Одз - область допустимых значений. Область допустимых значений (ОДЗ), теория, примеры, решения

В математике бесконечное множество функций. И у каждой - свой характер.) Для работы с самыми разнообразными функциями нужен единый подход. Иначе, какая же это математика?!) И такой подход есть!

При работе с любой функцией мы предъявляем ей стандартный набор вопросов. И первый, самый важный вопрос - это область определения функции. Иногда эту область называют множеством допустимых значений аргумента, областью задания функции и т.п.

Что такое область определения функции? Как её находить? Эти вопросы частенько представляются сложными и непонятными... Хотя, на самом деле, всё чрезвычайно просто. В чём вы сможете убедиться лично, прочитав эту страничку. Поехали?)

Ну, что тут сказать... Только респект.) Да! Естественная область определения функции (о которой здесь идёт речь) совпадает с ОДЗ выражений, входящих в функцию. Соответственно, и ищутся они по одним и тем же правилам.

А сейчас рассмотрим не совсем естественную область определения.)

Дополнительные ограничения на область определения функции.

Здесь речь пойдёт об ограничениях, которые накладываются заданием. Т.е. в задании присутствуют какие-то дополнительные условия, которые придумал составитель. Или ограничения выплывают из самого способа задания функции.

Что касается ограничений в задании - тут всё просто. Обычно, и искать-то ничего не надо, всё в задании уже сказано. Напомню, что ограничения, написанные автором задания, никак не отменяют принципиальные ограничения математики. Нужно просто не забыть учесть условия задания.

Например, такое задание:

Найти область определения функции:

на множестве положительных чисел.

Естественную область определения этой функции мы нашли выше. Эта область:

D(f)=(-∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да...) Пример из предыдущего урока:

Функция задана условием: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.

Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D(f) мгновенно записывается:

D(f): х ∈ N

Как видите, область определения функции - не такое уж сложное понятие. Нахождение этой области сводится к осмотру функции, записи системы неравенств и решению этой системы. Конечно, системы бывают всякие, простые и сложные. Но...

Открою маленький секрет. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств... И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система...

Мораль: глаза боятся, голова решает!)

Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.

Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.

Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).

НАПРИМЕР у=5+х

1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3

2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)

Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).

НАПРИМЕР.

1.у=1/х. (наз.гипербола)

2. у=х^2. (наз. парабола)

3.у=3х+7. (наз. прямая)

4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)

Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).

Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

3. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

4. D (у)= \)

Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.

В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Допустимые и недопустимые значения переменных

Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.

Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

Когда имеются выражения с выбранными переменными, то некоторые из них могут не удовлетворять. Например, выражение вида 1: а, если а = 0 , тогда оно не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя. То есть выражение должно иметь такие значения, которые подойдут в любом случае и дадут ответ. Иначе говоря, имеют смысл с имеющимися переменными.

Определение 1

Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.

Определение 2

Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.

То есть отсюда следует полное определение

Определение 3

Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.

Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.

Пример 1

Для примера рассмотрим выражение вида 1 x - y + z , где имеются три переменные. Иначе можно записать, как x = 0 , y = 1 , z = 2 , другая же запись имеет вид (0 , 1 , 2) . Данные значения называют допустимыми, значит, можно найти значение выражения. Получим, что 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 . Отсюда видим, что (1 , 1 , 2) недопустимы. Подстановка дает в результате деление на ноль, то есть 1 1 - 2 + 1 = 1 0 .

Что такое ОДЗ?

Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.

Определение 4

Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.

Рассмотрим на примере выражения.

Пример 2

Если имеем выражение вида 5 z - 3 , тогда ОДЗ имеет вид (− ∞ , 3) ∪ (3 , + ∞) . Эта область допустимых значений, удовлетворяющая переменной z для заданного выражения.

Если имеется выражения вида z x - y , тогда видно, что x ≠ y , z принимает любое значение. Это и называют ОДЗ выражения. Его необходимо учитывать, чтобы не получить при подстановке деление на ноль.

Область допустимых значений и область определения имеет один и тот же смысл. Только второй из них используется для выражений, а первый – для уравнений или неравенств. При помощи ОДЗ выражение или неравенство имеет смысл. Область определения функции совпадает с областью допустимых значений переменной х к выражению f (x) .

Как найти ОДЗ? Примеры, решения

Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.

Существуют выражения, где их вычисление невозможно:

• если имеется деление на ноль;
• извлечение корня из отрицательного числа;
• наличие отрицательного целого показателя – только для положительных чисел;
• вычисление логарифма отрицательного числа;
• область определения тангенса π 2 + π · k , k ∈ Z и котангенса π · k , k ∈ Z ;
• нахождение значения арксинуса и арккосинуса числа при значении, не принадлежащем [ - 1 ; 1 ] .

Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.

Пример 3

Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .

Решение

В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.

Ответ: x и y – любые значения.

Пример 4

Найти ОДЗ выражения 1 3 - x + 1 0 .

Решение

Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.

Ответ: ∅ .

Пример 5

Найти ОДЗ заданного выражения x + 2 · y + 3 - 5 · x .

Решение

Наличие квадратного корня говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю. При отрицательном значении оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x + 2 · y + 3 ≥ 0 . То есть это и есть искомая область допустимых значений.

Ответ: множество x и y , где x + 2 · y + 3 ≥ 0 .

Пример 6

Определить ОДЗ выражения вида 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Решение

По условию имеем дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Получаем, что x + 1 - 1 ≠ 0 . Подкоренное выражение всегда имеет смысл, когда больше или равно нулю, то есть x + 1 ≥ 0 . Так как имеет логарифм, то его выражение должно быть строго положительным, то есть x 2 + 3 > 0 . Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличное от 1 , тогда добавляем еще условия x + 8 > 0 и x + 8 ≠ 1 . Отсюда следует, что искомое ОДЗ примет вид:

x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

Иначе говоря, называют системой неравенств с одной переменной. Решение приведет к такой записи ОДЗ [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) .

Ответ: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?

При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.

Тождественные преобразования:

• могут не влиять на ОДЗ;
• могут привести в расширению или дополнению ОДЗ;
• могут сузить ОДЗ.

Рассмотрим на примере.

Пример 7

Если имеем выражение вида x 2 + x + 3 · x , тогда его ОДЗ определено на всей области определения. Даже при приведении подобных слагаемых и упрощении выражения ОДЗ не меняется.

Пример 8

Если взять пример выражения x + 3 x − 3 x , то дела обстоят иначе. У нас имеется дробное выражение. А мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда ОДЗ имеет вид (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его с круглой скобкой.

Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.

Пример 9

Если имеется x - 1 · x - 3 , тогда следует обратить внимание на ОДЗ, так как его необходимо записать в виде неравенства (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 . Возможно решение методом интервалов, тогда получаем, что ОДЗ примет вид (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . После преобразования x - 1 · x - 3 и применения свойства корней имеем, что ОДЗ можно дополнить и записать все в виде системы неравенства вида x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 . При ее решении получаем, что [ 3 , + ∞) . Значит, ОДЗ полностью записывается так: (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.

Пример 10

Рассмотрим пример выражения x - 1 · x - 3 , когда х = - 1 . При подстановке получим, что - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Если это выражение преобразовать и привести к виду x - 1 · x - 3 , тогда при вычислении получим, что 2 - 1 · 2 - 3 выражение смысла не имеет, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.

Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.

Пример 11

Рассмотрим на примере дроби вида x x 3 + x . Если сократить на x , тогда получаем, что 1 x 2 + 1 . Тогда ОДЗ расширяется и становится (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Причем при вычислении уже работаем со второй упрощенной дробью.

При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.

Пример 12

Если имеется выражение вида ln x + ln (x + 3) , его заменяют на ln (x · (x + 3)) , опираясь на свойство логарифма. Отсюда видно, что ОДЗ с (0 , + ∞) до (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Поэтому для определения ОДЗ ln (x · (x + 3)) необходимо производить вычисления на ОДЗ, то есть (0 , + ∞) множества.

При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Шамшурин А.В. 1

Гагарина Н.А. 1

1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31»

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что важность нахождения ОДЗ играет огромную роль в решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассмотрел уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для меня хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ. Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы: когда, зачем и как находить ОДЗ. Поэтому я провёл тест по теме «Когда, зачем и как находить ОДЗ?» (было дано 10 уравнений). Количество учащихся - 28. Справились - 14 %, опасность ОДЗ (учли) - 68 %, необязательность (учли) - 36 %.

Цель : выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ.

Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.

Задачи:

1. Показать значимость ОДЗ при решении уравнений и неравенств.
2. Провести практическую работу по данной теме и подвести её итоги.

Я думаю полученные мною, знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или не надо? Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ.

Глава 1

Что такое ОДЗ?

ОДЗ - это область допустимых значений , то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Важно. Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных мест.

Некоторые запреты в математике. Таких запретных действий в математике очень мало. Но их не все помнят…

• Выражения, состоящие под знаком чётной кратности или должно быть>0 или равно нулю, ОДЗ:f(x)
• Выражение, стоящее в знаменателе дроби не может быть равно нулю, ОДЗ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ОДЗ: g(x) 0

Как записать ОДЗ? Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Преобразование примера может изменить ОДЗ и, соответственно ответ.

