7 . Разделив обе части полученного уравнения на 9 , придем к . Так как в правой части получилось отрицательное число, то это уравнение не имеет корней, следовательно, и исходное неполное квадратное уравнение 9·x 2 +7=0 не имеет корней.

Решим еще одно неполное квадратное уравнение −x 2 +9=0 . Переносим девятку в правую часть: −x 2 =−9 . Теперь делим обе части на −1 , получаем x 2 =9 . В правой части находится положительное число, откуда заключаем, что или . После записываем окончательный ответ: неполное квадратное уравнение −x 2 +9=0 имеет два корня x=3 или x=−3 .

a·x 2 +b·x=0

Осталось разобраться с решением последнего вида неполных квадратных уравнений при c=0 . Неполные квадратные уравнения вида a·x 2 +b·x=0 позволяет решить метод разложения на множители . Очевидно, мы можем , находящийся в левой части уравнения, для чего достаточно вынести за скобки общий множитель x . Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к равносильному уравнению вида x·(a·x+b)=0 . А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x=0 и a·x+b=0 , последнее из которых является линейным и имеет корень x=−b/a .

Итак, неполное квадратное уравнение a·x 2 +b·x=0 имеет два корня x=0 и x=−b/a .

Для закрепления материала разберем решение конкретного примера.

Пример.

Решите уравнение .

Решение.

Выносим x за скобки, это дает уравнение . Оно равносильно двум уравнениям x=0 и . Решаем полученное линейное уравнение: , и выполнив деление смешанного числа на обыкновенную дробь, находим . Следовательно, корнями исходного уравнения являются x=0 и .

После получения необходимой практики, решения подобных уравнений можно записывать кратко:

Ответ:

x=0 , .

Дискриминант, формула корней квадратного уравнения

Для решения квадратных уравнений существуют формула корней. Запишем формулу корней квадратного уравнения : , где D=b 2 −4·a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения . Запись по сути означает, что .

Полезно знать, как была получена формула корней, и как она применяется при нахождении корней квадратных уравнений. Разберемся с этим.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Пусть нам нужно решить квадратное уравнение a·x 2 +b·x+c=0 . Выполним некоторые равносильные преобразования :

• Обе части этого уравнения мы можем разделить на отличное от нуля число a , в результате получим приведенное квадратное уравнение .
• Теперь выделим полный квадрат в его левой части: . После этого уравнение примет вид .
• На этом этапе можно осуществить перенос двух последних слагаемых в правую часть с противоположным знаком, имеем .
• И еще преобразуем выражение, оказавшееся в правой части: .

В итоге мы приходим к уравнению , которое равносильно исходному квадратному уравнению a·x 2 +b·x+c=0 .

Аналогичные по форме уравнения мы уже решали в предыдущих пунктах, когда разбирали . Это позволяет сделать следующие выводы, касающиеся корней уравнения :

• если , то уравнение не имеет действительных решений;
• если , то уравнение имеет вид , следовательно, , откуда виден его единственный корень ;
• если , то или , что то же самое или , то есть, уравнение имеет два корня.

Таким образом, наличие или отсутствие корней уравнения , а значит и исходного квадратного уравнения, зависит от знака выражения , стоящего в правой части. В свою очередь знак этого выражения определяется знаком числителя, так как знаменатель 4·a 2 всегда положителен, то есть, знаком выражения b 2 −4·a·c . Это выражение b 2 −4·a·c , назвали дискриминантом квадратного уравнения и обозначили буквой D . Отсюда понятна суть дискриминанта – по его значению и знаку делают вывод, имеет ли квадратное уравнение действительные корни, и если имеет, то каково их количество - один или два.

Возвращаемся к уравнению , перепишем его с использованием обозначения дискриминанта: . И делаем выводы:

• если D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• если D=0 , то это уравнение имеет единственный корень ;
• наконец, если D>0 , то уравнение имеет два корня или , которые в силу можно переписать в виде или , а после раскрытия и приведения дробей к общему знаменателю получаем .

Так мы вывели формулы корней квадратного уравнения, они имеют вид , где дискриминант D вычисляется по формуле D=b 2 −4·a·c .

С их помощью при положительном дискриминанте можно вычислить оба действительных корня квадратного уравнения. При равном нулю дискриминанте обе формулы дают одно и то же значение корня, соответствующее единственному решению квадратного уравнения. А при отрицательном дискриминанте при попытке воспользоваться формулой корней квадратного уравнения мы сталкиваемся с извлечением квадратного корня из отрицательного числа, что выводит нас за рамки и школьной программы. При отрицательном дискриминанте квадратное уравнение не имеет действительных корней, но имеет пару комплексно сопряженных корней, которые можно найти по тем же полученным нами формулам корней .

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

На практике при решении квадратных уравнения можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой вычислить их значения. Но это больше относиться к нахождению комплексных корней.

Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о действительных корнях квадратного уравнения. В этом случае целесообразно перед использованием формул корней квадратного уравнения предварительно найти дискриминант, убедиться, что он неотрицательный (в противном случае можно делать вывод, что уравнение не имеет действительных корней), и уже после этого вычислять значения корней.

Приведенные рассуждения позволяют записать алгоритм решения квадратного уравнения . Чтобы решить квадратное уравнение a·x 2 +b·x+c=0 , надо:

• по формуле дискриминанта D=b 2 −4·a·c вычислить его значение;
• заключить, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицательный;
• вычислить единственный корень уравнения по формуле , если D=0 ;
• найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней , если дискриминант положительный.

Здесь лишь заметим, что при равном нулю дискриминанте можно использовать и формулу , она даст то же значение, что и .

Можно переходить к примерам применения алгоритма решения квадратных уравнений.

Примеры решения квадратных уравнений

Рассмотрим решения трех квадратных уравнений с положительным, отрицательным и равным нулю дискриминантом. Разобравшись с их решением, по аналогии можно будет решить любое другое квадратное уравнение. Начнем.

Пример.

Найдите корни уравнения x 2 +2·x−6=0 .

Решение.

В этом случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=1 , b=2 и c=−6 . Согласно алгоритму, сначала надо вычислить дискриминант, для этого подставляем указанные a , b и c в формулу дискриминанта, имеем D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28 . Так как 28>0 , то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней , получаем , здесь можно упростить полученные выражения, выполнив вынесение множителя за знак корня с последующим сокращением дроби:

Ответ:

Переходим к следующему характерному примеру.

Пример.

Решите квадратное уравнение −4·x 2 +28·x−49=0 .

Решение.

Начинаем с нахождения дискриминанта: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0 . Следовательно, это квадратное уравнение имеет единственный корень, который находим как , то есть,

Ответ:

x=3,5 .

Остается рассмотреть решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример.

Решите уравнение 5·y 2 +6·y+2=0 .

Решение.

Здесь такие коэффициенты квадратного уравнения: a=5 , b=6 и c=2 . Подставляем эти значения в формулу дискриминанта, имеем D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4 . Дискриминант отрицательный, следовательно, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если же потребуется указать комплексные корни, то применяем известную формулу корней квадратного уравнения , и выполняем действия с комплексными числами :

Ответ:

действительных корней нет, комплексные корни таковы: .

Еще раз отметим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то в школе обычно сразу записывают ответ, в котором указывают, что действительных корней нет, и не находят комплексные корни.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула корней квадратного уравнения , где D=b 2 −4·a·c позволяет получить формулу более компактного вида, позволяющую решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x (или просто с коэффициентом, имеющим вид 2·n , например, , или 14·ln5=2·7·ln5 ). Выведем ее.

Допустим нам нужно решить квадратное уравнение вида a·x 2 +2·n·x+c=0 . Найдем его корни с использованием известной нам формулы. Для этого вычисляем дискриминант D=(2·n) 2 −4·a·c=4·n 2 −4·a·c=4·(n 2 −a·c) , и дальше используем формулу корней:

Обозначим выражение n 2 −a·c как D 1 (иногда его обозначают D" ). Тогда формула корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид , где D 1 =n 2 −a·c .

Несложно заметить, что D=4·D 1 , или D 1 =D/4 . Другими словами, D 1 – это четвертая часть дискриминанта. Понятно, что знак D 1 такой же, как знак D . То есть, знак D 1 также является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Итак, чтобы решить квадратное уравнение со вторым коэффициентом 2·n , надо

• Вычислить D 1 =n 2 −a·c ;
• Если D 1 <0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Если D 1 =0 , то вычислить единственный корень уравнения по формуле ;
• Если же D 1 >0 , то найти два действительных корня по формуле .