Алгоритм нахождения ОДЗ:

1. Определите вид запрета.
2. Найти значения, при которых выражение не имеет смысла.
3. Исключить эти значения из множества действительных чисел R.

Решить уравнение: =

Без ОДЗ	С ОДЗ
Ответ: х=5	ОДЗ: => => Ответ: корней нет

Область допустимых значений оберегает нас от таких серьёзных ошибок. Честно говоря, именно из-за ОДЗ многие «ударники» превращаются в «троечников». Считая, что поиск и учёт ОДЗ малозначимым шагом в решении, они пропускают его, а потом удивляются: «почему учитель поставил 2?». Да потому и поставил, что ответ неверен! Это не «придирки» учителя, а вполне конкретная ошибка, такая же как неверное вычисление или потерянный знак.

Дополнительные уравнения:

а) = ; б) -42=14х+ ; в) =0; г) |x-5|=2x-2

Глава 2

ОДЗ. Зачем? Когда? Как?

Область допустимых значений - есть решение

1. ОДЗ представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений

• = ОДЗ:

Ответ: корней нет.

• = ОДЗ:

Ответ: корней нет.

0, уравнение не имеет корней

Ответ: корней нет.

Дополнительные примеры:

а) + =5; б) + =23х-18; в) =0.

1. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

ОДЗ: х=2, х=3

Проверка: х=2, + , 0<1, верно

Проверка: х=3, + , 0<1, верно.

Ответ: х=2, х=3.

• > ОДЗ: х=1,х=0

Проверка: х=0, > , 0>0, неверно

Проверка: х=1, > , 1>0, верно

Ответ: х=1.

• + =х ОДЗ: х=3

Проверка: + =3, 0=3, неверно.

Ответ: корней нет.

Дополнительные примеры:

а) = ; б) + =0; в) + =х -1

Опасность ОДЗ

Заметим, тождественные преобразования могут:

• не влиять на ОДЗ;
• приводить к расширенному ОДЗ;
• приводить к сужению ОДЗ.

Известно также, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, может привести к неверным решениям.

Давайте поясним каждый случай примером.

1) Рассмотрим выражение х +4х+7х, ОДЗ переменной х для этого есть множество R. Приведём подобные слагаемые. В результате оно примет вид x 2 +11x. Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ.

2) Возьмем уравнение x+ - =0. В этом случае ОДЗ: x≠0. Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых, приходим к выражению x, для которого ОДЗ есть R. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавилось число нуль).

3) Возьмем выражение. ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−5)·(x−2)≥0, ОДЗ: (−∞, 2]∪∪/Режим доступа: Материалы сайтов www.fipi.ru, www.eg

Область допустимых значений - есть решение [Электронный ресурс]/Режим доступа: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ОДЗ - область допустимых значений, как найти ОДЗ [Электронный ресурс]/Режим доступа: cleverstudents.ru›expressions/odz.html

Область допустимых значений: теория и практика [Электронный ресурс]/Режим доступа: pandia.ru›text/78/083/13650.php

Что такое ОДЗ [Электронный ресурс]/ Режим доступа: www.cleverstudents.ru›odz.html

Что такое ОДЗ и как его искать - объяснение и пример. Электронный ресурс]/ Режим доступа: cos-cos.ru›math/82/

Приложение 1

Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»

Вариант 1	Вариант 2
│х+14│= 2 - 2х
	│3-х│=1 - 3х

Приложение 2

Ответы к заданиям практической работы «ОДЗ: когда, зачем и как?»

Вариант 1	Вариант 2
Ответ: корней нет	Ответ: х-любое число, кроме х=5
9х+ = +27 ОДЗ: х≠3 Ответ: корней нет	ОДЗ: х=-3, х=5. Ответ:-3;5.
у= -убывает, у= -возрастает Значит, уравнение имеет не более одного корня. Ответ: х=6.	ОДЗ: → →х≥5 Ответ:х≥5, х≤-6.
│х+14│=2-2х ОДЗ:2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 не принадлежит ОДЗ	Убывает, -возрастает Уравнение имеет не более одного корня. Ответ: корней нет.
0, ОДЗ: х≥3,х≤2 Ответ: х≥3,х≤2	8х+ = -32, ОДЗ: х≠-4. Ответ: корней нет.
х=7, х=1. Ответ: решений нет	Возрастает, - убывает Ответ: х=2.
0 ОДЗ: х≠15 Ответ: х- любое число, кроме х=15.	│3-х│=1-3х, ОДЗ: 1-3х≥0, х≤ х=-1, х=1 не принадлежит ОДЗ. Ответ: х=-1.