Рассмотрим решение примера с использованием полученной в этом пункте формулы корней.

Пример.

Решите квадратное уравнение 5·x 2 −6·x−32=0 .

Решение.

Второй коэффициент этого уравнения можно представить в виде 2·(−3) . То есть, можно переписать исходное квадратное уравнение в виде 5·x 2 +2·(−3)·x−32=0 , здесь a=5 , n=−3 и c=−32 , и вычислить четвертую часть дискриминанта: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169 . Так как его значение положительно, то уравнение имеет два действительных корня. Найдем их, используя соответствующую формулу корней:

Заметим, что можно было использовать обычную формулу корней квадратного уравнения, но в этом случае пришлось бы выполнить больший объем вычислительной работы.

Ответ:

Упрощение вида квадратных уравнений

Порой, прежде чем пускаться в вычисление корней квадратного уравнения по формулам, не помешает задаться вопросом: «А нельзя ли упростить вид этого уравнения»? Согласитесь, что в плане вычислений проще будет решить квадратное уравнение 11·x 2 −4·x−6=0 , чем 1100·x 2 −400·x−600=0 .

Обычно упрощение вида квадратного уравнения достигается путем умножения или деления его обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце удалось достичь упрощения уравнения 1100·x 2 −400·x−600=0 , разделив обе его части на 100 .

Подобное преобразование проводят с квадратными уравнениями, коэффициенты которого не являются . При этом обычно делят обе части уравнения на абсолютных величин его коэффициентов. Для примера возьмем квадратное уравнение 12·x 2 −42·x+48=0 . абсолютных величин его коэффициентов: НОД(12, 42, 48)= НОД(НОД(12, 42), 48)= НОД(6, 48)=6 . Разделив обе части исходного квадратного уравнения на 6 , мы придем к равносильному ему квадратному уравнению 2·x 2 −7·x+8=0 .

А умножение обеих частей квадратного уравнения обычно производится для избавления от дробных коэффициентов. При этом умножение проводят на знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК(6, 3, 1)=6 , то оно примет более простой вид x 2 +4·x−18=0 .

В заключение этого пункта заметим, что почти всегда избавляются от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки всех членов, что соответствует умножению (или делению) обеих частей на −1 . Например, обычно от квадратного уравнения −2·x 2 −3·x+7=0 переходят к решению 2·x 2 +3·x−7=0 .

Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты. Отталкиваясь от формулы корней, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Наиболее известны и применимы формулы из теоремы Виета вида и . В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену. Например, по виду квадратного уравнения 3·x 2 −7·x+22=0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3 , а произведение корней равно 22/3 .

Используя уже записанные формулы можно получить и ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. К примеру, можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Превращение полного квадратного уравнения в неполное выглядит так (для случая \(b=0\)):

Для случаев, когда \(с=0\) или когда оба коэффициента равны нулю - всё аналогично.

Обратите внимание, что про равенство нулю \(a\) речи не идет, оно равно нулю быть не может, так как в этом случае превратиться в :

Решение неполных квадратных уравнений.

Прежде всего, надо понимать, что неполное квадратное уравнение все-таки является , поэтому может быть решено также как и обычное квадратное (через ). Для этого просто дописываем недостающий компонент уравнения с нулевым коэффициентом.

Пример : Найдите корни уравнения \(3x^2-27=0\)
Решение :

		У нас неполное квадратное уравнение с коэффициентом \(b=0\). То есть, мы можем записать уравнение в следующем виде:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Фактически здесь то же самое уравнение, что и в начале, но теперь его можно решать как обычное квадратное. Сначала выписываем коэффициенты.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Вычислим дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Найдем корни уравнения по формулам \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\)
\(x_{1}=\)\(\frac{-0+\sqrt{324}}{2\cdot3}\) \(=\)\(\frac{18}{6}\) \(=3\) \(x_{2}=\)\(\frac{-0-\sqrt{324}}{2\cdot3}\) \(=\)\(\frac{-18}{6}\) \(=-3\)		Записываем ответ

Ответ : \(x_{1}=3\); \(x_{2}=-3\)

Пример : Найдите корни уравнения \(-x^2+x=0\)
Решение :

		Опять неполное квадратное уравнение, но теперь нулю равен коэффициент \(c\). Записываем уравнение как полное.